2024-2025学年浙江省宁波市北仑中学高一（下）期中数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年浙江省宁波市北仑中学高一（下）期中数学试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线y=−34x+3与圆(x−3)2+(y−2)2=4相交于M、N两点，则|MN|=( )
A. 1B. 32C. 3D. 2 3
2.已知空间向量a=(1,1,1)，b=(1,0,−2)，则向量a在向量b上的投影向量为( )
A. (15,0,−25)B. (13,13,13)C. (−13,−13,−13)D. (−15,0,25)
3.已知直线l经过点P(1,2)，与两坐标轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积的最小值为( )
A. 2B. 3C. 4D. 8
4.点(0,−1)到直线λx−y+λ=0(λ为任意实数)距离的最大值为( )
A. 22B. 1C. 2D. 2
5.如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位，共移动4次，则质点位于原点左侧的概率为( )
A. 516B. 116C. 14D. 12
6.已知直线l1：mx−y=0(m∈R)过定点A，直线l2：x+my+4−2m=0过定点B，l1与l2的交点为C，则△ABC面积的最大值为( )
A. 10B. 2 5C. 5D. 10
7.已知圆C1：(x−a)2+y2=4与圆C2：x2+(y−b)2=1恰有3条公切线，则ab的最大值是( )
A. 92B. 4C. 2D. 12
8.在平面直角坐标系中，已知点A(−2,0)，B(−2,2)，若点P为圆C：x2+y2=1上的动点，则|AB+AP|的最大值为( )
A. 3B. 13C. 5D. 2 2+1
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.直线l：xsinθ−y+3=0(θ∈R)的倾斜角可以为( )
A. 5π6B. 3π4C. π3D. π6
10.已知圆C：x2+y2+kx−2y+k2=0，k∈R，则( )
A. 当k=0时，C的面积是πB. 实数k的取值范围是(−2 33,2 33)
C. 点(0,1)在C内D. 当C的周长最大时，圆心坐标是(0,−1)
11.如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，底面ABC是边长为2的正三角形，A1A=4，点D在BC上，且DB=DC，则( )
A. 直线BA1//平面AC1D
B. 点B到平面AC1D的距离为 1717
C. 异面直线AB与C1D所成角的余弦值为 1734
D. 设M，N分别在线段A1B1和C1D上，且A1M：A1B1=DN：DC1，则MN的最小值为2 43723
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知直线l1：ax+(2a−1)y−1=0与直线l2：x−ay+3=0互相垂直，则实数a的值为 ．
13.现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击一次，命中的概率为34，命中得1分，没有命中得−1分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为23，每命中一次得2分，没有命中得0分．该射手每次射击的结果相互独立，假设该射手完成以上三次射击，则该射手得3分的概率为______．
14.点M是直线2x−y+5=0上的动点，O是坐标原点，则以OM为直径的圆经过定点______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
黔西一中为了提高学生对“黔西一中校史”的了解，举办了“知史爱校守初心”的知识竞赛活动，现从所有竞答试卷的卷面成绩中随机抽取100份作为样本数据，将样本答卷中分数x(40≤x≤100)的整数分成六段：[40,50)，[50,60)，…，[90,100]，并作出如图所示的频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中a的值；
(2)求样本数据的第59百分位数；
(3)已知样本数据落在[50,60)的平均数是52，方差是6；落在[60,70)的平均数是64，方差是3.求这两组数据的总平均数x−和总方差s2．
16.(本小题15分)
