河南省周口市鹿邑县2024-2025学年高二下学期4月期中数学试题（原卷版+解析版）

这是一份河南省周口市鹿邑县2024-2025学年高二下学期4月期中数学试题（原卷版+解析版），共16页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4．本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册占30%，选择性必修第二册占35%，选择性必修第三册第六、七章占35%．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若直线与互相垂直，则（ ）
A. 0B. C. D.
2. 已知数列的前n项和为，且，则（ ）
A. 1B. 2C. D.
3. 在的展开式中，的系数为（ ）
A. 250B. 500C. D.
4. 已知各项均为正数的等比数列的前4项和为30，且，则（ ）
A. 1B. 2C. 4D. 8
5. 曲线在点处的切线方程为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知直线与函数，的图象分别交于点、，当取得最小值时，（ ）
A. B. C. D.
7. 记棱长为2的正方体的内切球为球是球O的一条直径，P为该正方体表面上的动点，则的最大值为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
8. 将一根长为3的铁丝截成9段，使其组成一个正三棱柱的框架（铁丝长等于正三棱柱所有棱的长度之和），则该正三棱柱的体积最大为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 记为等差数列的前n项和．已知，则（ ）
A. B. C. D.
10. 已知函数，下列结论正确的是（ ）
A. 若为奇函数，则
B. 的图象关于直线对称
C. 若，则的单调递增区间为
D. 当时，在上单调递增
11. 已知表示中最小的数，表示中最大的数.若数列，都只有项，且都是由数字，，，，，，，随机排列而成的（每个数字都出现，但不重复出现），记，，则（ ）
A. X值可能为，，，B. 的值可能为，，，
C. 的概率为D. 的概率为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 某林业科学院培育新品种草莓，新培育的草莓单果质量（单位：g）近似服从正态分布，现有该新品种草莓10000个，估计其中单果质量超过的草莓有___________个．
附：若，则．
13. 将6名志愿者安排到5个小区参加以“健康生活”为主题宣传活动，每名志愿者只去1个小区，每个小区至少安排1名志愿者，则不同的安排方法共有___________种．
14. 双曲线左、右焦点分别为是双曲线C右支上一点，且直线的斜率为是面积为的直角三角形，则双曲线C的实半轴长为___________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知椭圆的离心率为，点在椭圆C上．
（1）求椭圆C标准方程．
（2）直线与椭圆C交于M，N两点．
①求m的取值范围；
②若，求的值．
16. 为了研究某中药预防方对预防某种疾病的效果，进行实验后得到如下结果：
单位：人
（1）从参与该实验的人中任选1人，A表示事件“选到的人服用中药预防方”，B表示事件“选到的人不患病”．利用该调查数据，求的值．
（2）以频率作为概率，若每天从参与该实验且服用了中药预防方的人中随机抽取1人，连续抽10天，每天抽取的结果相互独立，记这10天抽到的人中不患病的人数为X，求X的期望．
17. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，．
（1）证明：平面平面．
（2）若二面角的余弦值为，求四棱锥的体积．
18. 已知函数．
（1）求的极值；
（2）求的单调区间；
（3）若，求a的取值范围．
19. 某商家为吸引顾客，准备了两份奖品，凡是进店消费即可参与抽奖，奖品被抽完即抽奖活动终止．抽奖的规则如下：在一个不透明的盒子中有放回地取球（小球大小和质地相同），取出红球，则不获奖，取出白球，则获奖．刚开始盒子中有个白球和个红球，参与抽奖的顾客从盒子中随机抽取1个球，若不获奖，则将球放回，该顾客抽奖结束，下一名顾客继续抽奖．若获奖，则将球放回后再往盒子中加个红球，该顾客再继续抽奖．若第二次抽奖不获奖，则将球放回，该顾客只获得一份奖品，抽奖结束，下一名顾客继续抽奖；若第二次抽奖获奖，则该顾客获得两份奖品，整个抽奖活动结束．该活动深受顾客喜欢，假设这两份奖品没被抽完前始终有顾客参与抽奖．
（1）求第名和第名顾客各抽中一份奖品的概率；
（2）求这两份奖品都被第名顾客抽取概率；
（3）求由第名顾客终止抽奖活动的概率．
河南省2024—2025年度高二期中考试
数学
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4．本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册占30%，选择性必修第二册占35%，选择性必修第三册第六、七章占35%．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若直线与互相垂直，则（ ）
