莆田第一中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷(含答案)

这是一份莆田第一中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．椭圆的焦距是( )
A.B.C.2D.4
2．直线关于y轴对称的直线的方程为( )
A.B.C.D.
3．已知直线经过两点，，则直线的一个方向向量是( )
A.B.C.D.
4．已知直线是双曲线的一条渐近线，则C的离心率等于( )
A.B.C.D.或
5．已知两圆,.动圆M在圆内部且和圆相内切,和圆相外切,则动圆圆心M的轨迹方程是( )
A.B.
C.D.
6．在两条异面直线a，b上分别取点，E和点A，F，使，且.已知，，，，则两条异面直线a，b所成的角为( )
A.B.C.D.
7．在平面直角坐标系xOy中，A为直线上在第一象限内的点，，以为直径的圆C与直线交于另一点D若，则点A的横坐标为( )
A.1B.2C.3D.4
8．已知椭圆E：（）的左焦点为F，过焦点F作圆的一条切线l交椭圆E的一个交点为A，切点为Q，且（O为坐标原点），则椭圆E的离心率为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．若是空间的一个基底,则下列各组中能构成空间的一个基底的是( )
A.,,B.,,
C.,,D.,,
10．已知椭圆的左右焦点分别为，，直线交椭圆于P，Q两点，则( )
A.的周长为4
B.当时，的面积为
C.若直线经过点，则的最小值是3
D.若线段中点为，则直线的方程为
11．如图，在棱长为1的正方体中，点P在侧面内运动（包括边界），Q为棱中点，则下列说法正确的有( )
A.存在点P满足平面平面
B.存在点P满足平面
C.当P为线段中点时，三棱锥的外接球体积为
D.若，则点P的轨迹长为
三、填空题
12．方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是______.
13．已知，，，则点C到直线的距离为______.
四、双空题
14．在平面直角坐标系中，，，定义为两点之间的“折线距离”坐标原点O与直线上一点的“折线距离”的最小值是______；圆上一点与直线上一点的“折线距离”的最小值是______.
五、解答题
15．已知a为实数，设直线，.
(1)若，求a的值及与的交点坐标；
(2)若，求与的距离
16．已知圆与y轴相切于点，圆心在经过点与点的直线上
(1)求圆的方程；
(2)证明圆与圆相交于M、N两点，并求线段的长度
17．已知椭圆，四点，，，中恰有三点在椭圆C上
(1)求椭圆C的方程；
(2)设、为椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆C于A、B两点，若的面积是，求直线的方程
18．在三棱锥中，，，，，.
(1)证明：平面平面；
(2)点E在棱上，若与平面所成角的正弦值为，求的长
19．已知圆与x正半轴交于点A，与直线在第一象限的交点为B点C为圆O上任一点，且满足，以x，y为坐标的动点的轨迹记为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)若两条直线和分别交曲线于点E、F和M、N，求四边形面积的最大值，并求此时的k的值；
(3)研究曲线的对称性并证明为椭圆，并求椭圆的焦点坐标.
参考答案
1．答案：B
解析：
2．答案：A
解析：直线与两坐标轴的交点分别为和,
因为这两点关于y轴的对称点分别为和,
所以直线关于y轴对称的直线方程为
故选：A.
3．答案：C
解析：因为，
所以，因为，
所以与共线，
故直线l的一个方向向量是.
故选:C
4．答案：A
解析：的渐近线方程为，
因此，故，
故离心率为，
故选：A
5．答案：D
解析：设动圆的圆心,半径为r,
圆M与圆:内切,与外切.
所以,.
由椭圆的定义,M的轨迹是以,为焦点,长轴为16的椭圆.
则,,所以
动圆的圆心M的轨迹方程为：
故选：D.
6．答案：C
解析：
7．答案：D
解析：设,因为,所以
则圆C的方程为,
联立,
解得,由,
得,
解得或,
又,所以,
即,所以点A的横坐标为4.
