高中数学北师大版讲义(必修二)第19讲4.2两角和与差的三角函数公式(5知识点+10题型+强化训练)(学生版+解析)特训

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4.2两角和与差的三角函数公式知识点01 两角和与差的余弦1、两角差的余弦公式：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β，α，β∈R2、两角和的余弦公式：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β，α，β∈R【即学即练1】（22-23高一下·江西赣州·阶段练习）计算sin-7π12=（    ）A．2+64B．2-64C．6-24D．-2+64【答案】D【分析】将7π12看成π4+π3，根据诱导公式以及两角和的正弦公式，化简计算，即可得出答案.【详解】sin-7π12=-sin7π12 =-sinπ4+π3=-sinπ4cosπ3+cosπ4sinπ3 =-22×12+22×32=-2+64.故选：D．知识点02 两角和与差的正弦1、两角和的正弦：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β， α，β∈R2、两角差的正弦：sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β，α，β∈R【即学即练2】（21-22高一下·四川成都·期末）tan15°=（    ）A．2-3B．3-2C．-2-3D．2+3【答案】A【分析】利用两角差的正切公式计算可得；【详解】tan15°=tan45°-30° =tan45°-tan30°1+tan45°tan30° =1-331+1×33=2-3故选：A知识点03 两角和与差的正切1、两角和的正切：tan(α＋β) ＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)，α，β，α＋β≠kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)2、两角差的正切：tan(α－β) ＝eq \f(tan α－tan β,1＋tan αtan β)，α，β，α－β≠kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)【即学即练3】（22-23高一·全国·随堂练习）求下列各式的值：(1)cos105°；(2)cos-25π12．【答案】(1)2-64；(2)2+64.【分析】（1）105°=60°+45°，由两角和的余弦公式即可求解；（2）由诱导公式可得cos-25π12=cosπ12，π12=π3-π4，由两角差的余弦公式即可求解.【详解】（1）cos105°=cos60°+45°=cos60°cos45°-sin60°sin45°=12×22-32×22=2-64.（2）cos-25π12=cos25π12=cos2π+π12=cosπ12=cosπ3-π4=cosπ3cosπ4+sinπ3sinπ4=12×22+32×22=2+64.知识点04 辅助角公式辅助角公式：函数f(α)＝asin α＋bcos α(a，b为常数)，可以化为f(α)＝eq \r(a2＋b2)sin(α＋φ)（其中）或f(α)＝eq \r(a2＋b2)·cos(α－φ)（其中）【即学即练4】（23-24高一下·上海·阶段练习）把3sinα+cosα化成Asinα+φ(A>0,00，∴α和β不可能在三、四象限，①若α终边在第一象限，则cosα=154，由α+β=π，得β=π-α，∴sinβ=sinπ-α=sinα=14，cosβ=cosπ-α=-cosα=-154，∴cosα-β=cosαcosβ+sinαsinβ =154×-154+14×14=-78；②若α在第二象限，则cosα=-154，∴α+β=π，即β=π-α，∴sinβ=sinπ-α=sinα=14，cosβ=cosπ-α=-cosα=154，∴cosα-β=cosαcosβ+sinαsinβ =-154×154+14×14=-78．故选：C变式1-1．（23-24高一上·浙江温州·期末）已知sinα=13，α∈π2,π，则cosα+π6= 【答案】-1-266【分析】先求得cosα=-223，再利用两角和的余弦公式求解即可．【详解】因为sinα=13，α∈π2,π，所以cosα=-223，则cosα+π6=32cosα-12sinα=32×-223-12×13=-1-266．故答案为：-1-266．变式1-2．（23-24高一上·上海·期末）已知α为锐角，cosα+π6=17，则cosα= .【答案】5314/5143【分析】根据题意得到sinα+π6>0，进而结合同角三角函数关系得到sinα+π6的值，利用配角法求得答案即可.【详解】因为α为锐角，所以0