清单02 勾股定理-2024-2025学年八年级数学下学期期中考点大串讲+练习（人教版）

这是一份清单02 勾股定理-2024-2025学年八年级数学下学期期中考点大串讲+练习（人教版），文件包含清单02勾股定理4个考点梳理+7题型解读原卷版docx、清单02勾股定理4个考点梳理+7题型解读解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共84页， 欢迎下载使用。

清单01 互逆命题
在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题.
如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫做它的逆命题.
清单02 互逆定理
如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理.
清单03 勾股定理
1．勾股定理
如图，直角三角形两直角边分别为，，斜边为，那么．
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．



注意：
= 1 \* GB3 ①勾股定理的前提是直角三角形，对于非直角三角形的三边之间则不存在此种关系．
= 2 \* GB3 ②利用勾股定理时，必须分清直角边，斜边．尤其在记忆时，此关系只有当是斜边时才成立．若是斜边，则关系式是；若是斜边，则关系式是．
2．直角三角形斜边上的高
= 1 \* GB3 ①已知两条直角边，通过勾股定理求出斜边．
= 2 \* GB3 ②根据直角三角形的面积不变，即，求出h．


要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.
利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.
（3）理解勾股定理的一些变式：，， .
3.勾股数
满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形.
熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：
3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41……
如果()是勾股数，当为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形
清单04 勾股定理的逆定理
1．勾股定理逆定理
如果三角形的三边长分别为，且，那么这个三角形是直角三角形．



