江苏省徐州市第二中学2024−2025学年高二下学期学情调研（一）数学试题（含解析）

这是一份江苏省徐州市第二中学2024−2025学年高二下学期学情调研（一）数学试题（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．计算的值是（ ）
A．62B．102C．152D．540
2．函数，的最小值为（ ）
A．B．C．9D．16
3．已知函数，则（ ）
A．1B．2C．D．
4．函数的图像大致为 ( )
A．B．
C．D．
5．若函数在区间上单调递增，则实数k的取值范围是（ ）．
A．B．C．D．
6．有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（ ）
A．12种B．24种C．36种D．48种
7．已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
8．已知函数是定义域为的奇函数，是的导函数，，当时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）

A．
B．在上是减函数
C．在区间内有2个极值点
D．曲线在点处的切线的斜率大于0
10．某校高二年级安排甲､乙､丙三名同学到A，B，C，D，E五个社区进行暑期社会实践活动，每名同学只能选择一个社区进行实践活动，且多名同学可以选择同一个社区进行实践活动，则下列说法正确的有（ ）
A．如果社区A必须有同学选择，则不同的安排方法有61种
B．如果同学甲必须选择社区A，则不同的安排方法有50种
C．如果三名同学选择的社区各不相同，则不同的安排方法共有60种
D．如果甲､乙两名同学必须在同一个社区，则不同的安排方法共有20种
11．已知函数，则（ ）
A．只有1个极小值点
B．曲线在点处的切线斜率为9
C．当有3个零点时，m的取值范围为
D．当只有1个零点时，m的取值范围为
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知函数，则在处切线方程为 .
13．若函数有大于零的极值点，则实数a的取值范围是 ．
14．已知函数，若关于x的方程仅有2个实数解，则实数a的取值范围为 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．某班级周六的课程表要排入历史、语文、数学、物理、体育、英语共6节课．
(1)如果数学和语文必须排在一起，则有多少种不同的排法？
(2)语文必须排第一课，物理和数学不能排一起，则不同的排法有多少种？
(3)如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有多少种不同的排法？
(4)如果数学必须比语文先上，语文比英语先上（三课不一定连续上），则共有多少种不同的排法？
(5)原定的6节课已经排好，学校临时通知要增加生物、化学、地理3节课，若将这3节课插入原课表中且原来的6节课相对顺序不变，那么共有多少种不同的排法？
（答题要求：写上必要的文字说明，先列式，后计算）
16．已知函数
(1)若的图象在点处的切线方程为，求a与b的值；
(2)若在处有极值，求a与b的值.
17．已知函数．
(1)若，求的单调区间；
(2)讨论函数的单调性；
(3)若函数在处取得极值，且对，恒成立，求实数的取值范围．
18．中华文化源远流长，为了让青少年更好地了解中国的传统文化，某培训中心计划利用暑期开设“围棋”、“武术”、“书法”、“剪纸”、“京剧”、“刺绣”六门体验课程．
(1)若体验课连续开设六周，每周一门，求“京剧”和“剪纸”课程排在不相邻的两周的所有排法种数；
(2)现有甲、乙、丙三名学生报名参加暑期的体验课程，每人都选两门课程，甲和乙有一门共同的课程，丙和甲、乙的课程都不同，求所有选课的种数；
(3)计划安排A、B、C、D、E五名教师教这六门课程，每门课程只由一名教师任教，每名教师至少任教一门课程，教师A不任教“围棋”课程，教师B只能任教一门课程，求所有课程安排的种数．
19．已知函数.
(1)当时，求函数的极小值；
(2)若有两个零点，求的取值范围.
参考答案
1．【答案】A
【详解】
故选A.
2．【答案】A
【详解】由可得，，由解得，或，
因，当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
故时，.
故选A.
3．【答案】A
【分析】求导，再令可得结论.
【详解】因为，令得.
故选A.
4．【答案】B
【详解】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像.
详解：为奇函数，舍去A,
舍去D;
，
所以舍去C；因此选B.
点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．
5．【答案】D
【详解】函数在区间上单调递增，则，，
即，成立，而函数在上单调递增，即，
因此，解得，所以实数k的取值范围是.
故选D.
6．【答案】B
【分析】利用捆绑法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解
【详解】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：种不同的排列方式，
故选B.
7．【答案】C
【详解】因为，，，所以构造函数，
因为，由有：，
由有：，所以在上单调递减，
因为，，,
因为，所以，故A，B，D错误.
故选C.
8．【答案】D
【详解】令，则，
由题意知当时，，故在上单调递增，
因为函数是定义域为的奇函数，
所以，
所以，
所以是定义域为的偶函数，
所以在上单调递减，
又因为，所以，
所以，
所以当时，，则；
当时，，则；
当时，，则；
当时，，则.
则不等式的解集为.
故选D.
9．【答案】BD
【详解】由图象知，当或时，，当或时，，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，
对于A，，A错误；
对于B，函数在上单调递减，B正确；
对于C，函数在处取得极小值，在处取得极大值，在内有3个极值点，C错误；
对于D，当时，，因此曲线在点处切线的斜率，D正确.
故选BD.
10．【答案】AC
【详解】对于A，如果社区A必须有同学选择，则不同的安排方法有（种），故A正确；
对于B，如果同学甲必须选择社区A，则不同的安排方法有（种），故B错误；
对于C，如果三名同学选择的社区各不相同，则不同的安排方法共有（种），故C正确；
对于D，甲､乙两名同学必须在同一个社区，第一步，将甲､乙视作一个整体，第二步，两个整体挑选社区，则不同的安排方法共有（种），故D错误.
故选AC.
11．【答案】BC
【详解】由得或；由得.
当或时，，则，
∴当或时，当时，
∴在上单调递增，在上单调递减.
当时，则，
∴当时，当时，
∴在上单调递增，在上单调递减.
综上得，在处取得极小值，故有2个极小值点，故A错误.
∵，∴曲线在点处的切线斜率为9，故B正确.
由得，函数的零点个数问题转化为函数的图象与直线的交点个数问题.
根据函数单调性分析，作出函数的图象，如图所示，

