福建省长乐第五中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题（原卷版+解析版）

这是一份福建省长乐第五中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题（原卷版+解析版），共16页。试卷主要包含了作答非选择题时必须用黑色字迹0， 已知球的体积为，则它的半径为， 下列叙述中正确的是， 下列说法错误的是等内容，欢迎下载使用。
（卷面分值：150分 考试时间：120分钟 出卷：王铭烨 审核：刘岚岚 ）
注 意 事 项：
1.本试卷为问答分离式试卷，共 8页，其中问卷 4页，答卷 4页.答题前，请考生务必将自己的学校、姓名、座位号、准考证号等信息填写在机读卡上及答卷的密封区内.
2.作答非选择题时必须用黑色字迹0.5毫米签字笔书写在答卷的指定位置上，作答选择题必须用2B铅笔在机读卡上将对应题目的选项涂黑.如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，请保持机读卡卡面清洁和答题纸清洁，不折叠、不破损.
3.考试结束后，请将答题纸和机读卡交回.
第Ⅰ卷（选择题 共 58 分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题列出的四个备选项，只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分.）
1. 的内角，，的对边分别为a，b，c，若，则（ ）
A. B. C. D.
2. 在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3. 下列各组向量中，能作为基底的是（ ）
A. ＝（0,0），＝（1,1）
B. ＝（1,2），＝（－2,1）
C. ＝（－3,4），＝（,－）
D. ＝（2,6），＝（－1,－3）
4. 如图，在中，为中点，在线段上，且，则（ ）

A. B.
C. D.
5. 已知球的体积为，则它的半径为（ ）
A. B.
C D.
6. 如图，圆台的侧面展开图扇环的圆心角为，其中，则该圆台的高为（ ）
A. B. C. 1D. 4
7. 一个几何体由6个面围成，则这个几何体不可能是（ ）
A. 四棱台B. 四棱柱C. 四棱锥D. 五棱锥
8. 已知，是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，，则，则
D. 若，，，，则
二、多选题
9. 下列叙述中正确的是（ ）
A. 已知非零向量与且，则与的方向相同或相反
B 若，则
C. 若，，则
D. 对任一非零向量，一个单位向量
10. 下列说法错误的是（ ）
A. 加速度是向量B. 两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同
C. 零向量的方向是任意的D. 向量就是有向线段
11. 已知复数，以下说法正确是（ ）
A. 虚部是4
B.
C.
D. 在复平面内对应的点在第一象限
三、填空题
12. 在中，若，，且的面积为，则______________．
13. 已知平面向量，则向量在向量上的投影向量是______________.
14. 已知长方体中，，，则该长方体的外接球的表面积为______________.
四、解答题
15. 已知，，与的夹角为．
（1）求；
（2）若向量与相互垂直，求实数的值．
16. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.
（1）求角的大小；
（2）若，，求的面积.
17. 已知复数．
（1）若复数为纯虚数，求实数值；
（2）若复数在复平面内对应的点在第四象限，求实数的取值范围．
18. 已知正方体的棱长为2，为的中点．
（1）证明：平面；
（2）求三棱锥的体积．
19. 水平放置的的斜二测直观图如图所示，若，的面积为，
（1）求的面积；
（2）画出的平面图，并计算的长
（3）若该以CB为轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积和表面积．
2024-2025学年度第二学期期中考试
高一年级数学试卷
（卷面分值：150分 考试时间：120分钟 出卷：王铭烨 审核：刘岚岚 ）
注 意 事 项：
1.本试卷为问答分离式试卷，共 8页，其中问卷 4页，答卷 4页.答题前，请考生务必将自己的学校、姓名、座位号、准考证号等信息填写在机读卡上及答卷的密封区内.
2.作答非选择题时必须用黑色字迹0.5毫米签字笔书写在答卷的指定位置上，作答选择题必须用2B铅笔在机读卡上将对应题目的选项涂黑.如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，请保持机读卡卡面清洁和答题纸清洁，不折叠、不破损.
3.考试结束后，请将答题纸和机读卡交回.
第Ⅰ卷（选择题 共 58 分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题列出的四个备选项，只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分.）
1. 内角，，的对边分别为a，b，c，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】直接利用正弦定理计算可得；
【详解】解：因为，由正弦定理，
即，解得.
故选：A
2. 在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】B
【解析】
分析】直接计算出复数，再确定共轭复数，即可求解.
【详解】∵，
所以
∴共轭复数在复平面内对应的点为，
所以共轭复数对应的点位于第二象限
故选：B
3. 下列各组向量中，能作为基底的是（ ）
A. ＝（00），＝（1,1）
B. ＝（1,2），＝（－2,1）
C. ＝（－3,4），＝（,－）
D. ＝（2,6），＝（－1,－3）
【答案】B
【解析】
【分析】根据基底的定义判断选项.
【详解】A，零向量与任意向量共线，故不能作为基底；
C中，，D中，，向量与共线，不能作为基底；
B中与不共线，所以可作为一组基底.
故选：B
4. 如图，在中，为中点，在线段上，且，则（ ）

