福建省莆田第一中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷(含答案)

这是一份福建省莆田第一中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷(含答案)，共19页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．若复数满足，则在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
2．在平行四边形中,点E满足,则( )
A.B.
C.D.
3．的三个内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若，，，则( )
A.B.C.D.
4．设α，β，γ是三个不同平面，且，，则“”是“”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
5．一圆锥的侧面展开图是半径为4的半圆，则该圆锥表面积为( )
A.B.C.D.
6．图1是一个水平放置且高为6的直三棱柱容器,现往内灌进一些水,设水深为.将容器底面的一边AB固定于地面上,再将容器倾斜,当倾斜到某一位置时,水面形状恰好为,如图2,则( )
A.3B.4C.D.6
7．已知等腰梯形，，，圆O为梯形的内切圆，并与，分别切于点E，F，如图所示，以所在的直线为轴，梯形和圆O分别旋转一周形成的曲面围成的几何体体积分别为，，则值为( )
A.B.C.D.
8．在锐角三角形中，已知a，b，c分别是角A，B，C的对边，且，，则三角形的周长的取值范围是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知，，则( )
A.
B.
C.与的夹角为
D.向量在向量方向上的投影向量为
10．设z，，为复数，，下列命题中正确的是( )
A.若则B.若则
C.若则D.
11．正多面体也称柏拉图立体（被誉为最有规律的立体结构），是所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形）.数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体.已知一个正八面体的棱长都是2（如图），则( )
A.平面
B.直线与平面所成的角为60°
C.若点P为棱上的动点，则的最小值为
D.若点P为棱上的动点，则三棱锥的体积为定值
三、填空题
12．法国著名的数学家棣莫弗提出了公式：.据此公式，复数的虚部为______.
13．镜面反射法是测量建筑物高度的重要方法，在如图所示的模型中.已知人眼距离地面高度，某建筑物高，将镜子（平面镜）置于平地上，人后退至从镜中能够看到建筑物顶部的位置，测量人与镜子的距离，将镜子后移a米，重复前面中的操作，再次测量人与镜子的距离，则镜子后移距离a为______米.
四、双空题
14．在中，已知，，，D为边上一动点，过点D作一条直线交边于点E，.
（1）若D为中点，且，则___________.；
（2）设，则的最大值是___________.
五、解答题
15．如图，在平面四边形ABCD中，，，，，.
(1)求边AB的长；
(2)求的面积.
16．如图，在直三棱柱中，D，E分别为线段，上的点，且平面.
（1）求证：；
（2）当D为的中点，时，求证：.
17．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
（1）求B；
（2）设，若点M是边上一点，，且，求a，c.
18．如图，在棱长为2的正方体中，M为棱的中点，P为棱的中点，平面与平面将该正方体截成三个多面体，其中N，Q分别在棱，上.
（1）求证：平面平面；
（2）求异面直线与所成角的余弦值；
（3）求多面体的体积.
19．在长方体中，，，，以O为原点，、、所在直线分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则点可用有序数组表示.空间中任意一点可用有序数组表示，定义空间中两点，的距离.
（1）若点P为边（含端点）上的动点，证明：为定值；
（2）P，Q，R为空间中任意三点，证明：；
（3）若，，其中，求满足的点R的个数n，并证明从这n个点中任取11个点，其中必存在4个点，它们共面或者以它们为顶点的三棱锥体积不大于.
参考答案
1．答案：A
解析：，所以复数在复平面上的点为，所以点在第一象限
故选：A
2．答案：B
解析：因为为平行四边形,
则由,
.
故选：B.
3．答案：D
解析：由以及余弦定理得,
故选：D
4．答案：B
解析：由，，，则α，β可能相交，
故“”推不出“”，
由，，，由面面平行的性质定理知，
故“”能推出“”，
故“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
5．答案：A
解析：圆锥的底面半径为r，
由圆锥的侧面积公式与扇形面积公式可得，
即圆锥底面半径，
则.
故选：A.
6．答案：B
解析：在图1中的几何体中,水的体积为,
在图2的几何体中,水的体积为,
因为,可得,解得.
故选:B.
7．答案：C
解析：梯形ABCD旋转一周形成圆台，且圆台的上底面半径为,下底面半径为,
由圆O和梯形ABCD相切可得，，
所以圆台高,圆O半径，
所以，,
所以，.
故选：C.
8．答案：C
解析：因为，
根据正弦定理得，，
因为B为锐角，所以，
所以，即，而A为锐角，
所以，
因为根据正弦定理，
所以，，
因为三角形周长为，
又因为，所以，
所以，
因为，，即，，
所以，
即，，
所以.
故选：C.
9．答案：BCD
解析：对A：，则，
，则，故A错误；
对B：，故B正确；
对C：，
故与的夹角为，故C正确；
对D：，故D正确.
故选：BCD.
