2021莆田一中高二下学期期中考试数学试题含答案

莆田一中2020-2021学年高二下学期期中考（数学）2021.5.5

命题人：高二数学备课组       审核人：高二数学备课组

试卷满分：150分             考试时间：120分钟

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

2．对两个变量y和x进行回归分析，得到一组样本数据：，，…，，

则下列说法中不正确的是（　　）

A．由样本数据得到的回归方程必过样本中心

B．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好

C．用相关指数R2来刻画回归效果，R2越小，说明模型的拟合效果越好

D．若变量y和x之间的相关系数为r＝-0.9362，则变量y和x之间具有线性相关关系

3．已知命题，命题，，若是成立的必要不充分

条件，则区间可以为（    ）

A． B．

C． D．

4. 函数在上的图象大致为（    ）

A.  B.

C.  D.

5. 某导游团有外语导游10人，其中6人会说英语，现要选出4人去完成一项任务，则

恰有2人会说英语的概率为（    ）

A.            B.             C.             D.

6. 已知函数的一个极值点为，则的最小值

为（    ）

A．8 B．9 C．16 D．18

7. 正方体六个面上分别标有A、B、C、D、E、F六个字母，现用5种不同的颜色给此正方

体六个面染色，要求有公共棱的面不能染同一种颜色，则不同的染色方案有（    ）种.

A．420 B．600 C．720 D．780

8．若图象上存在两点，关于原点对称，则点对称为函数的“友情点

对”（点对与视为同一个“友情点对”）若恰有两个“友情

点对”，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.

9．若，则（    ）

A． B．

C． D．的最小值为2

10. 在一次恶劣气候的飞行航程中，调查男女乘客在机上晕机的情况，如下表所示：

则下列说法正确的是（    ）

附：参考公式： ，其中.

独立性检验临界值表：

A.

B.

C. 有的把握认为，在恶劣气候飞行中，晕机与否跟男女性别有关

D. 没有足够的把握认为，在恶劣气候飞行中，晕机与否跟男女性别有关

11．已知函数，，则（    ）

A．若在上单调递增，则

B．若函数，则为奇函数

C．时，若，则的范围是

D．若函数不存在零点，则

12．已知随机变量的取值为不大于的非负整数，它的概率分布列为

其中满足，且．定义由生成

的函数，为函数的导函

数，为随机变量的期望．现有一枚质地均匀的正四面体型骰子，四个面分别标

有1，2，3，4个点数，这枚骰子连续抛掷两次，向下点数之和为，此时由生成的

函数为，则（    ）

A．     B．    C．    D．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案直接填写在答案卡的相应位置上.

13．若，满足约束条件则的最小值为___________.

14. 已知函数，若，则实数________.

15．定义：在等式中（）

中，把，，，…叫做三项式的n次系数列（如三项式的1次

系数列是1，-1，-2）．则三项式的2次系数列各项之和等于__________；

__________．

16．设函数(e是自然对数的底数)，若，使得

，不等式恒成立，则m的取值范围是_______.

四、解答题：本题共6小题，共70分，请在答案卡指定区域内作答，解答时应写出相应的文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（本小题共10分）

已知关于x的不等式的解集为空集，函数在上的值域为B．

（1）求实数a的取值集合A及函数的值域B；

（2）对（1）中的集合A，B，若是的必要不充分条件，求实数m的取值范围．

18．（本小题共12分）

某新能源汽车制造公司，为鼓励消费者购买其生产的特斯拉汽车，约定从今年元月开始，凡购买一辆该品牌汽车，在行驶三年后，公司将给予适当金额的购车补贴.某调研机构对已购买该品牌汽车的消费者，就购车补贴金额的心理预期值进行了抽样调查，得其样本频率分布直方图如图所示.

（1）估计已购买该品牌汽车的消费群体对购车补贴金额的心理预期值的平均数和中位数（精确到0.01）；

（2）统计今年以来元月~5月该品牌汽车的市场销售量，得其频数分布表如下：

预测该品牌汽车在今年6月份的销售量约为多少万辆？

附：对于一组样本数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计值分别为，.

19．（本小题共12分）

已知函数.

（1）求在区间上的最大值；

（2）若过点存在3条直线与曲线相切，求的取值范围；

20．（本小题共12分）

2019年女排世界杯（第13届女排世界杯）是由国际排联举办的赛事，比赛于2019年9月14日至9月29日在日本举行，共有12支参赛队伍.本次比赛启用了新的排球用球_，已知这种球的质量指标ξ（单位：）服从正态分布.比赛赛制采取单循环方式，即每支球队进行11场比赛，最后靠积分选出最后冠军.积分规则如下（比赛采取5局3胜制）：比赛中以或取胜的球队积3分，负队积0分；而在比赛中以取胜的球队积2分，负队积1分.9轮过后，积分榜上的前2名分别为中国队和美国队，中国队积26分，美国队积22分.第10轮中国队对抗塞尔维亚队，设每局比赛中国队取胜的概率为.

（1）如果比赛准备了1000个排球，估计质量指标在内的排球个数（计算结果取整数）

（2）第10轮比赛中，记中国队取胜的概率为，求出的最大值点，并以作为p的值，解决下列问题.

（i）在第10轮比赛中，中国队所得积分为X，求X的分布列；

（ii）已知第10轮美国队积3分，判断中国队能否提前一轮夺得冠军（第10轮过后，无论最后一轮即第11轮结果如何，中国队积分最多）？若能，求出相应的概率；若不能，请说明理由.

参考数据：，则，

，.