A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
求得关于、的表达式，利用平面向量的减法法则可得出关于、的表达式.
【详解】为的中点，则，
，，
.
故选：B.
【点睛】本题考查平面向量的基底分解，考查了平面向量减法法则的应用，考查计算能力，属于中等题.
5. 已知球的体积为，则它的半径为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据球的体积公式直接计算求解即可.
【详解】设球的半径为，则，解得.
故选：D
6. 如图，圆台的侧面展开图扇环的圆心角为，其中，则该圆台的高为（ ）
A. B. C. 1D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】利用扇形的弧长公式，结合已知条件，求出圆台上、下底面圆的半径和的长，再结合圆台的几何结构特征，即可求得圆台的高.
【详解】因为圆台的侧面展开图扇环的圆心角为，
所以在圆锥中，可得，所以，
又在圆锥中，可得，所以，
所以该圆台的高为
.
故选：A.
7. 一个几何体由6个面围成，则这个几何体不可能是（ ）
A. 四棱台B. 四棱柱C. 四棱锥D. 五棱锥
【答案】C
【解析】
【分析】根据棱柱，棱台和棱锥的面的个数，结合选项得出答案即可．
【详解】对于A，四棱台是上下两个四边形，四个侧面有6个面，满足题意；
对于B，四棱柱是上下两个四边形，四个侧面有6个面，满足题意；
对于C，四棱锥有一个底面，四个侧面有5个面，不满足题意；
对于D，五棱锥有一个底面，五个侧面有6个面，满足题意.
故选：C
8. 已知，是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，，则，则
D. 若，，，，则
【答案】C
【解析】
【分析】根据线面、面面的位置关系，结合平面的基本性质及线面平行性质判断各项正误.
【详解】A：若，，则，错；
B：若，，则或，错；
C：由，，，根据线面平行的性质知，对；
D：如下图，，，，，有相交，错.

