2024-2025学年浙江省宁波市北仑中学高二下学期期初返校考试数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年浙江省宁波市北仑中学高二下学期期初返校考试数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知直线l过点A(1, 3)和B(−2,0)，则l的倾斜角为( )
A. 120°B. 90°C. 60°D. 30°
2.已知数列an为等比数列，若a3=3，a9=24，则a7=( )
A. 9B. 12C. 15D. 18
3.“m0.“果圆”与x轴的交点分别为A1,A2，与y轴的交点分别为B1,B2，点P为半椭圆C2上一点(不与A1重合)，若存在PA1·PA2=0，则半椭圆C1的离心率的取值范围为( )
A. 0,23B. 12,23C. 12, 5−12D. 5−12,23
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.椭圆C：x29+y25=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P为C上的任意一点，则( )
A. 椭圆C的长轴长为3B. 椭圆C的离心率为23
C. PF1的最大值为5D. 存在点P，使得PF1⊥PF2
10.已知数列{an}满足a1=1，an+1=an2+3an(n∈N∗)，则下列结论正确的有( )
A. {1an+3}等比数列B. {an}的通项公式为an=12n+1−3
C. {an}为递增数列D. {1an}的前n项和Tn=2n+2−3n−4
11.已知正四棱柱ABCD−A1B1C1D1的底面边长为1,AA1=2，点P,Q分别满足A1P=λAB+μAD−AA1,λ,μ∈0,1,CQ=mCC1,m∈0,1.甲､乙､丙､丁四名同学利用《空间向量与立体几何》这一章的知识对其进行研究，各自得出一个结论：
甲：当m=18时，存在λ,μ，使得A1P⊥QP；
乙：当m=12时，存在λ，μ，使得A1P+PQ=2 3；
丙：当m=78时，满足D1P⊥A1Q的λ,μ的关系为λ=μ；
丁：当m=124时，满足A1P⊥QP的点P的轨迹长度为2 39π．
其中得出正确结论的同学有( )
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.抛物线y=18x2的焦点到准线的距离是 ．
13.已知Sn，Tn分别是等差数列an,bn的前n项和，且SnTn=2n+14n−2n∈N∗，则a3b4+b7+a8b5+b6=
14.已知x=x1和x=x2分别是函数f(x)=2ax−ex2(a>0且a≠1)的极小值点和极大值点．若x1b>0)一个顶点A(0,−2)，以椭圆E的四个顶点为顶点的四边形面积为4 5．
(1)求椭圆E的方程；
(2)过点P(0,−3)的直线l斜率为k，与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与直线交y=−3交于点M，N，当|PM|+|PN|≤15时，求k的取值范围．
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=lnx2−x+ax+b(x−1)3．
(1)若b=0，且f′(x)≥0，求a的最小值;
(2)证明：曲线y=f(x)是中心对称图形;
(3)若f(x)>−2，当且仅当10
又PM+PN=xM+xN=x1y1+2+x2y2+2
=x1kx1−1+x2kx2−1=2kx1x2−x1+x2k2x1x2−kx1+x2+1=50k4+5k2−30k4+5k225k24+5k2−30k24+5k2+1=5k
故5k≤15即k≤3，
综上，−3≤k0,
所以2x(2−x)≥2x+2−x22=2，当且仅当x=1时，取等号．
所以−a≤2，则amin=−2．
(2)证明：因为f(2−x)=ln2−xx+a(2−x)+b(1−x)3
=−[lnx2−x+ax+b(x−1)3]+2a=−f(x)+2a，
所以曲线y=f(x)关于点(1,a)成中心对称图形．
(3)解：因为f(1)=a⩽−2，否则解集中含有x=1:又由(1)知a≥−2，否则f′(1)−2，且f(1)=−2，
f′(x)=2x(2−x)−2+3b(x−1)2=(x−1)2[3b+2x(2−x)]，f′(1)=0，
令g(x)=f′(x)=(x−1)2[3b+2x(2−x)]，
又g′(x)=−1x2+1(2−x)2+6b(x−1)，g′(1)=0，
令ℎ(x)=g′(x)=−1x2+1(2−x)2+6b(x−1)，
又ℎ′(x)=2x3+2(2−x)3+6b，ℎ′(1)=4+6b，
令ℎ′(1)=4+6b≥0，得b≥−23，
此时f′(x)=(x−1)2[2x(2−x)+3b]≥(x−1)2[2x(2−x)−2]=2(x−1)4x(2−x)≥0，
故f(x)在(1,2)上单调递增，所以对∀x∈(1,2)，f(x)>−2恒成立，
综上所述，b的取值范围为[−23,+∞).