故选：D
8．答案：A
解析：由题意可知：圆的圆心为点O，半径为b，，
设椭圆E的右焦点为，连接，
因为，可知点Q为的中点，
且点O为的中点，则，，
由椭圆定义可知：，
因为Q为切点，可知，则，
可得，
即，
解得，即，
所以椭圆E的离心率.
故选：A.
9．答案：AB
解析：设,所以,无解,
所以,,是不共面的向量,能构成空间的一个基底,故A正确;
设,则,
所以,无解,
所以,,是不共面的向量,能构成空间的一个基底,故B正确;
因为,
所以,,是共面向量,不能构成空间的一个基底,故C错误;
因为,
所以,,是共面向量,不能构成空间的一个基底,故D错误.
故选:AB.
10．答案：BCD
解析：
11．答案：ABD
解析：
12．答案：
解析：方程
表示焦点在x轴上的椭圆,,
解得.
故答案为:.
13．答案：
解析：，，
，
则点C到直线AB的距离为:
14．答案：；.
解析：
15．答案：(1)
(2)
解析：(1)因为直线，
，，
当时，直线，，不符合题意
当时，直线斜率为，
直线斜率为，
由可得：
即，解得；
则，
联立方程组，
则与的交点坐标为.
(2)因为直线，
，，
由(1)知：时，不符合题意
当时，由可得：，即，
解得或，
当时，两直线方程均为，不合题意，
当时，方程为，即，
方程为，即，
故与的距离为.
16．答案：(1)
(2)
解析：(1)经过点与点的直线斜率为
所以直线方程为.
由题意可得，圆心在直线上，
由，解得圆心坐标为，
故圆的半径为4.
则圆的方程为；
(2)依题意圆的圆心，半径，
圆
化为标准方程
圆的圆心，半径，
因为，，
，
所以圆与曲线相交，
又圆的方程为，
即，
圆，
两式作差可得两圆公共弦所在直线方程为.
圆的圆心到直线的距离.
所以两圆的公共弦的长为
17．答案：(1)
(2)或
解析：(1)根据椭圆的对称性，，两点必在椭圆C上，
又的横坐标为1，所以椭圆必不过，
则，，三点在椭圆C上
把，代入椭圆C，
得：
解得，，
所以椭圆C的方程为.
(2)由(1)知，
当直线斜率为0时，不符合题意，
当直线斜率不为0时，
可设直线的方程为：，，，
联立，
消x得：，
，
则
又，
即，
即，
化简得
解得，
所以直线的方程为：或.
18．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)过D作，垂足为H，
由，，，
得，
因为，得，
所以，
由题意可知，，，，所以
在中，，所以，
又，，，平面，
所以平面，平面，平面平面；
(2)如图以H为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，所在直线为z轴，
建立空间直角坐标系；
得，，，
设，，则，
，
设平面的一个法向量为，
则
，
设直线与平面所成角为，
，
则，，
又，则，
所以，.
19．答案：(1)
(2)
(3)，
解析：(1)由题意可得，，
即，.
由得，，
则将
代入，化简得.
故曲线的方程为.
(2)由，
消y得，
解得，
由已知直线交曲线于E，F，
不妨设，，
所以，
同理，
由题意知，所以四边形的面积.
.
因为，
所以，，
当且仅当时等号成立，此时.
当时，四边形的面积最大值为.
(3)曲线的方程为，
它关于直线、和原点对称，下面证明：
设曲线上任一点的坐标为，
则，点P关于直线的对称点为，
因为，所以点在曲线上，
故曲线关于直线对称，
同理可得点关于直线的对称点也在曲线上，
故曲线关于直线对称，同理可证曲线关于原点对称
下面证明为椭圆
证明：①联立曲线和直线方程，
解得交点坐标为，，
联立曲线和直线方程，
解得交点坐标为，，
则，，
，.
在上取点，，
设为曲线上任一点，
则
（因为）
.
即曲线上任一点P到两定点，的距离之和为定值.
②若点到两定点，的距离之和为定值，
设为曲线上任一点，
则，
移项得
平方整理得，，
再移项平方得
化简可得
故点P的轨迹方程为，
综上所述曲线是椭圆，其焦点坐标为，