福建省龙岩第一中学2024-2025学年高一下学期第一次月考数学试题（原卷版+解析版）

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这是一份福建省龙岩第一中学2024-2025学年高一下学期第一次月考数学试题（原卷版+解析版），共5页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
命题：修其生审题：张楠
第Ⅰ卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 如果是两个单位向量，那么下列四个结论中正确的是（）
A. B.
C. D.
2 已知平面向量，且，则（）
A. B. C. D. 3
3. 在中，，则（）
A. 或B. C. 或D. 或
4. 甲船在B岛正南方向的A处，AB＝10 km，若甲船以4 km/h 的速度向正北方向航行，同时，乙船自B岛出发以6 km/h的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们航行的时间是（）
A. hB. h
C. hD. h
5. 如图，在中，设，则（）
A. B. C. D.
6. 已知非零向量满足，且，则是（）
A. 三边均不相等三角形B. 直角三角形
C. 等腰（非等边）三角形D. 等边三角形
7. 点在边长为的正三角形的外接圆上，则的最大值为（）
A. B. C. D.
8. 对任意两个非零的平面向量α和β，定义.若两个非零的平面向量和，满足与的夹角，且和都在集合中，则=
A. B. C. 1D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错得0分．
9. 已知为坐标原点，点，，，，则（）
A B.
C. D.
10. 已知点是所在平面内一点，下列命题正确是（）
A. 若，则点是的重心
B. 若点是的外心，则
C. 若，则点是的垂心
D. 若点是的垂心，则
11. 在中，，（为常数），的最大值为12，则（）
A. 为锐角B. 面积的最大值为8
C. D. 周长的最大值为
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．其中第14题第一空2分，第二空3分．
12. 已知是两个单位向量，若在上的投影向量为，则与的夹角为_________．
13. 正方形的边长为，是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点，则的余弦值为________.
14. 英国数学家泰勒发现了如下公式：
，
，
其中，
（1）__________.
（2）已知在中，，边，则面积的最大值为__________.
（以上两空均用小数作答，且精确到0.001）
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知向量，．
（1）当，求的值；
（2）当取得最大值时，是否存在实数，使，若存在请求出的值；若不存在，请说明理由．
16. 记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知，
（1）求B；
（2）若面积为，求c．
17. 已知的内角的对边分别为，且．
（1）求；
（2）若为锐角三角形，且，求周长的取值范围．
18. 某景区拟开辟一个平面示意图是如图所示的五边形ABCDE的观光步行道，BE为景点电动车专用道，，，，．
（1）求景点电动车专用道BE的长；
（2）由于受资金的限制，折线步行道BAE（即）不能超过20km，问景区可不可以铺设该步行道？
19. 对于一组向量，（且），令，如果存在，使得，那么称是该向量组的“长向量”．
（1）设，且，若是向量组的“长向量”，求实数的取值范围；
（2）若且，向量组是否存在“长向量”？若存在，求出正整数；若不存在，请说明理由；
（3）已知均是向量组的“长向量”，其中，．设在平面直角坐标系中有一点列满足，为坐标原点，为的位置向量的终点，且与关于点对称，与（且）关于点对称，求的最小值．