清单01 二次根式-2024-2025学年八年级数学下学期期中考点大串讲+练习（人教版）

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清单01 二次根式
一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式．
①“”称为二次根号
②a（a≥0）是一个非负数；
学习要求：
理解被开方数是非负数，给出一个式子能准确的判断其是否为二次根式，并能根据二次根式的定义确定被开方数中的字母取值范围．
清单02 二次根式有意义的条件
判断二次根式有意义的条件：
（1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式．
（2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．
（3）二次根式具有非负性．（a≥0）是一个非负数．
学习要求：
能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利用二次根式的非负性解决相关问题．
【规律方法】二次根式有无意义的条件
1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．
2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
清单03 二次根式的性质与化简
1.二次根式的基本性质：
（1）≥0； a≥0（双重非负性）．
（2）（）2＝a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．
（3）；
（4）积的算术平方根的性质：；
（5）商的算术平方根的性质：.
化简二次根式的步骤：
①把被开方数分解因式；
②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；
③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．
清单04 最简二次根式
最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．
清单05 二次根式的乘除法
（1）积的算术平方根性质：ab ＝ a · b （a≥0，b≥0）
（2）二次根式的乘法法则：a · b ＝ab （a≥0，b≥0）
（3）商的算术平方根的性质：ab＝ab （a≥0，b＞0）
（4）二次根式的除法法则：ab ＝ab（a≥0，b＞0）
清单06 分母有理化
1.分母有理化是指把分母中的根号化去．
分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．
2.两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式．
一个二次根式的有理化因式不止一个．
3. 常用的有理化因式
a与a；a＋b与a＋b；a－b与a－b；a＋b与a－b；ab＋cd与ab－cd等.
清单07 同类二次根式
1.同类二次根式的定义：
一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．
2.合并同类二次根式的方法：
只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．
清单08 二次根式的加减法
1.二次根式的加减法法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．
2.二次根式的加减运算步骤：
①去——如果有括号，根据去括号法则去掉括号．
②化——把不是最简二次根式的二次根式进行化简．
③并——合并被开方数相同的二次根式．
3.合并被开方数相同的二次根式的方法：
二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．
清单09 二次根式的混合运算
1.二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点：
①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．
②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．
2.二次根式的运算结果要化为最简二次根式．
3.在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
清单10 二次根式的化简求值
二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．
二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．
清单11 二次根式的应用
把二次根式的运算与现实生活相联系，体现了所学知识之间的联系，感受所学知识的整体性，不断丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力．
二次根式的应用主要是在解决实际问题的过程中用到有关二次根式的概念、性质和运算的方法．
【考点题型一】二次根式的概念及求值（）
【例1-1】（22-23八年级下·辽宁营口·期中）下列各式是二次根式的有（ ）
（1）；（2）；（3）；（4）；
A．4个B．3个C．2个D．1个
【例1-2】（23-24八年级下·贵州黔南·期中）若求的值．
【变式1-1】（23-24八年级下·浙江温州·期中）当时，二次根式的值是（ ）
A．4B．2C．D．
【变式1-2】（24-25八年级上·广东梅州·期中）当时，二次根式的值为 ．
【变式1-3】（24-25八年级上·浙江杭州·期中）若，满足，则 ．
【考点题型二】求二次根式中的参数（）
【例2】（23-24八年级下·广东韶关·期中）已知a是正整数，是整数，则a的最小值是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【变式2-1】（23-24八年级下·福建南平·期中）二次根式与 的和为0，则的值为 ．
【变式2-2】（23-24八年级下·湖北咸宁·期中）若是正整数，则整数可取的最小值为 ．
【变式2-4】（23-24八年级下·甘肃武威·期中）已知是整数，求自然数n的值．
【考点题型三】二次根式有意义的条件（）
【例3】（24-25八年级上·江苏扬州·期中）若满足关系式 ，则 ．
【变式3-1】（23-24八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）要使二次根式有意义，则x的取值范围是 ．
【变式3-2】（24-25八年级上·福建漳州·期中）若实数满足，则的值为 ．
【变式3-3】（24-25八年级上·江苏扬州·期中）【教材呈现】我们知道，正数a有两个平方根，我们把正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根……，0的平方根也叫做0的算术平方根，即．
【发现结论】由上述材料可知，代数式表示a的算术平方根，a的取值范围是________．
【运用结论】若x、y都是实数，且，求的值．
【拓展提升】若，求的值．
【变式3-4】（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）（1）已知，求代数式的值．
（2）已知实数满足，求的值．
【考点题型四】二次根式的化简（）
【例4】（23-24八年级下·山东临沂·期中）阅读与思考