注意：
= 1 \* GB3 ①不能说在直角三角形中，因为还没确定直角三角形，当然也不能说斜边和直角边．
= 2 \* GB3 ②当满足时，是斜边，是直角．
= 3 \* GB3 ③利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角三角形的思路是：先确定最长边，算出最长边的平方及另两边的平方和，如果最长边的平方与另两边的平方和相等，则此三角形为直角三角形．
2.运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．
注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
3.如何判定一个三角形是否是直角三角形
首先确定最大边（如）.
验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形.
要点诠释：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，
其中为三角形的最大边.
【考点题型一】勾股定理的相关计算（）
【例1】（23-24八年级下·贵州铜仁·期中）麻阳河自然保护区是国家一级重点保护区，主要野生动物是黑叶猴．如图，有两只猴子在一棵树上的点 B 处，且，它们都要到A 处吃东西，其中一只猴子甲沿树爬下再走到离树处的A 处（即），另一只猴子乙先爬到顶 D 处后再沿缆绳滑到A处．已知两只猴子所经过的路程相等，求这棵树高有多少米？
【答案】这棵树高有6米
【知识点】用勾股定理构造图形解决问题
【分析】本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，考查了直角三角形的构建，本题中正确的找出的等量关系，并根据求的长是解题的关键．设的长度为，根据，求出，在中，由勾股定理，列出方程求解出，即可解答．
【详解】解：设的长度为，
∵，
∴，
∴；
由题意知，则在中，
有，
∴，
解得：，
，
∴．
答：这棵树高有6米．
【变式1-1】（24-25八年级上·广东梅州·期中）在平面直角坐标系中，点到坐标原点的距离为( )
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】已知两点坐标求两点距离
【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理，求得点到坐标原点的距离为，即可求解．
【详解】解：根据题意，得．
故选：C．
【变式1-2】（23-24八年级下·四川泸州·期中）如图，是2002年8月北京第24届国际数学家大会会标我国古代的数学家赵爽为证明勾股定理所作的“弦图”，它由4个全等的直角三角形拼合而成．如果图中大、小正方形的面积分别为52和4，那么一个直角三角形的两直角边的积等于（ ）
A．12B．C．24D．10
【答案】C
【知识点】通过对完全平方公式变形求值、以弦图为背景的计算题
【分析】本题考查的是勾股定理的应用，完全平方公式的应用，设两直角边分别为x，y，且，由勾股定理可得，结合小正方形的面积可得，再结合完全平方公式可得答案．
【详解】解：设两直角边分别为x，y，且，
根据题意得：，，
∴，
∴，
∴，
即两直角边的积等于24，
故选C．
【变式1-3】（24-25八年级下·全国·期中）有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”如图2所示，若“生长”了2 024次后，形成的图形中所有的正方形的面积和是（ ）
A．2025B．2024C．22023D．
【答案】A
【知识点】图形类规律探索、以直角三角形三边为边长的图形面积
【分析】本题考查了勾股定理，能够根据勾股定理发现每一次得到的新的正方形的面积和与原正方形的面积之间的关系是解答本题的关键．根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可．
【详解】解：如图，由题意得，正方形A的面积为1，
由勾股定理得，正方形B的面积正方形C的面积正方形A的面积，
∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2，
同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3，
∴“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4，
……
∴“生长”了2024次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2025，
故选：A．
【变式1-4】（23-24八年级下·广东广州·期中）如图，数轴上点表示的数是 ．
【答案】
【知识点】实数与数轴、勾股定理与无理数
【分析】本题考查了实数与数轴．先根据勾股定理求出圆弧半径，结合图形即可得到答案．
【详解】解：由勾股定理得，
圆弧半径为，
则点表示的实数为．
故答案为：．
【变式1-5】（23-24八年级下·福建福州·期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．若a，3，4是一组勾股数，则a的值为 ．
【答案】5
【知识点】勾股树（数）问题
【分析】此题主要考查了勾股数，关键是掌握勾股数的定义：若a，b，c是满足的三个正整数，则称a，b，c为勾股数．
【详解】解：当4是直角边时，
∵，
∴，
当4是斜角边时，
（不是整数，舍去），
故答案为：5．
【变式1-6】（23-24八年级下·贵州六盘水·期中）如图，在中，是边上除点外的任意一点，则 ．
【答案】36
【知识点】用勾股定理解三角形、三线合一
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理；作，根据等腰三角形的性质得再根据勾股定理得，然后结合可得答案．
【详解】解：过点A作于点D，如图，
∵，
∴，
∴，
．
故答案为：36．
【变式1-7】（23-24八年级下·河南郑州·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点，若，，则 ．
【答案】73
【知识点】利用勾股定理求两条线段的平方和（差）
【分析】本题考查勾股定理的应用，从题中抽象出勾股定理这一数学模型是解题关键．
在和中，根据勾股定理得，进一步得，再根据，然后根据等量代换即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
在和中，根据勾股定理得：，
∴，
∵，
∴.
故答案为：73．
【变式1-8】（23-24八年级下·重庆·期中）如图，已知为等腰直角三角形，，点E为上一点，且，点D为边上一点，连接，将沿折叠得到，若的延长线恰好经过点B，则 ．
【答案】
【知识点】勾股定理与折叠问题
【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质，折叠的性质以及勾股定理，设，由折叠得，，，由勾股定理求出在中，由勾股定理，求出的值即可．
【详解】解：如图，
∵，
∴，
在中，
∴，
∴，
设，
由折叠得，，，
∴，，
在中，由勾股定理得
∴，
解得，，
∴，
故答案为：．
【变式1-9】（23-24八年级下·四川广安·期中）图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为．线段的端点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上．
(1)在图中以为边画一个等腰直角三角形，使它的三边长均是无理数；
(2)在图中以为边画一个直角三角形，使它的直角边之比为；
(3)在图中以为边画一个钝角三角形，使它的钝角为．
【答案】(1)作图见解析；
(2)作图见解析；
(3)作图见解析．
【知识点】勾股定理与网格问题、等腰三角形的性质和判定、在网格中判断直角三角形
【分析】（）根据网格可知作等腰直角三角形即可；
（）根据勾股定理的逆定理即可画图；
（）根据网格可得；
本题考查了作图，勾股定理定理及逆定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）如图，
由网格可知：，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴即为所求；
（2）如图，
由网格可知：，，，
∴，，
∴是直角三角形，
∴即为所求；
（3）如图，
由网格可知：，
∴即为所求．
【考点题型二】利用勾股定理证明线段平方关系（）
【例2】（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）如图，在中，．
(1)求证：；
(2)当，，时，求的值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)；
【分析】本题考查了勾股定理和平方差公式的相关证明和计算及解二元一次方程组，熟练掌握和运用勾股定理是解决问题的关键．
（1）在和中，分别运用勾股定理可得，，利用边相等，联立两式移项即得证．
（2）根据第一问的结论，可求出的值，利用平方差公式，结合，可求得，而，由此可求得、，由勾股定理即可求出．
【详解】（1）证明： ，
在和中，根据勾股定理得，
，，
，
移项得：．
故．
（2）解： ，，
，
，
，即，
，
，解得，
，
．
【变式2-1】（22-23八年级下·湖南湘西·期中）如图，在中，，，，；斜边上的高．求证：．

【答案】见解析
【分析】根据面积法得到，变形得到，则，再根据勾股定理得出，代入化简即可．
【详解】解：证明：∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．

