江苏省徐州市2024-2025学年高二下学期3月阶段性检测数学试卷（解析版）

这是一份江苏省徐州市2024-2025学年高二下学期3月阶段性检测数学试卷（解析版），共13页。试卷主要包含了考生必须保持答题卡的整洁， 下列结论正确的是等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名､学校､班级､考生号填写在答题卡上将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔吧答题卡上对应题目的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡个题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按要求作答的答案无效.
4.考生必须保持答题卡的整洁.
一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知函数的导数为，则＝（ ）
A. 1B. 2
C. 3D. 4
【答案】D
【解析】则.
故选：D.
2. 若曲线在点处的切线方程是，则（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【解析】因曲线在点处的切线方程是，
对函数求导得：，所以，.故选：B
3. 曲线在点处的切线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】，所求切线斜率，
所求切线方程为：，即.
故选：A.
4. 若定义在 上的函数 的图象如图所示，则函数 的增区间为（ ）
A. B.
C D.
【答案】B
【解析】由图象可得，
当时，由得，在上单调递增，
当时，由得，在上单调递减，
当时，由得，在上单调递减，
综上，函数 的增区间为.
故选：B.
5. 过原点且与函数图像相切的直线方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】因为，
所以，
设所求切线的切点为，则，
由题知，，解得，所以切线斜率为，
故所求切线方程为.
故选：C.
6. 若函数在处有极大值，则常数c为（ ）
A. 1B. 3C. 1或3D. -1或-3
【答案】B
【解析】函数，，
由题意知，在处的导数值为，
，或，
又函数在处有极大值，
故导数值在处左侧为正数，右侧为负数．
当时，，
满足导数值在处左侧为正数，右侧为负数．
当时，，
导数值在处左侧为负数，右侧为正数．
故．
故选：B．
7. 函数是定义在上的奇函数，对任意实数恒有，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】设，则，
由条件可知，，所以，则函数在上单调递增，
因为函数是定义在上的奇函数，则，即，故A错误；
由函数的单调性可知，，得，故B正确；
由，得，故C错误；
由，得，故D错误.
故选：B
8. 若函数的导数，的最小值为，则函数的零点为（ ）
A. 0B.
C. D.
【答案】C
【解析】因为函数的导数，所以，为常数，
设，则恒成立，在上单调递增，
即在上单调递增，又，
故当时，，即单调递减，
时，，即单调递增，
所以在处取得最小值，即，所以，
所以，由，
令，解得，
所以的零点为.
故选：C.
二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知命题“，”为真命题，则实数m的可能取值是（ ）
A B. 0C. 1D.
【答案】AB
【解析】因为命题“，”为真命题，
所以，，
令，，
则，
可知为增函数，当时，有最小值，
故实数m的取值范围为，
故选：AB.
10. 下列结论正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】ACD
【解析】对于A，由，为常数，所以，故选项A正确；
对于B，由，为常数，所以，故选项B不正确；
对于C，由，根据复合函数求导法则，，
故选项C正确；
对于D，由，根据复合函数求导法则，
，故选项D正确.
故选：ACD.
11. 若函数，其导函数为 ，则下列说法正确是（ ）
A. 函数 没有极值点B. 是奇函数
C. 点是函数 的对称中心D.
【答案】ACD
【解析】对于A项，由函数求导得：，
显然，即在R上为增函数，故函数没有极值点，
即A项正确；
对于B项，记，由 可知函数不是奇函数，故B项错误；
对于C项，由可知函数的图象关于点成中心对称，故C项正确；
对于D项，当时，因，则，从而，，即，此时满足；
当时，因，则，从而，，即，此时满足.
综上可得：恒成立，故D项正确.
故选：ACD.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数，若存在，使得，则实数的取值范围______．
【答案】
【解析】存在，使得可得，
构造函数，其中，则，
当时，，此时函数单调递增，当时，，此时函数单调递减，
则，所以，，解得，因此，实数的取值范围是.
故答案为：.
13. 已知函数的极大值点为，极小值点为，则等于__________.
【答案】
【解析】因为，则，
令，得到，解得，，
当时，，时，，时，，
即在区间上单调递增，
在区间上单调递减，
在区间上单调递增，
所以是极大值点，是极小值点，
得到，
故答案为：.
14. 已知函数，若在上存在零点，则实数a的最大值是__________．
【答案】
【解析】由，在存在零点，
即在上有解，
令，，则恒成立，
故在上单调递增，故，
即，
令，，则，
则当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
故，当时，，
即有，故，即实数a的最大值是.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知函数的图象在点处的切线方程是.
（1）求，的值；
（2）求函数在区间上的最大值与最小值.
解：（1），，
所以，解得，
（2）由（1）得，
当，令，解得或，
故在和单调递增，在单调递减，
又，，
，
由于，，
所以
16. 已知函数
（1）当时，求在上的最值；
（2）讨论的单调性．
解：（1）因为，所以．
当时，，当时，，
故的单调递增区间为和，单调递减区间为．
因为，
所以在上最大值为32，最小值为．
（2）因为，
所以
令，得或．
当，即时，由，解得或，由，
解得．
当，即时，恒成立．
当，即时，由，解得或，由，
解得．
综上所述，当时，的单调递增区间为和，
单调递减区间为；
当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为．
17. 已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若函数有三个不同的零点，求实数m的取值范围．
解：（1）当时，，．
所以，，
所以切线l：，即
（2）
令，得或．
当或时，；当时，．
∴的增区间为，；减区间为．
∴的极大值为，
的极小值为．
∴，解得：．
此时，，所以函数有三个不同的零点，所以．
18. 设，函数，．
（1）若，求的最小值与的最大值；
（2）若在上恒成立，求．
解：（1）若，，，
，当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，，
，当时，，当时，，
所以函数函数在上单调递减，在上单调递增，所以；
（2）令，
则在上恒成立，
，
当时，，
所以函数在上单调递增，而，
所以当时，在上不恒成立，
当时，若，则，
故当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，
令，则，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，即，
综上，只需，得，
综上所述，.
19. 已知函数.
（1）讨论函数的零点个数；
（2）已知函数，当时，关于的方程有两个实根，求证：.（注：是自然对数的底数）
解：（1）由已知函数的定义域为，
由，得，
令函数，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在单调递减，
所以，
因为，
可知函数的图象如下所示：

所以当时，函数的零点个数为0个，当或时，函数的零点个数为1个，当时，函数的零点个数为2个.
（2）由题设方程，即，
所以，
令，得，
又在上恒成立，所以在上单调递增，所以，即，
由已知，方程有两个实根，
即有两个实根，由（1）得.
令，
所以
令，所以有两个实根，
先证.
因为，令，解得，令，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，要证，即证，
因为在上单调递减，只需证，
即证.
令，
，
因为，
令，
可知函数在上单调递增，所以，所以，
所以，即在上恒成立，
所以在上单调递增，所以，所以成立，
即成立，又，且在上单调递减，
所以，所以，即，所以，
所以，即.