福建省漳州市第三中学2024-2025学年高二下学期4月期中考试数学试题（原卷版+解析版）

这是一份福建省漳州市第三中学2024-2025学年高二下学期4月期中考试数学试题（原卷版+解析版），共25页。试卷主要包含了 设，，，则， 设函数，则下列说法正确的有， 下列命题正确的有等内容，欢迎下载使用。
考生注意：
1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若向量，且，则（ ）
A. 4B. C. D.
2. 已知随机变量服从正态分布，且，则（ ）
A. B. C. D.
3. 甲、乙两人独立地破译一份密码，已知两人能破译的概率分别是，，则（ ）
A. 密码被成功破译的概率为B. 恰有一人成功破译的概率为
C. 密码被成功破译的概率为D. 密码破译失败的概率为
4. 如图在平行六面体中，、相交于，为的中点，设，，，则（ ）
A. B.
C D.
5. 已知函数有3个不同的零点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ）
A 若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面
B. 若空间向量，满足，则与夹角为锐角
C. 若直线l方向向量为，平面的一个法向量为，则
D. 若空间向量，，则在投影向量为
7. 设，，，则（ ）
A. B.
C. D.
8. 设函数，则下列说法正确的有（ ）
A. 不等式的解集为
B. 若函数有两个极值点，则实数的取值范围为
C. 当时，总有恒成立
D. 函数在单调递增，在单调递减
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列命题正确的有（ ）
A. 已知函数在上可导，若，则
B. 已知函数，若，则
C.
D. 设函数的导函数为，且，则
10. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，M为PC的中点，则（ ）
A. 直线与所成的角为
B.
C. 直线AM与平面所成角的余弦值为
D. 点M到平面的距离为
11. 如图，某电子实验猫线路图上有、两个即时红绿指示灯，当遇到红灯时，实验猫停止前行，恢复绿灯后，继续前行，、两个指示灯工作相互独立，且出现红灯的概率分别为，.同学甲从第一次实验到第五次实验中，实验猫在处遇到红灯的次数为，在、两处遇到红灯的次数之和为，则（ ）

A.
B.
C. 一次实验中，、两处至少遇到一次红灯的概率为
D. 当时，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 一个盒子里有1红1绿4黄六个除颜色外均相同球，每次拿一个，共拿三次，记拿到黄色球的个数为.若取球过程是有放回的，则事件发生的概率为______.
13. 已知直三棱柱中，，，则点到直线的距离为______.
14. 若函数和的图象分别分布在某直线的两侧（函数图象与直线没有公共点），则称该直线为函数和的“隔离直线”.已知，，若和在公共定义域上存在“隔离直线”，则该“隔离直线”的斜率取值范围为______.
四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 某年级有6名数学老师，其中男老师4人，女老师2人，任选3人参加校级技能大赛.
（1）设所选3人中女老师人数为，求的期望和方差；
（2）如果依次抽取2人参加县级技能大赛，求在第1次抽到男老师的条件下，第2次抽到是女老师的概率.
16. 已知函数.
（1）若在处取得极值，求函数的单调区间和极值；
（2）若≥恒成立，求实数的取值范围.
17. 如图，在直三棱柱中，AC⊥BC，，点P为棱的中点，点Q为线段上的一动点.