下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务．
标题：双层二次根式的化简
内容：二次根式的化简是一个难点，稍不留心就会出错，我在上网还发现了一类带双层根号的式子，就是根号内又带根号的式子，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质消掉外面的一层根号．
例如：要化简，可以先思考，所以．通过计算，我还发现设（其中m，n，a，b都为正整数），则有，，_______．
这样，我就找到了一种把部分双层二次根式化简的方法．
任务：
(1)文中的________．
(2)化简：________．
(3)已知，其中a，x，y均为正整数，求a的值．
(4)化简：________．（直接写出答案）
【变式4-1】（23-24八年级下·新疆喀什·期中）实数、、在数轴上的位置如图所示，化简．
【变式4-2】（23-24八年级下·江西南昌·期中）观察下面的式子：，，，
(1)类比上述式子，再写3个同类型的式子；
(2)用字母表示你猜想的规律，并给出证明．
【变式4-3】（23-24八年级下·江西新余·期中）先阅读下列解答过程，然后作答：
形如的化简，只要我们找到两个正数，使，，这样，，那么便有，例如：化简
解：首先把化为，这里，；由于，，即，
。
根据上述例题的方法化简：
(1)；
(2)；
(3)．
【变式4-4】（23-24八年级下·广东东莞·期中）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
(1)试着把化成一个完全平方式．
(2)若a是216的立方根，b是16的平方根，试计算：．
【变式4-5】（23-24八年级下·福建厦门·期中）先阅读下列材料然后作答．
【变式4-6】．（23-24八年级上·甘肃兰州·期中）先阅读材料，然后回答问题．
(1)小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简．经过思考
①，
②，
③，
④，
在上述化简过程中，第 步出现了错误，化简的正确结果为 ；
(2)请根据你从上述材料中得到的启发，化简：
①
②
【考点题型五】二次根式的乘除运算（）
【例5】（23-24八年级下·河北承德·期中）计算 ．
【变式5-1】（23-24八年级下·贵州黔南·期中）下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式5-2】（23-24八年级下·陕西渭南·期末）化简正确的是（ ）
A．B．C．D．
【变式5-3】（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）化简： ．
【变式5-4】（24-25八年级上·安徽宿州·期中）计算：
【变式5-5】（23-24八年级下·山东烟台·期末）幻方是一种中国传统游戏，它是将从一到若干个数的自然数排成纵横各为若干个数的正方形，使在同一行、同一列和同一对角线上的几个数的和都相等．类比幻方，我们给出如图所示的方格，要使方格中横向、纵向及对角线方向上的实数相乘的结果都相等，则数值 ．
【变式5-6】（23-24八年级下·河北张家口·期中）计算：．
【变式5-7】（23-24八年级下·江苏泰州·期中）计算：
(1)；
(2)．
【变式5-8】（23-24八年级下·吉林松原·期中）计算：
【考点题型六】最简二次根式与同类二次根式（）
【例6-1】（23-24八年级下·福建厦门·期中）下列式子中，是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【例6-2】（23-24八年级下·天津西青·期中）下列二次根式中，可与进行合并的二次根式为（ ）
A．B．C．D．
【变式6-1】（23-24八年级下·山东日照·期中）已知是最简二次根式，请你写出一个符合条件的正整数a的值 ．
【变式6-2】（23-24八年级下·吉林四平·期中）若与最简二次根式可以合并，则 ．
【变式6-3】（23-24八年级下·江苏盐城·期中）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么其面积．若某个三角形的三边长分别为2，3，3，其面积S介于哪两个整数之间（ ）
A．1与2B．2与3C．3与4D．4与5
【变式6-4】（23-24八年级下·江苏南通·期中）我们把形如（a，b为有理数，为最简二次根式）的数叫做型无理数，如是型无理数，则是 型无理数．
【变式6-5】（22-23八年级下·陕西商洛·期中）若最简二次根式和可以合并，则的值为 ．
【变式6-6】（23-24八年级下·河南许昌·期中）定义：若两个二次根式a，b满足，且c是有理数，则称a与b是关于c的因子二次根式．
(1)若a与是关于4的因子二次根式，则________________；
(2)若与是关于2的因子二次根式，求m的值．
【考点题型七】二次根式的加减及混合运算（）
【例7】（23-24八年级下·四川泸州·期中）计算：
(1)；
(2)．
【变式7-1】（23-24八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）计算：
(1)；
(2)．
【变式7-2】（23-24八年级下·天津南开·期中）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【考点题型八】分母有理化（）
【例8】（24-25八年级上·广东梅州·期中）①，
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
还可以用以下方法化简：
②．
(1)请用不同的方法化简，参照①式得＝ ；参照②式得＝ ；
(2)化简．
【变式8-1】（23-24八年级下·河北张家口·期中）阅读下列材料，然后回答问题：
在进行类似于二次根式的运算时，通常有如下两种方法将其进一步化简：
方法一：，
方法二：．
(1)请用两种不同的方法化简：；
(2)化简：
【变式8-2】（23-24八年级下·江西赣州·期末）观察下列各式及其验证过程．
；．
验证：；
．
(1)按照上面两个等式及其验证过程的基本思路，猜想：
_______，______；
(2)通过上述探究，猜想______（，且n为整数），并验证你的结论；
(3)计算：
【考点题型九】化简求值（）
【例9-1】（23-24八年级下·甘肃定西·期中）先化简，再求值，其中，．
【例9-2】（23-24八年级下·广东湛江·期中）已知，，求下列各式的值：
(1)；
(2)．
【例9-3】（23-24八年级下·云南昆明·期中）已知
(1)求的值．
(2)若x的小数部分是m， y的小数部分是n，求的值．
【变式9-1】（23-24八年级下·四川成都·期中）已知，则代数式的值是 ．
【变式9-2】（23-24八年级下·广东惠州·期中）已知，，求的值．
【变式9-3】（23-24八年级下·四川泸州·期中）先化简，再求值：，其中．
【变式9-4】（23-24八年级下·甘肃武威·期中）已知 ，，求的值．
【考点题型十】比较二次根式的大小（）
【例10-1】（23-24八年级下·山东烟台·期中）已知，，则x与y的大小关系为（ ）
A．B．C．D．无法比较
【例10-2】（23-24八年级下·安徽合肥·期中）比较大小： ．（填“﹥”“﹤”或“=”）
【例10-3】（23-24八年级下·山西吕梁·期中）阅读下列解题过程，回答问题：
(1)化简：______，______；
(2)利用上面的规律，比较______（填“”或“”或“”）．
【变式10-1】（23-24八年级下·吉林松原·期中）比较大小： ．（填“>”，“