在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点A(−4,2)．
(1)若AC边上的高BE所在的直线方程为x−3y+10=0，求边AC所在的直线方程；
(2)若AB边上的中线CF所在直线方程为x+2y−5=0，∠B的平分线BD所在的直线方程为y=2x，求边BC所在的直线方程．
17.(本小题15分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l：y=2x−4.设圆C的半径为1，圆心在l上．
(1)若圆心C也在直线y=x−1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程：
(2)若圆C上存在点M，使|MA|=2|MO|，求圆心C的横坐标a的取值范围．
18.(本小题17分)
如图1，△ABC是等边三角形，△DAC为等腰直角三角形，DA=DC= 2，将△DAC沿AC翻折到△PAC的位置，且点P不在平面ABC内(如图2)，点F为线段PB的中点．

(1)证明：AC⊥PB；
(2)当平面PAC⊥平面ACB时，求直线PB与平面ACF所成角大小；
(3)若直线PC与AB所成角的余弦值为 24时，设平面ACF与平面PBC的夹角为α，求csα的值．
19.(本小题17分)
在平面直角坐标系xOy中，图形W上任意两点间的距离若有最大值，将这个最大值记为d.对于点P和图形W给出如下定义：点Q是图形W上任意一点，若P，Q两点间的距离有最小值，且最小值恰好为d，则称点P为图形W的“关联点”．

(1)如图1，图形W是矩形AOBC，其中点A的坐标为(0,3)，点C的坐标为(4,3)，则d= ______.在点P1(−1,0)，P2(2,8)，P3(3,1)，P4(− 21,−2)中，矩形AOBC的“关联点”是______；(直接在答题卷上写出答案即可，不需要书写过程)
(2)如图2，图形W是中心在原点的正方形DEFG，其中点D的坐标为(1,1).若直线y=x+b上存在点P，使点P为正方形DEFG的“关联点”，求b的取值范围；
(3)已知点M(1,0)，N(0, 3)，图形W是以T(t,0)为圆心，1为半径的⊙T.若线段MN上存在点P，使点P为⊙T的“关联点”，求出t的取值范围．
参考答案
1.D
2.D
3.C
4.C
5.A
6.C
7.A
8.D
9.ABD
10.AB
11.ACD
12.1或0
13.49
14.(0,0)和(−2,1)
15.解：(1)根据题意可得10×(0.005+0.01+0.02+a+0.025+0.01)=1，解得a=0.03；
(2)因为前几组的频率依次为0.05，0.1，0.2，0.3，
所以第59百分位数在[70,80]内，设第59百分位数为x，
则0.59−−0.35=x−7080−70，解得x=78；
(3)样本数据在区间[50,60]的个数为0.1×100=10，
在区间[60,70]上的个数为0.2×100=20，
所以x−=1010+20×52+2010+20×64=60，
总方差为s2=1010+20[6+(52−60)2]+2010+20[3+(64−60)2]=36．
16.解：(1)若AC边上的高BE所在的直线方程为x−3y+10=0，
则kBE=13，则kAC=−3，
因A(−4,2)，
则直线AC的方程为y−2=−3(x+4)，即y=−3x−10．
(2)设点B(a,b)，顶点A(−4,2)．
则线段AB的中点为(a−42,b+22)，
将其代入CF所在直线方程x+2y−5=0中，得a+2b=10，
将点B代入BD所在的直线方程y=2x中，得b=2a，
解得a=2，b=4，即B(2,4)，
设点A关于直线y=2x对称得点A′(m,n)，
则n−2m+4=−12n+22=2m−42，得m=4n=−2，即A′(4,−2)，
因B、C、A′三点共线，则kBC=−2−44−2=−3，
直线BC所在的直线方程为y−4=−3(x−2)，即y=−3x+10．
17.解：(1)由题设点C(a,2a−4)，又C也在直线y=x−1上，∴2a−4=a−1，∴a=3，
∴⊙C：(x−3)2+(y−2)2=1，
由题，过A点切线方程可设为y=kx+3.即kx−y+3=0，
则|3k+1| k2+1=1，解得：k=0，−34，
∴所求切线为y=3或y=−34x+3．
(2)设点C(a,2a−4)，M(x0,y0)，∵MA=2MO，A(0,3)，O(0,0)，
∴x02+(y0−3)2=4(x02+y02)，即x02+y02=3−2y0，
又点M在圆C上∴(x0−a)2+(y0−2a+4)2=1，两式相减得ax0+(2a−3)y0−(5a22−8a+9)=0，
