4.2两角和与差的三角函数公式 北师大版（2019）高中数学必修第二册（含答案解析） 试卷
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第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
- 已知，均为锐角，，，则( )
A. B. C. D.
- 若，，且，，则的值是( )
A. B. C. 或 D. 或
- 在中，角，，所对的边分别为，，，，则的最大值为( )
A. B. C. D.
- 已知函数，将图象向右平移个单位长度得到函数的图象，若对任意，都有成立，则的值为( )
A. B. C. D.
- 将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，下列结论正确的是( )
A. 是最小正周期为的偶函数 B. 是最小正周期为的奇函数
C. 在上的最小值为 D. 在上单调递减
- 函数的值域为( )
A. B.
C. D.
- 已知，且，则等于( )
A. B. C. D.
- 设直角三角形中两锐角为和，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
- 已知其中为锐角，以下判断正确的是( )
A. B.
C. D.
- 已知的内角所对的边分别为，下列四个命题中正确的命题是( )
A. 若，则一定是等边三角形
B. 若，则一定是等腰三角形
C. 若，则一定是等腰三角形
D. 若，则一定是锐角三角形
- 若，则下列关系式中一定成立的是( )
A.
B.
C.
D.
- 在中，，，所对的边分别为，，，是的重心．则下列能说明一定是等腰三角形的条件是( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
- 若，，且，，则 ．
- 已知，为第三象限角，则 ．
- 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是____________．
- 已知则的值为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
- 本小题分
已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点
求的值；
若角满足，求的值．
- 本小题分
已知函数的定义域为，满足如下两个条件：
对于任意，，都有成立；
函数的所有正数零点中存在最小值为．
则称函数具有性质．
Ⅰ若函数具有性质，求的值；
Ⅱ若函数具有性质，求和的值；
Ⅲ判断函数和是否具有性质，说明理由． - 本小题分
已知函数．
求函数的单调增区间
若，，求的值．
- 本小题分
已知函数，其图象经过点，且与轴两个相邻交点的距离为．
Ⅰ求的解析式；
Ⅱ若，求的值．
- 本小题分
已知函数．
求的值；
在中，若，求的最大值．
- 本小题分
已知，，求证：．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查两角差的正弦公式和诱导公式，属中档题．
根据，和的取值范围，求出，再根据诱导公式和两角差的正弦函数公式求出答案．
【解答】
解：由题意可知，都为钝角，
，，
，
故选C．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查同角三角函数间的关系式的应用，着重考查两角和的余弦，考查转化思想与综合运算能力，属于较难题．
依题意，可求得，进一步可知，于是可求得与的值，再利用两角和的余弦公式及余弦函数的单调性即可求得答案．
【解答】
解：，，，
，，
又，
，即，
，
又，
，
，
．
又，，
，
，
故选A．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查向量的数量积运算、正弦定理以及逆用两角和与差的正弦公式，属于基础题．
由向量的数量积运算、正弦定理以及和角差角公式化简可得和，联立之后可得，，求出的范围，可得结果．
【解答】
解：由已知，
，
，
，
由正弦定理，
，
，
又，
，
，
，
联立，得，
，
，
，
又在中，，
的最大值为或舍去，此时
故A的最大值为．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查考查三角函数的图象变换和图象的性质，涉及两角和差的正切值公式，涉及三角函数的最值，周期，图象性质．
先根据已知得到当时最大或最小，进一步根据平移变换得到的极值点最值点，然后关键一步，利用周期得到的零点，然后结合两角差的正切公式和诱导公式进行计算求解即可．
【解答】
解：由对任意，都有成立，可知是的最大值，
当时最大或最小，
又将图象向右平移个单位长度得到函数的图象，
当时最大或最小，
，
令，
则，其中，
故的周期为，四分之一周期为，
当时的值为，
，
，
，
解得，
故选D．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查二倍角公式和辅助角公式的应用，以及函数的性质及函数图象变换，属于中档题．
先应用二倍角公式和辅助角公式化简已知函数，再利用函数图象变换得的解析式，最后利用余弦函数的性质，逐一分析求解即可．
【解答】
解：由题，
将的图象向左平移个单位得到函数，
．
故函数的最小正周期为，故选项A，B错误
令则在上的值域为，
故在上的最小值为，选项C正确
对于由余弦函数的性质知：
的单调增区间满足即
单调减区间满足即．
的单调增区间为单调减区间为．
故在上不单调，选项D错误．
故选C．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查诱导公式，正弦函数的性质及值域，考查三角函数的恒等变换，属于中档题．
化简函数，由正弦函数的性质求解即可．
【解答】
解：，
，
，则，
，
所以，
所以
故选A．
7.【答案】
【解析】
【分析】
略
【解答】
解：， ．
， ，
，
．
8.【答案】
【解析】
【分析】
略
【解答】
略
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了两角和与差的三角函数公式和同角三角函数的基本关系，属中档题．
由同角三角函数关系可判定；由结合两角差的余弦公式可判定；展开和，联立得出和，可判定、．
