河南省周口市鹿邑县2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷

这是一份河南省周口市鹿邑县2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷，共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．设函数f（x）在x＝x0处存在导数为2，则＝（ ）
A．1B．2C．D．3
2．已知等差数列{an}中，a2＝1，a3+a5＝4，则该数列公差为（ ）
A．B．1C．D．2
3．函数y＝sinx+x的零点个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
4．在的展开式中x2项的系数是（ ）
A．240B．﹣240C．15D．﹣15
5．记Sn为等比数列{an}的前n项和，若a3a5＝2a2a4，则＝（ ）
A．5B．4C．3D．2
6．2024年3月，甲、乙两人计划去贵州旅游，现有梵净山、黄果树大瀑布、西江千户苗寨、荔波小七孔、青岩古镇、肇兴侗寨六个景区供他们选择，甲去两个景区，乙去三个景区，且甲不去梵净山，乙要去青岩古镇，则这两人的旅游景区的选择共有（ ）
A．60种B．100种C．80种D．120种
7．已知函数y＝f（x）的图象如图所示，则不等式x•f′（x）＜0的解集为（ ）
A．（﹣∞，）∪（，2）B．（﹣∞，）∪（2，+∞）
C．（﹣1，0）∪（1，3）D．（﹣∞，0）∪（，2）
8．已知f'（x）是函数f（x）（x∈R）的导数，且∀x∈R，f'（x）＞2x，f（2）＝5，则不等式f（x）＞x2+1的解集为（ ）
A．（﹣∞，2）B．（2，+∞）C．D．
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．关于（7﹣x）7的展开式，下列判断正确的是（ ）
A．展开式共有8项
B．展开式的各二项式系数的和为128
C．展开式的第7项的二项式系数为49
D．展开式的各项系数的和为67
10．已知无穷等差数列{an}的前n项和为Sn，S2018＜S2019且S2019＞S2020，则（ ）
A．在数列{an}中，a1最大
B．在数列{an}中，a2019最大
C．a2020＞0
D．当n≥2020时，an＜0
11．已知函数f（x）＝﹣x3+x+1的导函数为f′（x），两个极值点为α，β，则（ ）
A．f（x）有三个不同的零点
B．α+β＝0
C．f（α）+f（β）＝1
D．直线y＝x+1是曲线y＝f（x）的切线
三、填空题（本题3小题，每小题5分，共15分）
12．设等比数列{an}的前n项和为Sn，写出一个满足下列条件的{an}的公比q＝ ．
①an＞0，②{an}是递减数列，③S4＜S3+3a5．
13．若a＞0，b＞0，且函数f（x）＝4x3﹣ax2﹣bx﹣2在x＝1处有极值，则ab的最大值 ．
14．已知函数f（x）＝（x2+mx+n）ex，若函数f（x）有两个不同零点，则f（x）极值点的个数为 ．
四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算过程）
15．（13分）已知（n∈N*）的展开式中前3项的二项式系数之和等于29．
（1）求n的值；
（2）若展开式中x的一次项的系数为56，求实数a的值．
16．（15分）已知函数f（x）＝x2﹣2lnx．
（1）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）求y＝f（x）的单调区间．
17．（15分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5+a9＝﹣2，S3＝57．
（1）求数列{an}的通项公式an；
（2）求数列{|an|}的前n项和Tn．
18．（17分）在数列{an}中，a1＝4，an+1＝4an﹣3n+1，n∈N*．
（1）设bn＝an﹣n，求证：数列{bn}是等比数列；
（2）求数列{an}的前n项和Sn．
19．（17分）已知函数f（x）＝ax2+blnx在x＝1处有极值．
（1）求a，b的值；
（2）求函数f（x）在上的最大值与最小值．
2023-2024学年河南省周口市鹿邑县高二（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
1．【分析】利用导数的定义即可得解．
【解答】解：由依题意，知f′（x0）＝2，