由题以上两式有公共点，∴|5a2+(2a−3)(2a−4)−(5a22−8a+9)| a2+(2a−3)2≤1，
整理得：|5a22−6a+3|≤ 5a2−12a+9，即(5a2−12a+6)2≤4(5a2−12a+9)，
令t=5a2−12a+6，则t2≤4(t+3)，解得：−2≤t≤6，∴−2≤5a2−12a+6≤6，
解得：0≤a≤125．
18.解：(1)证明：根据题目：△ABC是等边三角形，△DAC为等腰直角三角形，DA=DC= 2，将△DAC沿AC翻折到△PAC的位置，
且点P不在平面ABC内(如图2)，点F为线段PB的中点．
取AC中点为E，连接PE，BE，因为PA=PC，AB=BC，
所以PE⊥AC，BE⊥AC，
又因为PE∩BE=E，PE，BE⊂平面PBE，
所以AC⊥平面PBE，又因为PB⊂平面PBE，所以AC⊥PB．
(2)因为平面PAC⊥平面ACB，平面PAC∩平面ACB=AC，
PE⊥AC，PE⊂平面PAC，
所以PE⊥平面ACB，所以EA，EP，EB两两互相垂直，
以E为原点，以{EA,EB,EP}为基底，建立空间直角坐标系，
则A(1,0,0),B(0, 3,0),C(−1,0,0),P(0,0,1)，F(0, 32,12)，
则PB=(0, 3,−1),CA=(2,0,0),CF=(1, 32,12)，
设平面ACF的法向量为m=(x1,y1,z1)，则CA⋅m=2x1=0CF⋅m=x1+ 32y1+12z1=0，
取y1=−1，得m=(0,−1, 3)，
所以cs〈PB,m〉=PB⋅m|PB|⋅|m|=− 3− 32×2=− 32，
设直线PB与平面ACF所成角为θ，则sinθ=|cs〈PB⋅m〉|= 32，
又θ∈[0,π2]，则当平面PAC⊥平面ACB时，直线PB与平面ACF所成角θ=π3，
所以直线PB与平面ACF所成角为π3，
(3)以E为原点，以EA直线为x轴，EB直线为y轴，垂直于平面ABC所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，
因为△ADC为等腰三角形，DA=DC= 2，所以EP=1，
则A(1,0,0),B(0, 3,0),C(−1,0,0)，
设∠BEP=θ，则P(0,csθ,sinθ)，
则PC=(−1,−csθ,−sinθ),AB=(−1, 3,0)，
故cs〈PC⋅AB〉=PC⋅AB|PC|⋅|AB|=1− 3csθ 2×2=± 24，
所以csθ=0或csθ=2 3>1(舍去)，
所以EA，EP，EB两两互相垂直，
由(2)知平面ACF的法向量为m=(0,−1, 3)，
设平面PBC的法向量为n=(x2,y2,z2)，PB=(0, 3,−1),PC=(−1,0,−1)，
则PB⋅n= 3y2−z2=0PC⋅n=−x2−z2=0，取y2=1，得n=(− 3,1, 3)，
所以csα=|cs〈m,n〉|=|m⋅n||m|⋅|n|=22⋅ 7= 77．
19.解：(1)如图1，图形W是矩形AOBC，其中点A的坐标为(0,3)，点C的坐标为(4,3)，矩形AOBC的对角线长为 32+42=5，这也是矩形中任意两点距离的最大值，所以d=5，
对P1(−1,0)，矩形AOBC中点O(0,0)到它的距离最小为1，不满足关联点的定义，不是关联点，
对P2(2,8)，矩形AOBC中的点到它的距离最小为8−3=5=d，满足关联点的定义，是关联点，
对P3(3,1)，矩形AOBC中点到它的距离最小为0，不满足关联点的定义，不是关联点，
对P4(− 21 , −2)，中矩形AOBC中点O(0,0)到它的距离最小为 21+4=5=d，满足关联点的定义，是关联点，
因此P2，P4是关联点；
(2)如图2，图形W是中心在原点的正方形DEFG，其中点D的坐标为(1,1).若直线y=x+b上存在点P，使点P为正方形DEFG的“关联点”，
可知正方形的边长为2，对角线长为2 2，因此正方形DEFG中，d=2 2，
直线y=x+b与对角线DF平行，
由已知E(−1,1)，F(−1,−1)，G(1,−1)，设P(x,y)，
当−1≤x≤1时，y=1+2 2或y=−1−2 2时，P到正方形DEFG上点的距离的最小值为2 2，满足关联点的定义，为关联点，
当−1≤y≤1时，x=1+2 2或x=−1−2 2时，P到正方形DEFG上点的距离的最小值为2 2，为关联点，
当|x|>1且|y|>1时，如果P在第一象限，则P到正方形DEFG上点的距离的最小值为|PD|=2 2，因此有(x−1)2+(y−1)2=8，即P在圆(x−1)2+(y−1)2=8的一段弧上(x>1,y>1)，
同理点P还在下列三段圆弧上：(x+1)2+(y−1)2=8(x1)，(x+1)2+(y+1)2=8(x