（1）求证：当点Q为线段的中点时，PQ⊥平面；
（2）设，试问：是否存在实数λ，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求出这个实数λ；若不存在，请说明理由.
18. 在某人工智能的语音识别系统开发中，每次测试语音识别成功的概率受环境条件（安静或嘈杂）的影响.
（1）已知在安静环境下，语音识别成功的概率为；在嘈杂环境下，语音识别成功的概率为0.6. 某天进行测试，已知当天处于安静环境的概率为0.3，处于嘈杂环境的概率为0.7 .
（i）求测试结果为语音识别成功的概率；
（ii）已知测试结果为语音识别成功，求当天处于安静环境的概率；
（2）已知当前每次测试成功的概率为，每次测试成本固定，现有两种测试方案：方案一：测试4次；方案二：先测试3次，如果这3次中成功次数小于等于2次，则再测试2次，否则不再测试. 为降低测试成本，以测试次数的期望值大小为决策依据，应选择哪种方案?
19. 已知函数，.
（1）求函数在处的切线方程；
（2）讨论函数单调性；
（3）当时，若对于任意，总存在，使得，求的取值范围.
漳州三中2024～2025学年高二年下学期期中考试数学试卷
（本试卷：共4页 考试时间：120分钟 满分：150分）
考生注意：
1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1 若向量，且，则（ ）
A. 4B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由向量平行坐标运算得出，进而由模长公式求解.
【详解】因为向量，且，
所以，所以，所以．
故选：D
2. 已知随机变量服从正态分布，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由正态分布的对称性，即可得出结论.
【详解】由题意，
随机变量服从正态分布，，
∵，由正态分布的对称性可得：
，
故.
故选：A.
3. 甲、乙两人独立地破译一份密码，已知两人能破译的概率分别是，，则（ ）
A. 密码被成功破译的概率为B. 恰有一人成功破译的概率为
C. 密码被成功破译的概率为D. 密码破译失败的概率为
【答案】C
【解析】
【分析】利用对立事件和独立事件的概率公式，逐项求解判断.
【详解】对于AC，密码被成功破译的概率为，A错误，C正确；
对于B，恰有一人成功破译的概率为，B错误；
对于D，密码破译失败的概率为，D错误.
故选：C
4. 如图在平行六面体中，、相交于，为的中点，设，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用向量的线性运算法则，，进而可得答案.
【详解】由已知得，，
.
故
故选：A
5. 已知函数有3个不同的零点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求得，得出函数的单调性与极值，结合有3个不同的零点，列出不等式，即可求解．
【详解】由，可得；
令，可得或，令，可得，
因此函数在和上单调递增,在上单调递减，
又，，
要使有3个不同的零点，
则且，所以，所以的取值范围是.
故选：C.
6. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ）
A. 若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面
B. 若空间向量，满足，则与夹角为锐角
C. 若直线l的方向向量为，平面的一个法向量为，则
D. 若空间向量，，则在的投影向量为
【答案】D
【解析】
【分析】对于A由即可判断，对于B当，同向共线时即可判断，对于C由即可判断，对于D，在上的投影向量为即可判断.
【详解】对于A：在中，故P，A，B，C四点不共面，故A错误；
对于B：当，同向共线时也成立，但与夹角不为锐角，故B错误；
对于C：由，即，故，故C错误；
对于D：在上的投影向量为，故D正确.
故选：D.
7. 设，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】令，利用导数判断函数在上的单调性，即可比较，令，令，令，利用导数判断函数在上的单调性，即可比较，从而可得出答案.
【详解】令，
则，
因为函数在上递增，
所以函数在上递增，
所以，
所以函数在上递增，
所以，即，所以，
令，
令，
令，
则，
所以函数在上递增，
所以，
所以，
故，即，
所以，
综上所述，.
故选：B.
8. 设函数，则下列说法正确的有（ ）
A. 不等式的解集为
B. 若函数有两个极值点，则实数的取值范围为
C. 当时，总有恒成立
D. 函数在单调递增，在单调递减
【答案】B
【解析】
【分析】求出的导数，求出的解析式，再求出的导数，对于A，直接解不等式即可，对于B，由题意得有2个零点，转化为函数的图象与有两个交点，从而可求出的范围，对于C，，则令，然后利用导数求其最值，对于D，的导数的正负可求出其单调区间.
【详解】由（），得，则（），
所以（），
对于A，由，得（），则，得，所以不等式的解集为，所以A错误，
对于B，若函数有两个极值点，则有2个零点，
即，，令，则，
所以在上递增，在上递减，
因为，时，都有，所以，得，
所以的取值范围为，所以B正确，
对于C，，
令，，则，
令，则，
当 时，，所以在上递增，
所以，所以在上递减，
因为，所以，所以，所以C错误，
对于D，（），由，得，由，得，所以在上递增，在上递减，所以D错误，
故选：B.
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列命题正确的有（ ）
A. 已知函数在上可导，若，则
B. 已知函数，若，则
C.
D. 设函数的导函数为，且，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】通过导数的概念可判断A，对复合函数求导后计算可判断B，利用导数的运算法则求解判断C，求导然后代数解方程即可判断D.
【详解】对于A，因为函数在上可导，且，
所以，故A正确；
对于B，因为，若则，即，故B正确；
对于C，因为，故C错误；
对于D，因为,故，故，故D正确.
故选:ABD.
10. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，M为PC的中点，则（ ）
A. 直线与所成的角为
B.
C. 直线AM与平面所成角的余弦值为
D. 点M到平面的距离为
【答案】AD
【解析】
【分析】过A作，垂足为E，以A为原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法逐一判断各个选项即可.
【详解】过A作，垂足为，则，
以A为坐标原点，分别以，，所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，，.
对于A，因为，
所以直线AM与BC所成的角为，故A正确.
对于B，因为，所以B不正确.
对于C，设平面的法向量为，
因为，，
所以令，得.
设直线与平面所成的角为，则，
所以直线与平面所成角的正弦值为，所以其余弦值为，故C错误.
对于D，设点到平面的距离为，则，
即点到平面的距离为，故D正确.
故选：AD.
11. 如图，某电子实验猫线路图上有、两个即时红绿指示灯，当遇到红灯时，实验猫停止前行，恢复绿灯后，继续前行，、两个指示灯工作相互独立，且出现红灯的概率分别为，.同学甲从第一次实验到第五次实验中，实验猫在处遇到红灯的次数为，在、两处遇到红灯的次数之和为，则（ ）