则＝．
故选：C．
2．【分析】由等差数列的通项公式列出方程组，能求出公差和首项．
【解答】解：∵等差数列{an}中，a2＝1，a3+a5＝4，
∴，
解得d＝，，
∴该数列公差为．
故选：A．
3．【分析】利用导数求函数的单调性，易知0是函数的零点，从而可求解．
【解答】解：记y＝f（x）＝sinx+x，函数f（x）的定义域为R，f'（x）＝1+csx≥0，
故函数f（x）在R上单调递增．
又f（0）＝0，
所以函数y＝sinx+x的零点个数为1．
故选：B．
4．【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为2求出展开式中x2项的系数．
【解答】解：展开式的通项为＝（﹣1）r26﹣rC6rx6﹣2r
令6﹣2r＝2得r＝2
故展开式的x2项的系数是24C62＝240
故选：A．
5．【分析】根据题意，设等比数列{an}的公比为q，由等比数列的性质可得＝q2＝2，又由＝＝1+q2，计算可得答案．
【解答】解：根据题意，设等比数列{an}的公比为q，
若a3a5＝2a2a4，即＝q2＝2，
故＝＝1+q2＝3．
故选：C．
6．【分析】根据分步乘法计数原理和组合数公式可得．
【解答】解：第一步，甲从黄果树大瀑布、西江千户苗寨、荔波小七孔、青岩古镇、肇兴侗寨五个景区中任选两个，有种选择；
第二步，乙从梵净山、黄果树大瀑布、西江千户苗寨、荔波小七孔、肇兴侗寨这五个景区中任选两个，有种选择；
故这两人的旅游景区的选择共有种．
故选：B．
7．【分析】由图象先确定原函数的单调性，从而确定导函数在各个范围的正负号，再结合x的正负，即可得不等式的解集
【解答】解：由图象知f（x）在（﹣∞，）和（2，+∞）上单调递增，在上单调递减
∴f'（x）＞0的解集为（﹣∞，）∪（2，+∞），f'（x）＜0的解集为（，2）
又∵x•f′（x）＜0等价于或
∴x＜0或＜x＜2
∴原不等式的解集为（﹣∞，0）∪（，2）
故选：D．
8．【分析】令g（x）＝f（x）﹣x2，利用导数说明函数的单调性，再由g（2）＝1，不等式f（x）＞x2+1，即g（x）＞g（2），结合单调性即可得解．
【解答】解：令g（x）＝f（x）﹣x2，则g'（x）＝f'（x）﹣2x＞0，所以g（x）在R上单调递增，
又f（2）＝5，所以g（2）＝f（2）﹣22＝1，
不等式f（x）＞x2+1，即f（x）﹣x2＞1，即g（x）＞g（2），所以x＞2，
即不等式f（x）＞x2+1的解集为（2，+∞）．
故选：B．
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．【分析】根据二项式定理，对选项进行逐个判断，即可解出．
【解答】解：展开式共有8项，A正确．
展开式的各二项式系数的和为27＝128，B正确．
展开式的第7项的二项式系数为C＝7，C错误．
展开式的各项系数的和为（7﹣1）7＝67，D正确．
故选：ABD．
10．【分析】由题得a2019＞0，a2020＜0，即可解决．
【解答】解：由题知，无穷等差数列{an}的前n项和为Sn，S2018＜S2019且S2019＞S2020，
所以a2019＞0，a2020＜0，
所以等差数列{an}为递减数列，
在数列{an}中，a1最大，当n≥2020时，an＜0．
故选：AD．
11．【分析】求得f′（x）＝﹣3x2+1，得出函数f（x）的单调区间，求得函数的极值点和极值，以及结合曲线y＝f（x）在点（0，1）处的切线方程，逐项判定，即可求解．
【解答】解：由函数f（x）＝﹣x3+x+1，可得f′（x）＝﹣3x2+1，令f′（x）＝0，解得，
当时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
当时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
所以，当时，函数f（x）取极小值为，
当时，函数f（x）取极大值为，
且两个极值点之和为0，所以B正确；
又由当x→+∞时，f（x）＜0，且函数连续不间断，
所以函数f（x）在上有且仅有一个零点，所以A不正确；
由，所以C错误；
当x＝0时，可得f′（0）＝1，f（0）＝1，
所以曲线y＝f（x）在点（0，1）处的切线方程为y＝x+1，所以D正确．
故选：BD．
三、填空题（本题3小题，每小题5分，共15分）
12．【分析】依题意可得a4＜3a5，从而得到，进而可得到答案．
【解答】解：由S4＜S3+3a5，得a4＜3a5，
又因为an＞0，所以，