由图1可得，当函数的图象与直线有3个交点时，m的取值范围为，故C正确.
由图2可得，当函数的图象与直线有1个交点时，m的取值范围为，故D错误．
故选BC.
12．【答案】
【详解】因为，所以，
当时，，，
所以在处切线方程的斜率，即切线方程为.
13．【答案】
【详解】
当时，，此时在R上单调递增，无极值；
当时，令，解得，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以函数存在极小值点，
依题意，，解得，
所以，实数a的取值范围是．
14．【答案】
【详解】由题意得，函数的定义域为．
对函数求导得，
令，可得；令，可得或，
所以在和上单调递减，在上单调递增．
故当时，有极小值为．
作出函数的图象如下，

令，则方程化成，
解得或，
则有1个实数解，
所以或且，解得或且，
∴实数a的取值范围为.
15．【答案】(1)240；
(2)72；
(3)504；
(4)120；
(5)504.
【分析】
（1）利用捆绑法可解；
（2）利用插空法可解；
（3）对数学是否排在第一节分类讨论即可；
（4）定序问题利用除法可得；
（5）分步将3科插入空位可解.
【详解】（1）第一步，先将数学和语文排在一起，有种排法；
第二步，将数学和语文看成一个整体，与历史、物理、体育、英语一起全排，有种排法，
所以，数学和语文必须排在一起共有种排法.
（2）第一步，先排语文，有1种排法；
第二步，将历史、体育、英语排成一排，有种排法；
第三步，在第二步产生的4个空位中插入物理和数学，有种排法.
所以，总的排法有种排法.
（3）第一类，第一节排数学，其余五节任意排，有种排法；
第二类，第1步，从历史、语文、物理、英语中选一科排在第一节，有4种排法，
第2步，再从剩下的4个学科（不包括数学）中选一科排在最后一节，有4种排法，
第3步，中间4节任意排，有种排法，
所以，总的排法有.
综上，满足条件的排法有种.
（4）数学、语文、英语的上课顺序共有种，满足条件的顺序只有1种，
故满足条件的排法有种.
（5）第一步，先在7个空位中选择一个空位排生物，有7种；
第二步，在排入生物之后产生的8个空位选择一个空位排化学，有8种；
第三步，在排入化学之后产生的9个空位选择一个空位排地理，有9种.
所以，总的排法有种.
16．【答案】(1)或
(2)
【详解】（1）因为，所以，
所以，，
因为切线方程为，
所以，解得，
所以.
（2）函数在处有极值
且或
恒成立，此时函数无极值点，
此时1是极值点，满足题意，
所以.
17．【答案】(1)答案见解析；
(2)答案见解析；
(3).
【详解】（1）当时，，，
令可得，故当时，单调递减；
当时，单调递增；
故递减区间为，递增区间为.
（2）由可得：函数定义域为，.
当时，，此时函数在定义域上单调递减；
当时，令，解得；令，解得，
此时函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.
综上可得：当时，函数在定义域上单调递减；
当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.
（3）因为函数在处取得极值，
所以，即，解得.
此时，
令，解得；令，解得，
所以函数在处取得极值，故.
所以.
因为对，恒成立，
所以对，恒成立.
令，则.
令，解得；令，解得，
所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以，则，解得：.
所以实数b的取值范围为
18．【答案】(1)480
(2)360
(3)1140
【详解】（1）第一步，先将另外四门课排好，有种情况；
第二步，将“京剧”和“剪纸”课程分别插入5个空隙中，有种情况；
所以“京剧”和“剪纸”课程排在不相邻的两周的排法有种；
（2）第一步，先将甲和乙的不同课程排好，有种情况；
第二步，将甲和乙的相同课程排好，有种情况；
第三步，因为丙和甲、乙的课程都不同，所以丙的排法种情况；
因此，所有选课种数为.
（3）①当A只任教1科时：先排A任教科目，有种；再从剩下5科中排B的任教科目，有种；接下来剩余4科中必有2科为同一名老师任教，分三组全排列，共有种；所以当A只任教1科时，共有种；
②当A任教2科时：先选A任教的2科有中，这样6科分为4组共有种，
所以，当A任教2科时，共有种，
综上，A不任教“围棋”的课程安排方案有1140种．
19．【答案】(1)极小值为
(2)
【详解】（1）当时，，
令，解得，列表如下：
所以的极小值为.
（2）函数有两个零点即有两个零点.
因为，
①当时，在上是增函数，最多只有一个零点，不符合题意；
②当时，由得，
当时，在上是增函数；
当时，在上是减函数.
（i）若，则，最多只有一个零点；
（ii）若，因为，且，
所以在区间内有一个零点.
令，则，
当时，在上是增函数；
当时，在上是减函数.
所以，故.
所以，又，
所以在区间内有一个零点.
综上可知：当时，有两个零点，
故的取值范围为.0
极小值