A.
B.
C. 一次实验中，、两处至少遇到一次红灯的概率为
D. 当时，
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据题意知道，再根据二项分布的概率公式，方差公式，期望公式逐个计算判定即可.
【详解】由题意可知，所以，，故A错误，B正确；
一次实验中，，两处至少遇到一次红灯的概率为，故C正确；
当时，一次实验中没有遇到红灯的概率为，
遇到一次红灯的概率为，遇到两次红灯的概率为，
故一次实验中遇到红灯次数的数学期望为，所以，故D正确.
故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 一个盒子里有1红1绿4黄六个除颜色外均相同的球，每次拿一个，共拿三次，记拿到黄色球的个数为.若取球过程是有放回的，则事件发生的概率为______.
【答案】
【解析】
【分析】有放回取球时，可以得到服从二项分布,利用二项分布概率公式计算即可.
【详解】有放回取球时，每次取到黄球的概率都是，
取到黄球的次数服从二项分布，拿三次取到1个黄球的概率为
.
故答案为：
13. 已知直三棱柱中，，，则点到直线的距离为______.
【答案】##
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间点到直线距离公式进行计算.
【详解】
如图，以点为原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
因为，所以，
所以直线的方向向量为，而，
则，在上的投影长为.
所以点B到直线的距离.
故答案为：.
14. 若函数和的图象分别分布在某直线的两侧（函数图象与直线没有公共点），则称该直线为函数和的“隔离直线”.已知，，若和在公共定义域上存在“隔离直线”，则该“隔离直线”的斜率取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】利用导数的几何意义求得两个函数公切线的斜率，画出函数图象，结合图象可得“隔离直线”的斜率取值范围.
【详解】
由题意和的公共定义域为，结合大致图象可知，在上，.
设直线，直线与在上的图象切于点，与在上的图象切于点，
，，则，
则，且，联立解得，，
所以公切线的斜率，结合图象可知，“隔离直线”的斜率的取值范围为.
故答案：.
四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 某年级有6名数学老师，其中男老师4人，女老师2人，任选3人参加校级技能大赛.
（1）设所选3人中女老师人数为，求的期望和方差；
（2）如果依次抽取2人参加县级技能大赛，求在第1次抽到男老师的条件下，第2次抽到是女老师的概率.
【答案】（1）1，
（2）
【解析】
【分析】（1）的所有可能取值为0，1，2，求出概率得到分布列，利用期望公式结合方差公式即可得答案．
（2）结合分步计数原理以及排列知识，利用条件概率转化求解即可．
【小问1详解】
的所有可能取值为0，1，2，依题意得：
，，，
的分布列为：
所以，
；
【小问2详解】
设第1次抽到男老师为事件，第2次抽到女老师为事件
则第1次抽到男老师且第2次抽到女老师为事件，
根据分步计数原理，．
所以．
16. 已知函数.
（1）若在处取得极值，求函数的单调区间和极值；
（2）若≥恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增；极小值，无极大值
（2）
【解析】
【分析】（1）利用求导判断函数单调性，即可求得极值；
（2）由恒成立，转化为恒成立，继而结合求导得出的最小值即可.
【小问1详解】
当时，，定义域为，
则，
当时，，当时，，
则在上单调递减，在上单调递增，
所以有极小值，无极大值.
【小问2详解】
因为恒成立，得，，
令，，则，
当，，当时，，
即函数在上递减，在上递增，
因此，则，
所以的取值范围为.
17. 如图，在直三棱柱中，AC⊥BC，，点P为棱的中点，点Q为线段上的一动点.

