2024-2025学年河南省周口市鹿邑县高二下学期4月期中数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年河南省周口市鹿邑县高二下学期4月期中数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若直线l1:x−y+1=0与l2:x−(2+a)y+1=0互相垂直，则a=( )
A. 0B. −3C. −1D. −2
2.已知数列an的前n项和为Sn，且3Sn=2an+1，则a2=( )
A. 1B. 2C. −1D. −2
3.在(−5x−1)5的展开式中，x2的系数为( )
A. 250B. 500C. −250D. −500
4.已知各项均为正数的等比数列an的前4项和为30，且a4=3a2+2a1，则a3=( )
A. 1B. 2C. 4D. 8
5.曲线y=f(x)=lnx2+x−1在点(1,f(1))处的切线方程为( )
A. y=3x−3B. y=2x−2C. y=x−1D. y=0
6.已知直线x=a与函数f(x)=ex，g(x)=x的图象分别交于点A、B，当|AB|取得最小值时，a=( )
A. 0B. 1C. eD. 1e
7.记棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1的内切球为球O,EF是球O的一条直径，P为该正方体表面上的动点，则PE⋅PF的最大值为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
8.将一根长为3的铁丝截成9段，使其组成一个正三棱柱的框架(铁丝长等于正三棱柱所有棱的长度之和)，则该正三棱柱的体积最大为( )
A. 336B. 372C. 3108D. 3324
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.记Sn为等差数列an的前n项和．已知S5=0,a5=6，则( )
A. a1=−6B. an=3n−9C. S2=S4D. Sn=3n2−15n2
10.已知函数f(x)=(sinx−a)2(sinx+a)，下列结论正确的是( )
A. 若f(x)为奇函数，则a=1
B. f(x)的图象关于直线x=π2对称
C. 若a=0，则f(x)的单调递增区间为−π2+2kπ,π2+2kπ,k∈Z
D. 当a∈(3,+∞)时，f(x)在π2+2kπ,3π2+2kπ,k∈Z上单调递增
11.已知minx1,x2,⋯,xn表示x1,x2,⋯,xn中最小的数，maxx1,x2,⋯,xn表示x1,x2,⋯,xn中最大的数.若数列an，bn都只有8项，且都是由数字1，2，3，4，5，6，7，8随机排列而成的(每个数字都出现，但不重复出现)，记X=minmaxa1,a2,a3,a4,maxa5,a6,a7,a8，Y=maxminb1,b2,b3,b4,minb5,b6,b7,b8，则( )
A. X的值可能为4，5，6，7B. Y的值可能为3，4，5，6
C. X≥6的概率为67D. X>Y的概率为12161225
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某林业科学院培育新品种草莓，新培育的草莓单果质量ξ(单位：g)近似服从正态分布N(50,4)，现有该新品种草莓10000个，估计其中单果质量超过52g的草莓有 个．附：若X～Nμ,σ2，则P(μ−σ0)的左、右焦点分别为F1,F2,P是双曲线C右支上一点，且直线PF2的斜率为 2,△PF1F2是面积为2 2的直角三角形，则双曲线C的实半轴长为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为 32，点A(2,1)在椭圆C上．
(1)求椭圆C的标准方程．
(2)直线l:y=x+m与椭圆C交于M，N两点．
①求m的取值范围；
②若m=1，求|MN|的值．
16.(本小题15分)
为了研究某中药预防方对预防某种疾病的效果，进行实验后得到如下结果：
单位：人
(1)从参与该实验的人中任选1人，A表示事件“选到的人服用中药预防方”，B表示事件“选到的人不患病”.利用该调查数据，求P(A|B),PA|B的值．
(2)以频率作为概率，若每天从参与该实验且服用了中药预防方的人中随机抽取1人，连续抽10天，每天抽取的结果相互独立，记这10天抽到的人中不患病的人数为X，求X的期望．