A. 0B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分类讨论直线的斜率，再利用即可.
【详解】由题意可知直线的斜率，
当时，直线的斜率不存在，不满足；
当时，直线的斜率，
由，得，即，解得．
故选：B
2. 已知数列的前n项和为，且，则（ ）
A. 1B. 2C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据代入即可得解.
【详解】当时，，又，则．
当时，，又，所以，
解得：．
故选：D
3. 在的展开式中，的系数为（ ）
A. 250B. 500C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二项式展开式的通项公式即可求得答案.
【详解】由二项式展开式的通项公式可得，，
令，解得，所以的系数为．
故选：C
4. 已知各项均为正数的等比数列的前4项和为30，且，则（ ）
A. 1B. 2C. 4D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】根据等比数列通项公式的基本量运算求出，进而得出.
【详解】设等比数列的公比为q，则，又，
解得，故．
故选：D.
5. 曲线在点处的切线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求出导函数得出切线斜率，再应用点斜式写出直线方程.
【详解】，所求切线方程为．
故选：A.
6. 已知直线与函数，的图象分别交于点、，当取得最小值时，（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】令函数，利用导数求出函数的最小值及其对应的值，即可得出结论.
【详解】由题意可得，
令函数，则．
由可得，由可得，
所以，函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，，即的最小值为，此时．
故选：A.
7. 记棱长为2的正方体的内切球为球是球O的一条直径，P为该正方体表面上的动点，则的最大值为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据空间向量的加法运算和数量积的运算律求解.
【详解】由题意可得，球O的半径为1．
．当P为正方体顶点时等号成立，
故选：B
8. 将一根长为3的铁丝截成9段，使其组成一个正三棱柱的框架（铁丝长等于正三棱柱所有棱的长度之和），则该正三棱柱的体积最大为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求出正三棱柱的体积，再求出导函数，根据导函数正负得出函数单调性，进而得出最大值即可.
【详解】设正三棱柱的底面边长为x，侧棱长为y，则，即．
正三棱柱的体积．
当时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，V取得最大值，最大值为．
故选：C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 记为等差数列的前n项和．已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据等差数列，且，求得，再利用等差数列通项公式和前项和公式求解.
详解】解得：
所以，
A，B，D正确，，C错误．
故选：ABD
10. 已知函数，下列结论正确是（ ）
A. 若为奇函数，则
B. 的图象关于直线对称
C. 若，则的单调递增区间为
D. 当时，在上单调递增
【答案】BCD
【解析】
【分析】A选项，求定义域，根据奇函数性质求出；B选项，计算出，B正确；C选项，，解不等式求出单调递增区间；D选项，求导，得到，其中，解不等式求出单调递增区间.
【详解】A选项，的定义域为，
若为奇函数，则，解得，A错误．
B选项，，
所以的图象关于直线对称，B正确．
C选项，若，则．
令，解得，
所以的单调递增区间为，C正确．
D选项，
，
当时，，故．
令，即，解得，
所以的单调递增区间为，D正确．
故选：BCD
11. 已知表示中最小的数，表示中最大的数.若数列，都只有项，且都是由数字，，，，，，，随机排列而成的（每个数字都出现，但不重复出现），记，，则（ ）
A. X的值可能为，，，B. 的值可能为，，，
C. 的概率为D. 的概率为
【答案】ACD
【解析】
【分析】先确定满足条件的的个数，再结合定义确定的可能取值，确定取各值的方法数，由此可得取各值的概率，再求的值及取各值的概率，结合概率加法和乘法公式求结论.
【详解】将1，2，3，4，5，6，7，8平均分成组，有种分法.
X值可能为，，，，A正确；
不妨设，
若，，，中的最大值为，则，，，中的最大值为，有种情况，此时.
若，，，中的最大值为，则，，，中的最大值为，有种情况，此时.
