2024-2025学年江苏省徐州市第三中学高二下学期4月期中调研数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年江苏省徐州市第三中学高二下学期4月期中调研数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.四个同学排成一排，甲不站在排头，乙不站在排尾的排法总数是( )
A. 12种B. 14种C. 16种D. 18种
2.若(1+ax)5的展开式各项系数之和为−1，则实数a为( )
A. 0B. −1C. 1D. −2
3.西峡猕猴桃是河南省的特产，是中国国家地理标志产品．据统计，西峡县某种植基地猕猴桃的单果质量X(单位：克)近似服从正态分布N(90,100)，则估计该基地猕猴桃的单果质量在区间(100,110)内的概率为( )附：若X～N(μ,σ2)，则P(μ−σ≤X≤μ+σ)≈0.6827，P(μ−2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545，P(μ−3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973．
A. 0.4545B. 0.1827C. 0.2718D. 0.1359
4.二项式 2+ 64的展开式中有理项的个数为( )
A. 4B. 3C. 2D. 1
5.已知f(x)=14x2+sin(π2+x)，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(x)的大致图象是( )
A. B.
C. D.
6.设A，B为两个事件，若P(A∩B)=13，P(B)=23，则P(A|B)等于( )
A. 49B. 19C. 29D. 12
7.已知随机变量X的分布列：满足Y=aX+3,E(Y)=53，则a的值为( )
A. 4B. −4C. 2D. −2
8.设a≠0，若a为函数f(x)=a(x−a)2(x−b)的极大值点，则( )
A. abC. aba2
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设(1+3x)n=a0+a1x+a2x2+⋯+anxn，若a5=a6，则下列结论正确的是( )
A. n=7
B. n=11
C. a0−a1+a2−a3+⋯+(−1)nan=−128
D. a1=35
10.甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是( )
A. 如果甲乙丙按从左到右的顺序(可以不相邻)，则不同排法共有20种
B. 如果甲乙不相邻，则不同排法共有36种
C. 如果甲，乙都不排两端，则不同的排法共有36种
D. 如果甲，乙必须相邻，则不同的排法有48种
11.下列选项正确的是( )
A. 若随机变量X服从两点分布，也称0−1分布，且E(X)=12，则D(X)=18
B. 若随机变量X满足P(X=k)=C2kC42−kC62,k=0,1,2，则E(X)=23
C. 若随机变量X∼Nμ,σ2,P(X≤4)=P(X≥0)，则μ=2
D. 某人在10次射击中，击中目标的次数为Z，若Z∼B(10,0.7)，则此人最有可能7次击中目标
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某流水线上生产的一批零件，其规格指标X可以看作一个随机变量，且X∼N(98,σ2)，对于X≥100的零件即为不合格，不合格零件出现的概率为0.05，现从这批零件中随机抽取400个，用Y用表示400个零件的规格指标X位于区间(96,100)的个数，则随机变量Y的方差是 ．
13.盒中装有3个黄球和1个红球，现从盒中每次随机取出1个球且不放回，直至取出红球.设在此过程中，取到黄球的个数为X，则D(X)=
14.若函数f(x)=13x3−ax2+x存在单调递减区间，则实数a的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
随着互联网的高速发展和新媒体形式的不断丰富，微短剧作为一种新兴的文化载体，正逐渐成为拓展文化消费空间的重要途径.某媒体为了了解微短剧消费者的年龄分布，随机调查了200名消费者，得到如下列联表：
(1)根据小概率值α=0.05的独立性检验，能否认为“是微短剧消费者”与“年龄不超过40岁”有关联？
(2)记2020∼2024年的年份代码x依次为1，2，3，4，5，下表为2020∼2023年中国微短剧市场规模及2024年中国微短剧预测的市场规模y(单位：亿元)与x的统计数据：
根据上表数据求得y关于x的经验回归方程为y=132.71x−192.85，求相关系数r，并判断该经验回归方程是否有价值．
参考公式：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d，x0.05=3.841．
i=15yi−y2=442.03，相关系数r=i=1nxi−xyi−y i=1nxi−x2 i=1nyi−y2． 10=3.16．
若|r|≥0.75，则认为经验回归方程有价值．
16.(本小题15分)
已知函数f(x)=2x3−ax2+12x+b在x=2处取得极小值5．
(1)求实数a,b的值；
(2)当x∈[0,3]时，求函数f(x)的值域．
17.(本小题15分)
我国是全球制造业大国，制造业增加值自2010年起连续12年位居世界第一，主要产品产量稳居世界前列，为深入推进传统制造业改造提升，全面提高传统制造业核心竞争力，某设备生产企业对现有生产设备进行技术攻坚突破.设备生产的零件的直径为X(单位：nm).
