2024-2025学年福建省福州市长乐五中高一（下）期中数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年福建省福州市长乐五中高一（下）期中数学试卷（含答案），共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a= 2,A=π4,sinB= 33，则b=( )
A. 2 33B. 2C. 3D. 2 3
2.在复平面内，复数z=−i(1−i)的共轭复数对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3.下列各组向量中，能作为基底的是( )
A. e1=(1,2)，e2=(−2,1)B. e1=(0,0)，e2=(1,1)
C. e1=(−3,4)，e2=(35,−45)D. e1=(2,6)，e2=(−1,−3)
4.如图，在△ABC中，D为BC中点，E在线段AD上，且AE=2ED，则BE=( )
A. −13AC+23AB
B. 13AC−23AB
C. 23AC−13AB
D. 23AC+13AB
5.已知球的体积为512 2π3，则它的半径为( )
A. 2B. 2 2C. 4D. 4 2
6.如图，圆台OO1的侧面展开图扇环的圆心角为180°，其中SA=2，SB=4，则该圆台的高为( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
7.一个几何体由6个面围成，则这个几何体不可能是( )
A. 四棱台B. 四棱柱C. 四棱锥D. 五棱锥
8.已知α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，则下列说法正确的是( )
A. 若l⊥α，m⊥α，则l⊥m B. 若l//α，α//β，则l//β
C. 若l//α，l⊂β，且α⋂β=m，则l//m D. 若l⊂α，l//β，m⊂β，m//α，则α//β
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列叙述中正确的是( )
A. 若a//b,b//c，则a//c
B. 若a=b，则3a>2b
C. 已知非零向量a与b且a//b，则a与b的方向相同或相反
D. 对任一非零向量a,a|a|是一个单位向量
10.下列说法错误的是( )
A. 加速度是向量
B. 两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同
C. 零向量的方向是任意的
D. 向量就是有向线段
11.已知复数z−=5+4i，以下说法正确的是( )
A. z的虚部是4B. |z|= 41
C. z=5−4iD. z−在复平面内对应的点在第一象限
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在△ABC中，若a=4，B=π3，且△ABC的面积为4 3，则c= ______．
13.已知平面向量a=(0,1),b=(−1,1)，则向量b在向量a上的投影向量是______．
14.已知长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=BC=1，C1C=2 2，则该长方体的外接球的表面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知|a|=1，|b|=2，a与b的夹角为60°．
(1)求|a−2b|；
(2)若向量b+ka与b−ka相互垂直，求实数k的值．
16.(本小题15分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知 3asinB+bcsA=0．
(Ⅰ)求角A的大小；
(Ⅱ)若a= 7，b= 3，求△ABC的面积．
17.(本小题15分)
已知复数z=(m2−m−2)+(m2−5m+6)i(m∈R)．
(1)若复数z为纯虚数，求实数m的值；
(2)若复数z在复平面内对应的点在第四象限，求实数m的取值范围．
18.(本小题17分)
已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，P为AC的中点．
(1)证明：D1P//平面A1BC1；
(2)求三棱锥B1−A1BC1的体积．
19.(本小题17分)
水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，若A1C1=2，△A1B1C1的面积为2 2，
(1)求△ABC的面积；
(2)画出△ABC的平面图，并计算AB的长；
(3)若该△ABC以CB为轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积和表面积．
参考答案
1.A
2.B
3.A
4.B
5.D
6.C
7.C
8.C
9.CD
10.BD
11.BCD
12.4
13.(0,1)
14.10π
15.(1)由题易知：a⋅b=|a||b|cs60°=1×2×12=1，
所以|a−2b|= (a−2b)2= a2+4b2−4a⋅b= |a|2+4|b|2−4a⋅b= 1+4×4−4×1= 13；
(2)由题易知(b+ka)⋅(b−ka)=0，所以b2−k2a2=0，
即|b|2−k2|a|2=0，即4−k2=0，解得k=±2．
16.解：(I) 3asinB+bcsA=0．
由正弦定理得 3sinAsinB+sinBcsA=0．
因为B∈(0,π)，
所以sinB≠0，tanA=− 33．
在△ABC中，A∈(0,π)，
所以A=5π6．
(II)由a= 7，b= 3及余弦定理a2=b2+c2−2bccsA．
得c2+3c−4=0，解得c=1或c=−4(舍)，
故S△ABC=12bcsinA=12× 3×1×12= 34．
17.(1)由题意得：m2−m−2=0且m2−5m+6≠0，解得：m=−1；
(2)由题意得：m2−5m+60，解得：2