若，，，中的最大值为，则，，，中的最大值为，有种情况，此时.
若，，，中的最大值为，则，，，中的最大值为，有种情况，此时.
，，，.
，C正确；
又的值可能为，，，，B错误；
不妨设
若，，，中的最小值为，则，，，中的最小值为，有种情况，此时.
若，，，中的最小值为，则，，，中的最小值为，有种情况，此时.
若，，，中的最小值为，则，，，中的最小值为，有种情况，此时.
若，，，中的最小值为，则，，，中的最小值为，有种情况，此时.
，，，.
，D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 某林业科学院培育新品种草莓，新培育的草莓单果质量（单位：g）近似服从正态分布，现有该新品种草莓10000个，估计其中单果质量超过的草莓有___________个．
附：若，则．
【答案】1587
【解析】
【分析】根据正态分布的概率性质计算求解.
【详解】由可知，
故其中单果质量超过的草莓约有个．
故答案为：1587.
13. 将6名志愿者安排到5个小区参加以“健康生活”为主题的宣传活动，每名志愿者只去1个小区，每个小区至少安排1名志愿者，则不同的安排方法共有___________种．
【答案】1800
【解析】
【分析】先利用组合数的概念从名志愿者中选出人作为一组，再利用排列数的概念将分好的组全排列分配到个小区，最后根据分步乘法计数原理计算出不同的安排方法总数．
【详解】先将2名志愿者看作一组，选法有种，
再将5组志愿者分配到5个小区，分法有种，故不同的安排方法有种．
故答案为：
14. 双曲线的左、右焦点分别为是双曲线C右支上一点，且直线的斜率为是面积为的直角三角形，则双曲线C的实半轴长为___________．
【答案】##
【解析】
【分析】通过已知点所在象限和，利用直线斜率求出三角函数值，再借助正弦定理得到线段比例关系，结合三角形面积求出线段长度，最后根据双曲线定义求出的值．
【详解】由题可知，点P在第四象限，．
设．由，求得．
因为，所以，求得，即．
由正弦定理可得．
设，得．由，
得，则，，
又，解得．
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知椭圆的离心率为，点在椭圆C上．
（1）求椭圆C的标准方程．
（2）直线与椭圆C交于M，N两点．
①求m的取值范围；
②若，求的值．
【答案】（1）
（2）①；②．
【解析】
【分析】（1）根据离心率和过点，代入计算得到答案；
（2）将直线的方程与椭圆方程联立得，利用根的判别式求解即可；
（3）由（2）结合，利用韦达定理和弦长公式即可求解.
【小问1详解】
因为点在椭圆C上，所以．
椭圆C的离心率为，解得．
故椭圆C的标准方程为．
【小问2详解】
联立得．
①，解得，
所以m的取值范围为．
②因为，所以，解得．
．
16. 为了研究某中药预防方对预防某种疾病的效果，进行实验后得到如下结果：
单位：人
（1）从参与该实验的人中任选1人，A表示事件“选到的人服用中药预防方”，B表示事件“选到的人不患病”．利用该调查数据，求的值．
（2）以频率作为概率，若每天从参与该实验且服用了中药预防方的人中随机抽取1人，连续抽10天，每天抽取的结果相互独立，记这10天抽到的人中不患病的人数为X，求X的期望．
【答案】（1）
（2）9
【解析】
【分析】（1）概率计算，依据条件概率公式来求解；
（2）二项分布期望的计算，根据二项分布的期望公式进行计算．
【小问1详解】
由题意可得，
．
．
【小问2详解】
从参与该实验且服用了中药预防方的人中随机抽取1人，不患病的概率为．
由已知得，
则．
17. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，．
（1）证明：平面平面．
（2）若二面角的余弦值为，求四棱锥的体积．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由线面垂直的判定定理可证平面，由此可得平面平面；
（2）作，垂足为E，连接，先证平面，然后以E为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法表示面面角的余弦值，即可求解，再利用锥体的体积公式即可求解.