(1)现有旧设备生产的零件共8个，其中直径大于10nm的有4个.现从这8个零件中随机抽取3个.记ξ表示取出的零件中直径大于10nm的零件的个数，求ξ的分布列及数学期望E(ξ)；
(2)技术攻坚突破后设备生产的零件的合格率为34，每个零件是否合格相互独立.现任取6个零件进行检测，若合格的零件数η超过半数，则可认为技术攻坚成功.求技术攻坚成功的概率及η的方差；
(3)若技术攻坚后新设备生产的零件直径X～N(9,0.04)，从生产的零件中随机取出10个，求至少有一个零件直径大于9.4nm的概率．
参考数据：若X∼Nμ,σ2，则P|X−μ|≤σ≈0.6827，P|X−μ|≤2σ≈0.9545,P|X−μ|≤3σ≈0.9973,0.9772510≈0.7944，0.954510≈0.6277.
18.(本小题17分)
设新能源车性能测试分为实验室检测和路面检测两个阶段.实验室检测合格后才能进入路面检测，路面检测合格后该车才可投入量产，这两个检测阶段是否合格相互独立.其中实验室检测阶段包括环节I和环节II，两个环节至少通过一个才算实验室检测合格，且这两个环节检测结果相互独立.某公司汽车研发出甲､乙两款车型，现对其进行性能检测.实验室检测阶段中甲车通过I､II环节的概率分别为45,34，乙车通过I､II环节的概率分别为23,34，路面测试环节中甲､乙款车合格的概率分别为1619,1011．
(1)求甲，乙两款车型中恰有一款车进入路面检测的概率；
(2)设甲，乙两款车型可投入量产的种数为X，求X的分布列与均值．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=x2+alnx，a∈R．
(1)若曲线f(x)在x=1处的切线与直线2x+3y+1=0垂直，求a的值；
(2)讨论f(x)的单调性；
(3)当x∈1e,e时，f(x)≥(a+2)x，求a的取值范围．
参考答案
1.B
2.D
3.D
4.B
5.A
6.D
7.A
8.D
9.AC
10.ACD
11.BCD
12.36
13.54
14.(−∞,−1)∪(1,+∞)
15.(1)2×2列联表如下：
零假设H0“是微短剧消费者”与“年龄不超过40岁”无关联，
因为χ2=200×(30×85−70×15)2100×100×45×155≈6.452>3.841=x0.05，
根据小概率值α=0.05的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为“是微短剧消费者”与“年龄不超过40岁”有关联，此推断犯错误的概率不超过0.05．
(2)由x的取值依次为1，2，3，4，5，得x=3，i=15xi−x2=10，
因为经验回归方程为y=132.71x−192.89，
所以b=i=15xi−xyi−yi=15xi−x2=i=15xi−xyi−y10=132.71，
所以i=15xi−xyi−y=1327.1，
所以r=i=15xi−xyi−y i=15xi−x2 i=15yi−y2=×442.03≈0.95．
因为|r|=0.95>0.75，所以该经验回归方程有价值．

16.【详解】(1)由题意可知f′(x)=6x2−2ax+12，
因为f(x)在x=2处取极小值5，所以f′(2)=24−4a+12=0，解得a=9，
此时f′(x)=6x2−18x+12x=6(x−1)(x−2)，
所以f(x)在(1,2)上单调递减，在(2,+∞)上单调递增
所以f(x)在x=2时取极小值，符合题意
所以a=9,f(x)=2x3−9x2+12x+b，又f(2)=4+b=5，所以b=1．
综上a=9,b=1．
(2)由(1)得f(x)=2x3−9x2+12x+1，所以f′(x)=6(x−1)(x−2)
列表如下：
故x∈[0,3]时，f(x)的值域为[1,10]．

17.【详解】(1)由题意，可知ξ可取0，1，2，3，
P(ξ=0)=C40C43C83=114，P(ξ=1)=C41C42C83=37，P(ξ=2)=C42C41C83=37，P(ξ=3)=C43C40C83=114，
所以ξ的分布列为：
从而ξ的数学期望E(ξ)=0×114+1×37+2×37+3×114=32．
(2)η可取的值为0，1，2，3，4，5，6，显然η～(6,34)，
P(η=4)=C64(34)4(14)2=12154096，P(η=5)=C65(34)5(14)=7292048，
P(η=6)=(34)6=7294096．
所以技术攻坚成功的概率P(η≥4)=P(η=4)+P(η=5)+P(η=6)=17012048，
所以η的方差D(η)=6×34×(1−34)=98．
(3)由X∼(9,0.04)，得σ=0.2，由P(|X−μ|≤2σ)≈0.9545，得P(8.6