【解答】
解：由，，则，
又因为则，故A正确；
，
可得
，故B错误；
则，
又因为，
所以，
由得，，
所以，故C正确，D错误．
故选AC．
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查正弦定理，三角恒等变换，同角三角函数基本关系考查学生运用公式熟练变形的能力，属于中档题．
根据正弦定理，三角恒等变换公式，同角三角函数基本关系逐一判断各个选项即可．
【解答】
解：对于，若，则，即，即，即是等边三角形，故正确；
对于，若，则由正弦定理得，即，则或，即或，则为等腰三角形或直角三角形，故错误；
对于，若，，即，则是等腰三角形，故正确；
对于，中，，角为锐角，但不一定是锐角三角形，故错误．
故选AC．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查指数函数、对数函数、幂函数的单调性在比较大小中的应用，属于中档题．
根据已知条件求出，的大小关系，逐项判断即可求解．
【解答】
解：因为，，所以，
A.因为是单调增函数，所以，故A正确；
B.因为是单调增函数，所以，故B不正确；
C.，
因为，所以，，
所以，
所以是单调增函数，
所以，故C正确；
D.若，时，，故D不正确．
故选AC．
12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了三角函数在判定三角形形状中的应用，属于中档题．
利用正弦定理，两角和与差的三角函数公式及三角形的内角和逐项判断即可．
【解答】
解：对于，，因为三角形内角为，，或舍去，故能判定为等腰三角形；
对于，，由正弦定理可知，，又以为，
，，，能判定直角不能判定等腰三角形，故排除；
对于，，或，可能为直角三角形或等腰三角形，故排除；
对于，因为为的重心，所以延长到于点，为中点，又因为，所以为等腰三角形，故D正确；
故答案选AD．
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查余弦的和差公式，同角间的关系，属于中档题．
先由已知求出， ，由和差角公式求出的值，即可得出的值．
【解答】
解：因为，，，
所以，
则，
又，，
故，
所以
，
又，
所以．
故答案为：．
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查两角和与差的正弦公式，诱导公式，同角三角函数的基本关系，属于基础题．
根据两角和与差的正弦公式可得，利用诱导公式化简所求式子，再根据同角三角函数的基本关系，弦化切即可得到答案．
【解答】
解：，
得，
因为为第三象限角，所以，
所以
．
故答案为．
15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查利用导数研究函数的单调性，同时考查辅助角公式及正弦函数的性质，还考查不等式恒成立，属于中档题．
求出导数，将问题转化为恒成立即可求解．
【解答】
解： 因为函数在区间上单调递增，
所以在区间上恒成立，
即在区间上恒成立，
又，所以，
所以
所以，即．
故答案为．
16.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查三角恒等变换，同角三角函数关系式，二倍角公式的应用，属于中档题．
应用三角函数的恒等变换公式对变形求得，再由求得，可得结论．
【解答】
解：
所以，
，
所以．
故答案为：．
17.【答案】解：
角的顶点与原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边过点
，，，
；
由，，，
得，，
又由，
得
，
则
，
或
．
的值为或．
【解析】本题考查了任意角的三角函数的定义，考查了三角函数的诱导公式的应用，考查了两角差的余弦函数公式，是中档题．
由已知条件即可求，则的值可得；
由已知条件即可求，，，再由，代值计算得答案．
18.【答案】解：Ⅰ对于任意，，都有成立，取，，则，
因为函数的所有正数零点中存在最小值为所以不恒为，
因此；
Ⅱ令，，
由于具有性质，故可知，
又由知，所以，
所以；
Ⅲ由Ⅰ知：若函数是具有性质，则满足可知：，故函数不具有性质，
对任意的，，
，且存在最小的正数使得，
故具有性质．
【解析】本题属于新概念题，考查了学生根据概念进行推理的能力，理解定义是解答本题的关键，属于中档题．
Ⅰ根据函数具有性质，则可取，，即可求解．
Ⅱ根据具有性质，可知是最小的正数零点，结合即可求解．
Ⅲ根据函数具有性质的必要条件可判断，根据两角和与差的余弦公式即可验证是否具有性质．
19.【答案】解：函数
由，得．
函数的单调递增区间是．
，，即
，，
则．
故．
【解析】本题考查余弦函数的单调性，考查二倍角公式，两角和与差的正三角函数公式，属于中档题．
利用二倍角公式与两角和的余弦公式化简函数为一个角的三角函数的形式，进而通过求余弦函数的单调增区间，即可得到函数的单调递增区间；
若，得出，结合，得出，
进而通过利用两角差的正弦公式求解即可．
20.【答案】解：由已知得函数的最小正周期，则，
所以．
又，所以，
因为，所以．
所以，即，
所以．
因为，
所以，
所以．
当时，
；
当时，
．
所以或．
【解析】本题考查了余弦型函数的性质，同角三角函数的基本关系，两角和与差的三角函数公式及诱导公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
根据题意求得函数的最小正周期、和的值，即可写出的解析式；
根据函数解析式求出的值，由同角三角函数的基本关系可求出的值，再利用，即可求出三角函数值．
21.【答案】解：
，
．
由，
而，可得，即，
，
，，，
则，
故当时，取最大值，最大值为．
【解析】本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，诱导公式、倍角公式、三角函数的辅助角公式的应用，考查分析与推理能力，属于中档题．
利用诱导公式，二倍角公式与辅助角公式将函数化简为，即可求得的值；
由，为三角形的内角，，可求得，从而，展开后利用三角函数的辅助角公式即可求得的最大值．
22.【答案】证明：由已知，得，
C.
所以，
C.
因为当时，
不成立，
所以
，得C.
所以．
，得，即，
所以
．
【解析】略