17.(本小题15分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD/\!/BC,AB⊥AD,AB=BC=1,AD=3,AB⊥PD,AD⊥PC．
(1)证明：平面PAD⊥平面ABCD．
(2)若二面角B−PC−D的余弦值为− 306，求四棱锥P−ABCD的体积．
18.(本小题17分)
已知函数f(x)=x2lnx,g(x)=a⋅eax．
(1)求f(x)的极值；
(2)求g(x)的单调区间；
(3)若∀x∈(1,+∞),f(x)>g(x)，求a的取值范围．
19.(本小题17分)
某商家为吸引顾客，准备了两份奖品，凡是进店消费即可参与抽奖，奖品被抽完即抽奖活动终止.抽奖的规则如下：在一个不透明的盒子中有放回地取球(小球大小和质地相同)，取出红球，则不获奖，取出白球，则获奖.刚开始盒子中有2个白球和3个红球，参与抽奖的顾客从盒子中随机抽取1个球，若不获奖，则将球放回，该顾客抽奖结束，下一名顾客继续抽奖.若获奖，则将球放回后再往盒子中加1个红球，该顾客再继续抽奖.若第二次抽奖不获奖，则将球放回，该顾客只获得一份奖品，抽奖结束，下一名顾客继续抽奖;若第二次抽奖获奖，则该顾客获得两份奖品，整个抽奖活动结束.该活动深受顾客喜欢，假设这两份奖品没被抽完前始终有顾客参与抽奖．
(1)求第2名和第3名顾客各抽中一份奖品的概率;
(2)求这两份奖品都被第n名顾客抽取的概率;
(3)求由第k名顾客终止抽奖活动的概率．
参考答案
1.B
2.D
3.C
4.D
5.A
6.A
7.B
8.C
9.ABD
10.BCD
11.ACD
12.1587
13.1800
14. 2−1/−1+ 2
15.【详解】(1)因为点A(2,1)在椭圆C上，所以4a2+1b2=1．
椭圆C的离心率为ca= 32,a2=b2+c2，解得a2=8,b2=2．
故椭圆C的标准方程为x28+y22=1．
(2)联立x28+y22=1,y=x+m,得5x2+8mx+4m2−8=0．
①Δ=(8m)2−4×54m2−8>0，解得− 100，解得x>e−12，令f′(x)ℎeax．
ℎ′(x)=lnx+1,ℎ′(x)>0在(1,+∞)上恒成立，所以ℎ(x)在(1,+∞)上单调递增．
因为当x∈(0,1)时，ℎ(x)0，所以x>eax，即aℎ(1)=0，所以xlnx>0，所以a≤0．
故a的取值范围是(−∞,0]．

19.解：(1)由题意得第2名和第3名顾客各抽中一份奖品，即第1名顾客抽取的是红球;
第2名顾客第一次抽取的是白球，第二次抽取的是红球;第3名顾客抽取的是白球，
故第2名和第3名顾客各抽中一份奖品的概率为35×25×23×13=475．
(2)这两份奖品被第1名顾客抽走的概率为25×13，
被第2名顾客抽走的概率为35×25×13，
被第3名顾客抽走的概率为35×35×25×13，
被第n名顾客抽走的概率为(35)n−1×25×13=215×(35)n−1．
(3)设由第k名顾客终止抽奖活动的概率为pk，则p1=215，以下讨论k≥2的情形．
若第k名顾客共抽取了两份奖品，则前面(k−1)名顾客都没有抽到奖品，其概率为p′k=(35)k−1×25×13．
若第k名顾客抽取了一份奖品，设前面(k−1)名顾客中第i(1≤i≤k−1,k,i∈N∗)名顾客抽取到了一份奖品，
则前面(i−1)名顾客中无人获得奖品，其概率为(35)i−1，
第i名顾客只获得一份奖品，其概率为25×23，
第(i+1)名顾客到第(k−1)名顾客都没有获得奖品，其概率为(23)k−i−1，
所以第k名顾客抽取了一份奖品的概率为
p′′k=i=1k−1[(35)i−1×25×23×(23)k−i−1×13]=25×13×(23)k−1×i=1k−1(3523)i−1
=25×13×(23)k−1×i=1k−1(910)i−1=25×13×(23)k−1×1−(910)k−11−910=43[(23)k−1−(35)k−1].
pk=p′k+p′′k=(35)k−1×25×13+43[(23)k−1−(35)k−1]=2[(23)k−(35)k].
当k=1时，也满足上式．
因此，由第k名顾客终止抽奖活动的概率为2[(23)k−(35)k]. 服用情况
患病情况
患病
不患病
服用中药预防方
100
900
不服用中药预防方
400
600