故选：C
二、多选题
9. 下列叙述中正确的是（ ）
A. 已知非零向量与且，则与的方向相同或相反
B. 若，则
C. 若，，则
D. 对任一非零向量，是一个单位向量
【答案】AD
【解析】
【分析】根据共线向量的定义即可判断A；根据向量的定义即可判断B；根据零向量与任意向量共线即可判断C；根据单位向量的定义即可判断D.
【详解】对于A，两个非零向量共线，则它们的方向相同或相反，故A正确；
对于B，向量无法比较大小，故B错误；
对于C，若是零向量，则结论不成立，故C错误；
对于D，对任一非零向量，是一个与方向相同的单位向量，故D正确．
故选：AD．
10. 下列说法错误的是（ ）
A. 加速度是向量B. 两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同
C. 零向量的方向是任意的D. 向量就是有向线段
【答案】BD
【解析】
【分析】根据向量的有关定义依次判断即可.
【详解】对于A，由向量的定义知，加速度是向量，故A正确；
对于B，两个有共同起点，且长度相等的向量，方向不一定相同，所以它们的终点不一定相同，故B错误；
对于C，由零向量的定义知，零向量的方向是任意的，故C正确；
对于D，向量可以用有向线段表示，但两者不同，故D错误．
故选：BD．
11. 已知复数，以下说法正确的是（ ）
A. 虚部是4
B.
C.
D. 在复平面内对应的点在第一象限
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据给定条件，求出复数的实部、模、共轭复数及复平面内对应点依次判断即可.
【详解】由条件可知：，C对，
所以的虚部为，A错，
，B对，
对应的点的坐标为，在第一象限，D对，
故选：BCD
三、填空题
12. 在中，若，，且的面积为，则______________．
【答案】
【解析】
【详解】利用三角形面积公式求解即可.
【分析】因为，，且面积为，
所以，，解得：.
故答案为：.
13. 已知平面向量，则向量在向量上的投影向量是______________.
【答案】
【解析】
【分析】应用向量的数量积和模长的坐标运算求得，，根据投影向量的定义求向量在向量上的投影向量.
【详解】向量，则，.
所以向量在向量上的投影向量是 .
故答案为：
14. 已知长方体中，，，则该长方体的外接球的表面积为______________.
【答案】
【解析】
【分析】由长方体对角线，确定外接球的半径，即可求解.
【详解】
，，
又正四棱柱的外接球的直径为，则半径.
所以球的表面积为：.
故答案为：
四、解答题
15. 已知，，与的夹角为．
（1）求；
（2）若向量与相互垂直，求实数的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）首先求出，再由及数量积的运算律计算可得.
（2）依题意，根据数量积的运算律计算可得.
【小问1详解】
因为，，与的夹角为，
所以，
所以
.
【小问2详解】
因为向量与相互垂直，
所以，所以，
即，即，解得.
16. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.
（1）求角的大小；
（2）若，，求的面积.
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理进行边角互化即可得解；
（2）根据余弦定理求出边长，然后利用面积公式求面积即可得解.
【小问1详解】
由正弦定理得.
因为，所以，，.
因为在中，，所以，.
【小问2详解】
由，及余弦定理.
得，解得或（舍）
所以，.
17. 已知复数．
（1）若复数为纯虚数，求实数的值；
（2）若复数在复平面内对应的点在第四象限，求实数的取值范围．
【答案】（1）3 （2）
【解析】
【分析】（1）根据复数类型为纯虚数得到方程和不等式，求出；（2）根据复数对应的点在第四象限得到不等式组，求出实数的取值范围.
【小问1详解】
由题意得：，解①得：或3，
解②得：且，
综上：
【小问2详解】
由题意得：，解①得：或，
解②得：，
所以，实数的取值范围是
18. 已知正方体的棱长为2，为的中点．
（1）证明：平面；
（2）求三棱锥的体积．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）连接交于，连接，通过求证是平行四边形，即可求证；
（2）由等体积法即可求解.
【小问1详解】
连接交于，连接，

∵正方体，
∴，，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵为的中点，H为的中点，
∴且，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵平面平面，
∴平面.
【小问2详解】
由等体积法，，
所以三棱锥的体积.
19. 水平放置的的斜二测直观图如图所示，若，的面积为，
（1）求的面积；
（2）画出的平面图，并计算的长
（3）若该以CB为轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积和表面积．
【答案】（1）8 （2）作图见解析，
（3），
【解析】
【分析】（1）由直观图面积与原图面积比即可求解；
（2）画出原图，即可求解；
（3）由圆锥的体积、表面积公式即可求解.
【小问1详解】
依题意，因为的面积为，
又，
所以原三角形面积为；
【小问2详解】
因为的面积为，
所以，
解得，所以，
，又因为，
由勾股定理得：．
【小问3详解】
该以CB为轴，旋转一周，旋转形成几何体为圆锥
则圆锥体积
母线
圆锥表面积为