【点睛】本题考查了三角形的面积，勾股定理，分式的基本性质，解题的关键是利用面积法得出．
【变式2-2】（23-24八年级下·湖北孝感·期中）我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．
(1)你所知道的特殊四边形中，是勾股四边形有__________（一个即可）
(2)如图（1），请你在图中画出以格点为顶点，，为勾股边，且对角线相等的所有勾股四边形．
(3)如图（2），是正三角形，，且．求证：，即四边形ABCD是勾股四边形．
【答案】(1)正方形（答案不唯一）
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）正方形相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，即可求解，
（2）根据勾股定理计算出对角线的长度，得到，再根据情况画出即可；
（3）如图②，连接EC，由可得，，因为，所以，又因为，所以，由勾股定理可得，所以，即四边形ABCD是勾股四边形．
本题考查勾股定理、旋转和全等三角形的性质，解题的关键在于理解勾股四边形的概念，充分利用其特点解题．
【详解】（1）解：正方形相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，
故答案为：正方形，
（2）解：由题意得：
∴，即要使，
∴点都满足条件，如图即为所求，
（3）解：如图②，连接，
∵是正三角形，
∴，，
∵，
∴，即：，
又∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，即四边形是勾股四边形．
【变式2-3】（23-24八年级下·河南郑州·期中）在和中，点在边上，，，．
(1)如图1，当时，连接，写出，，之间的数量关系，并说明理由；
(2)如图2，当时，过点作的垂线并延长，交于点，若，，求线段的长．
【答案】(1)，理由见详解
(2)
【分析】（1）依题意得和均为等腰直角三角形，则，证和全等得，，则，然后在中由勾股定理可得出，，之间的数量关系；
（2）连接，，过断作交的延长线于，依题意得和均为等边三角形，则，同理可证和全等得，，则，进而得，，由此可求出，，设，则，，根据等边三角形性质得是线段的垂直平分线，则，然后在中由勾股定理求出即可得的长．
【详解】（1）解：，，之间的数量关系是：，理由如下：
当时，则，
，，
和均为等腰直角三角形，
，
，
，
即，
在和中，
，
，
，，
，
在中，由勾股定理得：，
即；
（2）解：连接，，过作交的延长线于，如下图所示：
当时，，
，，
和均为等边三角形，
，
同理可证：，
，，
，
，
，
在中，，，
，由勾股定理得：，
设，则，
，，
，
，
为等边三角形，，
是线段的垂直平分线，
，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
．
【点睛】此题主要考查了等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，理解等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，灵活运用勾股定理构造方程是解决问题的关键．
【变式2-4】（22-23八年级下·山东菏泽·期中）我们定义：如果两个等腰三角形顶角相等，且顶角顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，形象的可以看作两双手，所以通常称为“手拉手全等模型”．
(1)例如，如图1，与都是等腰三角形，其中，则________（________）；
(2)类比：如图2，已知与都是等腰三角形，，，且，求证：；
(3)拓展：如图3，，，，试探索线段，，之间满足的等量关系，并证明结论．
【答案】(1)，
(2)见解析
(3)，见解析
【分析】（1）先证，再根据即可证明；
（2）先证，再根据即可证明；
（3）连接，先证，则可得，，进而可得．
本题主要考查了全等三角形的判定和性质，以及勾股定理．熟练掌握以上知识是解题的关键．
【详解】（1）解：∵与都是等腰三角形，
∴，
又∵
∴，即，
在和中，，
∴．
故答案为： ，
（2）证明：∵，
∴，即，
在和中，，
∴，
∴；
（3）解：，理由如下：
连接，如图所示：
∵，，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴．
【变式2-5】（23-24八年级下·湖北孝感·期中）如图1，中，，D，E是直线上两动点，且．探究线段、、三条线段之间的数量关系：小明的思路是：如图2，将沿折叠，得，连接，看能否将三条线段转化到一个三角形中，…请你参照小明的思路，探究并解决下列问题：
(1)猜想、、三条线段之间的数量关系，并证明；
(2)如图3，当动点在线段上，动点运动在线段延长线上时，其它条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明．
【答案】(1)
(2)不变，，证明见详解
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，正确添加辅助线是解题的关键．
（1）通过证明，得到，在中，有，即；
（2）作，且截取，连接，连接，先证明，再证明，则，在 中，，即．
【详解】（1）解：，
∵中，，
∴，
将沿折叠，得，连接
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴在中，有，即．
（2）解：结论不变，
作，且截取，连接，连接，
∵
，
∴，，
又，
，
，
，
，
又，
，
，，
，
，
在 中，，即．
【考点题型三】勾股定理的证明方法（）
【例3】（23-24八年级下·江西赣州·期中）课本再现：（1）如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理，请证明：．
类比迁移（2）现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2，若，，求空白部分的面积．
【答案】（1）见解析（2）13
【分析】本题考查了勾股定理，完全平方公式；
（1）利用以c为边的正方形和4个直角三角形的面积和等于以边为的正方形的面积建立方程，即可得出结论；
（2）由折叠后空白部分的面积为边长为c的正方形的面积−2个直角三角形的面积可得答案．
【详解】（1）证明：如图1，∵大的正方形的面积可以表示为，大的正方形的面积又可以表示为．
∴，
∴；
（2）解：如图2，则空白部分的面积＝边长为c的正方形的面积个直角三角形的面积，
∵，，
∴空白部分的面积.
【变式3-1】（22-23八年级下·山东临沂·期中）下面四幅图中，能证明勾股定理的有（ ）
A．一幅B．两幅C．三幅D．四幅
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理的证明，先表示出图形中各个部分的面积，再判断即可．
【详解】解：如图，
∵，
∴整理得：，即能证明勾股定理，故符合题意；
如图，
∴，
∴不能证明勾股定理，故不符合题意；
如图，