（1）求证：当点Q为线段的中点时，PQ⊥平面；
（2）设，试问：是否存在实数λ，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求出这个实数λ；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析
（2）存在，或
【解析】
【分析】（1）由题易知，利用线面垂直的判定定理可证平面，即得结论；
（2）建立空间直角坐标系，求得平面与平面的法向量，结合条件可解即可.
【小问1详解】
连接，

∵点Q为线段的中点，四边形为矩形，
∴三点共线，且点Q为的中点.
∵点P，Q分别为和的中点，
∴.
在直三棱柱中， 平面，，
∴平面，
又平面，∴，
又，∴四边形为正方形，
∴，∵，平面，
∴平面.
而，∴平面.
【小问2详解】
以C为原点，分别以所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，连接，则.
设，

∵，∴，.
∴，
∵点Q在线段上运动，
∴平面的法向量即为平面的法向量.
设平面的法向量为，
∵，
∴，.
则，
令，得，.
设平面的法向量为，
∵，∴，，.
由，
令，得，.
由题意得 ==，
∴，解得或.
∴当或时，平面与平面所成夹角余弦值为.
18. 在某人工智能的语音识别系统开发中，每次测试语音识别成功的概率受环境条件（安静或嘈杂）的影响.
（1）已知在安静环境下，语音识别成功的概率为；在嘈杂环境下，语音识别成功的概率为0.6. 某天进行测试，已知当天处于安静环境的概率为0.3，处于嘈杂环境的概率为0.7 .
（i）求测试结果为语音识别成功的概率；
（ii）已知测试结果为语音识别成功，求当天处于安静环境的概率；
（2）已知当前每次测试成功的概率为，每次测试成本固定，现有两种测试方案：方案一：测试4次；方案二：先测试3次，如果这3次中成功次数小于等于2次，则再测试2次，否则不再测试. 为降低测试成本，以测试次数的期望值大小为决策依据，应选择哪种方案?
【答案】（1）（i）；（ii）
（2）方案一
【解析】
【分析】（1）（i）设出基本事件利用条件概率以及全概率公式计算可得结果；（ii）由概率的乘法公式计算即可；
（2）求得两方案对应的期望值，取期望值较小的即可.
【小问1详解】
记事件=“某天进行测试时处于安静环境”，=“某天进行测试时处丁嘈杂环境”，事件=“测试结果语音识别成功”.
根据题意得
（i）由全概率公式得

（ii）“已知测试结果语音识别成功，当天处于安静环境的概率”，就是在事件发生的条件下发生的概率，
即
【小问2详解】
方案一的测试次数的数学期望为4.
用表示“方案二测试的次数”，由题意得的可能取值为3，5.
则

所以方案二测试次数的数学期望为.
又因为，
所以以测试次数的期望值大小为决策依据，应选择方案一.
19. 已知函数，.
（1）求函数在处的切线方程；
（2）讨论函数单调性；
（3）当时，若对于任意，总存在，使得，求的取值范围.
【答案】（1）；
（2）答案见解析； （3）.
【解析】
【分析】（1）利用导函数求出切线斜率，结合切点坐标写出切线的点斜式方程，整理成一般式方程即可；
（2）利用导函数，分类讨论参数在不同取值范围时，根据导函数值的正负得出函数的单调性；
（3）利用导函数分别求出函数的最值，根据“恒成立”和“能成立”得到关于的不等式，再次利用导函数求单调性结合特殊点函数值解不等式即可.
【小问1详解】
由求导可得，，
又，
所以在处的切线方程为，即.
【小问2详解】
由题意，，，定义域为，
则，
因为，所以，
当时，，故在上单调递减；
当时，令得，令得，
故在上单调递减，在上单调递增.
综上，当时，在上单调递减，
当时，在上单调递减，在上单调递增.
【小问3详解】
当时，若对于任意，总存，使得，
即在上的最小值大于等于在的最小值，
由（2）知，时，在上单调递减，在上单调递增，
故，
，，
因为，所以在上恒成立，故在上单调递减，
则，
所以，即，
令，，
则，
故在上单调递减，
又，
所以当时，，当时，，
故m的取值范围为.
0
1
2