21．（本小题共12分）

某客户准备在家中安装一套净水系统，该系统为三级过滤，使用寿命为十年.如图所示，两个一级过滤器采用并联安装，二级过滤器与三级过滤器为串联安装.其中每一级过滤都由核心部件滤芯来实现，在使用过程中，一级滤芯和二级滤芯都需要不定期更换（每个滤芯是否需要更换相互独立），三级滤芯无需更换，若客户在安装净水系统的同时购买滤芯，则一级滤芯每个80元，二级滤芯每个160元.若客户在使用过程中单独购买滤芯，则一级滤芯每个200元，二级滤芯每个400元,现需决策安装净水系统的同时购滤芯的数量，为此参考了根据100套该款净水系统在十年使用期内更换滤芯的相关数据制成的图表，其中图是根据200个一级过滤器更换的滤芯个数制成的柱状图，表是根据100个二级过滤器更换的滤芯个数制成的频数分布表:

二级滤芯更换频数分布表：

以200个一级过滤器更换滤芯的频率代替1个一级过滤器更换滤芯发生的概率，以100个二级过滤器更换滤芯的频率代替1个二级过滤器更换滤芯发生的概率.

（1）求一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为30的概率；

（2）记表示该客户的净水系统在使用期内需要更换的一级滤芯总数，求的分布列及数学期望；

（3）记，分别表示该客户在安装净水系统的同时购买的一级滤芯和二级滤芯的个数.若，且，以该客户的净水系统在使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为决策依据，试确定，的值.

22．（本小题共12分）

已知函数.

（1）讨论函数的极值点的个数；

（2）已知函数有两个不同的零点，且，证明：

莆田一中2020-2021学年高二下学期期中考（数学）参考答案

一、单选题：D C B A A     D D A

二、多选题：9．ACD； 10. ABD； 11．BD； 12．CD

三、填空题：13. ；  14.  1；  15.  4；；  16．

四、解答题

17. 解：（1）1°. 若，则不符合； 2°. 若，则，

则或，∴； 3°. 若不成立；综上，，∴．

令，则．

当且仅当即时等号成立，此时．∴．

（2）∵是的必要不充分条件，∴ B是A的真子集，则，得．

18. 解：（1）因为直方图的组距为1，则各组频率即为相应小矩形的高，所以平均数的估计

值为万元.

因为，则中位数在区间内.设中位数为，

则，得，所以中位数的估计值为3.33万元.

（2）记，，，，，，

由散点图可知，5组样本数据呈线性相关关系. 因为，，

，

则，，

所以回归直线方程是.

当时，，预计该品牌汽车在今年6月份的销售量约为2万辆.

19. 解：（1）由得.令，得或.

因为，

所以在区间上的最大值为.

（2）设过点的直线与曲线相切于点，则，

且切线斜率为，所以切线方程为，

因此，整理得.

设，.

则“过点存在3条直线与曲线相切”等价于“有3个不同的零点”.

当变化时，与的变化情况如下：

所以，是的极大值，是的极小值.

当，即时，在区间和上分别至多有1个零点，

所以至多有2个零点.

当，即时，在区间和上分别至多有1个零点，

所以至多有2个零点.

当且，即时，因为，

所以分别在区间和上恰有1个零点.

由于在区间和上单调，所以分别在区间和上恰有1个零点.

综上可知，当过点存在3条直线与曲线相切时，的取值范围是.

20. 解：∵，∴

所以质量指标在内的排球个数约为个

（2）

.令，得.

当时，，在上为增函数；当时，，在上为减函数.所以的最大值点.从而.

的可能取值为.

，，

，，

的分布列为

若，则中国队10轮后的总积分为29分，美国队即便第10轮和第11轮都积3分，则11轮过后的总积分是28分，，所以，中国队如果第10轮积3分，则可提前一轮夺得冠军，其概率为.

21. 解：（1）由题意可知，若一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为，

则该套净水系统中的两个一级过滤器均需更换个滤芯，二级过滤器需要更换个滤芯．设“一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为”为事件.

因为一个一级过滤器需要更换个滤芯的概率为，二级过滤器需要更换个滤芯的概率为，所以.

（2）由柱状图可知，一个一级过滤器需要更换的滤芯个数为，，的概率分别为，，.由题意，可能的取值为，，，，，并且

，，

，，

.

所以的分布列为

.

（3）【解法一】因为，，若，，则该客户在十年使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为；

若，，则该客户在十年使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为

.

故，的值分别为，.

【解法二】因为，，若，，

设该客户在十年使用期内购买一级滤芯所需总费用为（单位：元），则

.

设该客户在十年使用期内购买二级滤芯所需总费用为（单位：元），则

，.

所以该客户在十年使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为

.

若，，

设该客户在十年使用期内购买一级滤芯所需总费用为（单位：元），则

.

设该客户在十年使用期内购买二级滤芯所需总费用为（单位：元），则

.

所以该客户在十年使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为

.

故，的值分别为，.

22. 解：（1）函数的定义域为，，

令，则

当时，，递增；当时，，递减

，当时，，

在上单调递减，此时，无极值点；

当时，，，

在上有且只有一个零点.在上有且只有一个极值点.

又，

在上有且只有一个零点.，在上有且只有一个极值点.

综上所述，当时，无极值点；当时，有个极值点；

（2），则

当时，，递减.当时，，递增.

，函数有两个不同零点，且

，即，，又

令，则，

令，则，单调递增

，，单调递增.

，，

令，则

当时，，递增，当时，，递减

，即

令，则，

.