【小问1详解】
因为，，，平面，
所以平面，因为平面，
所以平面平面；
小问2详解】
作，垂足为E，连接，
因为，，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
因为平面平面，平面平面，
所以平面，
以E为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
设，则，
设平面的法向量为，
则，取，
设平面的法向量为，
则，取，
，解得（舍去），
即，
四棱锥的体积.
18. 已知函数．
（1）求的极值；
（2）求的单调区间；
（3）若，求a的取值范围．
【答案】（1）极小值为，无极大值．
（2）答案见解析 （3）．
【解析】
【分析】(1)求出导数，根据导数与极值点的关系求极值点，再求极值即可；
(2) 求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；
(3)由题意，可得，即，构造函数，上式等价于，利用导数计算求解即可得出结果．
【小问1详解】
．
令，解得，令，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减．
在处取得极小值，极小值为，无极大值．
【小问2详解】
的定义域为．
．
若，则为常函数，无单调区间．
若，则的单调递减区间为，无单调递增区间．
【小问3详解】
因为，所以，即．
令函数，上式等价于．
在上恒成立，所以在上单调递增．
因为当时，，当时，，所以，即．
因，所以，所以．
故a的取值范围是．
19. 某商家为吸引顾客，准备了两份奖品，凡是进店消费即可参与抽奖，奖品被抽完即抽奖活动终止．抽奖的规则如下：在一个不透明的盒子中有放回地取球（小球大小和质地相同），取出红球，则不获奖，取出白球，则获奖．刚开始盒子中有个白球和个红球，参与抽奖的顾客从盒子中随机抽取1个球，若不获奖，则将球放回，该顾客抽奖结束，下一名顾客继续抽奖．若获奖，则将球放回后再往盒子中加个红球，该顾客再继续抽奖．若第二次抽奖不获奖，则将球放回，该顾客只获得一份奖品，抽奖结束，下一名顾客继续抽奖；若第二次抽奖获奖，则该顾客获得两份奖品，整个抽奖活动结束．该活动深受顾客喜欢，假设这两份奖品没被抽完前始终有顾客参与抽奖．
（1）求第名和第名顾客各抽中一份奖品的概率；
（2）求这两份奖品都被第名顾客抽取的概率；
（3）求由第名顾客终止抽奖活动的概率．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）分析可知第名顾客抽取的是红球；第名顾客第一次抽取的是白球，第二次抽取的是红球；第名顾客抽取的是白球.结合独立事件的概率公式可求得所求事件的概率；
（2）利用列举法列举出这两分别奖品都被第名、第名、第名顾客抽走的概率，利用归纳可得出这两份奖品都被第名顾客抽取的概率；
（3）设由第名顾客终止抽奖的概率为，可得出的值，讨论的情形，第名顾客共抽取了两份奖品，则前面名顾客都没有抽到奖品；第名顾客抽取了一份奖品，则前面名顾客中第名顾客抽到了一份奖品，计算出两种情况下所求概率，相加即可得解.
【小问1详解】
由题意可得第名和第名顾客各抽中一份奖品，即第名顾客抽取的是红球；
第名顾客第一次抽取的是白球，第二次抽取的是红球；第名顾客抽取的是白球.
故第名和第名顾客各抽中一份奖品的概率为.
【小问2详解】
这两份奖品被第名顾客抽走的概率为，
被第名顾客抽走的概率为，
被第名顾客抽走的概率为，
，
被第名顾客抽走的概率为.
【小问3详解】
设由第名顾客终止抽奖的概率为，则，以下讨论的情形：
若第名顾客共抽取了两份奖品，则前面名顾客都没有抽到奖品，其概率为，
若第名顾客抽取了一份奖品，则前面名顾客中第名顾客抽到了一份奖品，
则前面名顾客五人抽到奖品，其概率为，
第名顾客只获得一份奖品，其概率为，
第名顾客到第名顾客都没有抽到奖品，其概率为，
所以，第名顾客抽取了一份奖品的概率为
，
所以，，
当时，不符合上式，
因此，由第名顾客终止抽奖活动的概率为.
服用情况
患病情况
患病
不患病
服用中药预防方
100
900
不服用中药预防方
400
600
服用情况
患病情况
患病
不患病
服用中药预防方
100
900
不服用中药预防方
400
600