10．答案：ABD
解析：设，，（）
对于A，若，则，
因为，结合复数相等的知识，所以，
所以选项A正确；
对于B，由，所以，
所以，
，
，
同理：，
所以，所以选项B正确；
对于C，令，，但是，
所以选项C错误；
对于D，设分别表示复数，，
由，若不共线时，
如图：，即，
若，共线且反向时，
如图：易知，
若，共线且同向时，
如图：易知，
综上：，所以选项D正确.
故选：ABD.
11．答案：AC
解析：A选项，连接,，由对称性可知，平面，
且,相交于点O，O为和的中点，
又，故四边形为菱形，故，
又平面，平面，
所以平面，正确；
B选项，连接，则,相交于点O，
因为四边形为正方体，故，
由A选项，同理可得四边形为菱形，故，
又，平面，故平面，
故直线与平面所成的角为，
且由题意得，，故，
故，错误；
C选项，由题意得，，故只需最小，
在等边三角形中，当P为的中点时，，此时最小，
且，故若点P为棱上的动点，则的最小值为，正确；
D选项，，其中A到平面的距离为，
设菱形的面积为S，则，，
若点P为棱上的动点，则三棱锥的体积为定值，错误.
故选：AC
12．答案：
解析：，
故其虚部为.
故答案为：.
13．答案：6
解析：设镜子离建筑物x米，由镜面反射可得，三角形相似，
镜子没有移动前，由题意可得，解得，
镜子移动后，由题意可得，解得，
故答案为：6
14．答案：①..②..
解析：(1)若D中点，且，则为中位线，
（2）
令，则，
令，则
当时，，当且仅当时取等号，
，
，
的最大值是，
故答案为：；.
15．答案：(1)
(2)
解析：（1）在中，，
由正弦定理得.
（2）在中，由余弦定理得
.
.
.
16．答案：（1）证明见解析
（2）证明见解析
解析：（1）
因平面，平面，平面平面，
所以，
又在直三棱柱中，，
所以.
（2）因为D为的中点，且由（1）问可知，
所以E为的中点，
又，所以，
因为三棱柱是直棱柱，
所以平面.
又因为平面，所以.
因为平面，平面，，
所以平面，
因为平面，所以.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为，
由正弦定理可得，
即，
所以，
因为，所以，
所以，又，所以.
（2）如图所示：因为，，
所以，.
又，所以.
在中，由余弦定理得，
即.①
又，即，
所以，
两边平方得，
即，
所以.②
②－①得，所以，
代入①得（负值已舍去）.
18．答案：（1）证明见解析
（2）
（3）
解析：（1）由题意得平面平面，
又平面平面，
平面平面，所以，
同理，
又且，且，
则且，
所以四边形为平行四边形，则，
所以，
又M为中点，所以N为中点，
同理Q为中点，连接，，
因为，，
所以四边形为平行四边形，所以，
又平面，且平面，平面，
同理由可得平面.
且，，平面，
所以平面平面.
（2）由（1）可知：，
所以异面直线与所成角或其补角，
连接，，因为正方体棱长为2且Q为中点，
则，，
又在正方体中，面，面，则，
即，
所以，
异面直线与所成角的余弦值为.
（3）由正方体特性可知：几何体与几何体的体积相等，即，
设几何体的体积为V，正方体的体积为，
故，
又M为中点，N为中点，将延长至O点，使，
根据相似知识可知，，，
得到几何体体积为三棱锥体积减去三棱锥体积，
则，
所以.
19．答案：（1）证明见解析；
（2）证明见解析；
（3），证明见解析.
解析：（1）因为点P为边（含端点）上的动点且，
可设，其中，
则，
，
所以为定值.
（2）设，，，
则，
根据绝对值的性质可得：
，，
三个式子相加可得：
当且仅当，，等号成立
所以.
（3）因为，，，
由（2）可知，
当且仅当，，时，等号成立，
又因为，且，则，
所以点R是以为体对角线的正方体内部（含面上）的整数点，共个，即.
如图所示，用平行于该正方体底面且与下底面距离分别为1、2、3的平面去截正方体，记截面分别为，，，
那么这125个点在，，和正方体的上、下底面这五个平面内，
一个面上取不共线的3点，相邻面上再取一点构成一个三棱锥.
则这个三棱锥的体积最大为.
现在任取11个点，若有四点共面，则命题己成立，
若其中无4点共面，但11个点分在5个平面上至少有一个平面内有3个点；
若这三点在，，这三个截面中的一个上，与这个面相邻的两个面上如果有一点，那么这一点与平面上的三点这四点可构成三棱锥的四个顶点，其体积不超过，否则还有8个点正方体的上、下底面上，不合题意；
若这三个点在正方体上底面或者下底面上，不妨设在下底面上，若在平面上的一个点，则同样四点构成的三棱锥体积不超过，否则剩下的8个点在，，正方体上底面三个平面上，只能是3，3，2分布，不管哪一种分布都有四点构成的三棱锥体积不超过.
综上所述：任取11个点，其中必存在4个点，它们共面或者以它们为顶点的三棱锥体积不大于.