又{an}是递减数列，所以．
故答案为：（答案不唯一，只要即可）．
13．【分析】根据函数f（x）在x＝1处取得极值，得到关于a，b的等量关系，再用基本不等式即可求出最值．
【解答】解：f′（x）＝12x2﹣2ax﹣b，
因为f（x）在x＝1处有极值，
所以f′（1）＝0，即12﹣2a﹣b＝0，也即2a+b＝12．
又a＞0，b＞0，
所以2a•b≤＝＝36，当且仅当2a＝b＝6，即a＝3，b＝6时取等号．
所以ab≤18，即ab的最大值为18．
故答案为：18．
14．【分析】由函数f′（x）有两个不同零点可得m2﹣4n＞0，再求导并判断f′（x）＝0的零点个数，进而判断极值点个数．
【解答】解：令f（x）＝0，则x2+mx+n＝0，由题意知Δ1＞0，
即m2﹣4n＞0；f′（x）＝（x2+2x+mx+m+n）ex，
令f′（x）＝0，则x2+2x+mx+m+n＝0，即，
则f′（x）＝（x2+2x+mx+m+n）ex有两个变号零点，
所以函数f′（x）有2个极值点．
故答案为：2．
四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算过程）
15．【分析】（1）根据二项式定理求出前3项的二项式系数和，建立方程求出n的值；（2）求出展开式的通项公式，令x的指数为1，进而可以求解．
【解答】解：（1）二项式的展开式的前3项的二项式系数和为C＝29，解得n＝7或﹣8（舍去），
所以n＝7；
（2）二项式的展开式的通项公式为C＝C，
令，解得r＝6，
所以展开式中x的系数为C＝56，解得a＝8，
所以a的值为8．
16．【分析】（1）求出原函数的导函数，得到函数在x＝1处的导数值，再求出f（1），利用直线方程的点斜式得答案；
（2）由f′（x）＞0，得函数的增区间，由f′（x）＜0，得函数的减区间．
【解答】解：（1）由f（x）＝x2﹣2lnx，得f′（x）＝2x﹣（x＞0），
∴f′（1）＝0，又f（1）＝1，
∴曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y＝1；
（2）由（1）知，f′（x）＝2x﹣＝（x＞0），
由f′（x）＞0，得x＞1，由f′（x）＜0，得0＜x＜1．
∴y＝f（x）的单调减区间为（0，1），单调增区间为（1，+∞）．
17．【分析】（1）先由题设条件利用等差数列的性质及前n项和公式求得a2与a7，进而求得公差d，再求得其通项公式即可；
（2）先由（1）求得|an|，再对n分n≤6与n≥7两种情况分别求得其前n项和Tn即可．
【解答】解：（1）由题设可得：，解得：，
∴公差d＝＝＝﹣4，
∴an＝a2+（n﹣2）d＝19﹣4（n﹣2）＝27﹣4n；
（2）由（1）可得：|an|＝，
∴当n≤6时，Tn＝a1+a2+…+an＝Sn＝＝25n﹣2n2，
当n≥7时，Tn＝a1+a2+…+a6﹣a7﹣a8﹣…﹣an
＝2（a1+a2+…+a6）﹣（a1+a2+…+an）＝2S6﹣Sn＝2（25×6﹣2×62）﹣25n+2n2＝2n2﹣25n+156，
综上，Tn＝．
18．【分析】（1）利用an+1＝4an﹣3n+1，化简可知bn+1＝4bn，进而可知数列{bn}是首项为3、公比为4的等比数列；
（2）通过（1）可知an＝n+3×4n﹣1，进而利用分组求和法计算即得结论．
【解答】（1）证明：∵an+1＝4an﹣3n+1，
∴bn+1＝an+1﹣（n+1）
＝4an﹣3n+1﹣n﹣1＝4（an﹣n）＝4bn，
又∵b1＝a1﹣1＝4﹣1＝3，
∴数列{bn}是首项为3、公比为4的等比数列；
（2）解：由（1）可知an﹣n＝3×4n﹣1，即an＝n+3×4n﹣1，
∴Sn＝+＝+4n﹣1．
19．【分析】（1）依题意得，解得，再检验即可；（2）利用导数求出函数f（x）在上的极值与端点值，最大的即为最大值，最小的即为最小值．
【解答】解：（1）∵f（x）＝ax2+blnx（x＞0），
∴，
∵f（x） 在 x＝1 处有极值 ，
∴， 即 ，
解得 ，
∴，，
令 f′（x）＞0，则 x＞1； 令 f′（x）＜0，则 0＜x＜1，
∴f（x） 在 （0，1）上单调递减，在 （1，+∞） 上单调递增，
∴f（x） 在 x＝1 处有极小值，
∴．
（2）由 （1）知，f（x） 在 （0，1）上单调递减，在 （1，+∞） 上单调递增，
∵，
∴f（x） 在 上单调递减，在 （1，2）上单调递增，
∴f（x） 在 x＝1 处有极小值，也即最小值 ，
∵且 ，
∴，
∴f（x） 在 上的最大值为 2﹣ln2，最小值为