∵，
∴整理得：，即能证明勾股定理，故符合题意；
如图，

∵，
∴整理得：，即能证明勾股定理，故符合题意；
故选C．
【变式3-2】（23-24八年级下·广西南宁·期中）勾股定理是世界上应用最广泛的定理之一，有资料表明关于勾股定理的证明方法已有500余种．下面给出几种证明勾股定理的图形，请你根据图形及提示证明勾股定理（备注：图中所有直角三角形都是以c为斜边，a，b为直角边的全等三角形）
(1)毕达哥拉斯的证法（图1）：（补充完整以下证明过程）
证明：正方形①的面积________．
正方形②的面积________．
又正方形①与正方形②的边长相等
________________
(2)请你写出弦图（图2）的另一种证法：
【答案】(1)；；；
(2)证明见解析
【分析】本题考查了勾股定理的证明，正方形的性质，根据题意找到等量关系是解题的关键．
（1）根据面积列式即可；
（2）根据大正方形的面积4个三角形的面积小正方形的面积列式即可．
【详解】（1）证明：∵正方形①的面积，
正方形②的面积，
又∵正方形①与正方形②的边长相等，
∴，
∴；
（2）证明：由图可知大正方形的面积4个三角形的面积小正方形的面积，
∴
∴
【变式3-3】（23-24八年级下·辽宁葫芦岛·期中）勾股定理是平面几何中一个极为重要的定理，世界上各个文明古国都对勾股定理的发现和研究作出过贡献．特别是定理的证明，据说方法有余种．其中我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出了证明．请你用下面弦图（由四个全等的直角三角形围成的）证明勾股定理：
如果直角三角形的两条直角边长分别为，斜边长为，那么．
【答案】见解析
【分析】本题考查了勾股定理的证明，全等三角形的性质，完全平方公式等知识．熟练掌握勾股定理的证明，完全平方公式是解题的关键．
由弦图可知，，则四边形和四边形是正方形，由，可得，整理得．
【详解】证明：由弦图可知，，
∴四边形和四边形是正方形，
∵，
∴，
，
∴．
【变式3-4】（23-24八年级下·河南平顶山·期中）数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象．数与形也是有联系的，这种联系称为“数形结合”．利用“数形结合”思想可以直观地帮助我们解决一些数学验证或运算．
(1)我国是最早了解勾股定理的国家之一，该定理阐明了直角三角形的三边关系．请你利用如图对勾股定理（即下列命题）进行验证，从中体会“数形结合”的思想：
已知：如图，在和中，，（点B，C，D在一条直线上），，，．
证明：；
(2)请利用“数形结合”思想，画图推算出的结果．
【答案】(1)见解析
(2)画图见解析，
【分析】本题考查了勾股定理的证明及完全平方公式，熟练掌握数形相结合的思想是解题的关键．
（）先证明，得出，然后利用面积法证明即可；
（）利用面积法计算即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
又，
∴，
∴，，
∴梯形的面积，
梯形的面积，
∴，
化简可得：；
；
（2）解：如图所示：
大正方形的面积；
大正方形的面积，
∴．
【变式3-5】（23-24八年级下·河北唐山·期中）我们刚刚学习的勾股定理是一个基本的平面几何定理，也是数学中最重要的定理之一．勾股定理其实有很多种方式证明．下图是1876年美国总统Garfield证明勾股定理所用的图形：
以a、b 为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，把这两个直角三角形拼成如图所示梯形形状，使C、B、D三点在一条直线上．
你能利用该图证明勾股定理吗？写出你的证明过程．
【答案】见解析
【分析】此题考查了勾股定理的证明，此题主要利用了三角形的面积公式：底高，和梯形的面积公式：（上底下底）高证明勾股定理．
用三角形的面积和、梯形的面积来表示这个图形的面积，从而证明勾股定理．
【详解】解：，
．
，
．
．
是一个等腰直角三角形，．
又，
．
，
即．
【变式3-6】（23-24八年级下·广西南宁·期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图1所示“赵爽弦图”（边长为c的大正方形中放四个全等的直角三角形，两直角边长分别为a，b，斜边长为c）．
(1)如图1，请用两种不同方法表示图中阴影部分面积．
方法1：______；
方法2：______；
根据以上信息，可以得到等式：______；
(2)小亮将“弦图”中的4个三角形进行了运动变换，得到图2，请利用图2证明勾股定理；
(3)如图3，将图2的2个三角形进行了运动变换，若，，求阴影部分的面积．
【答案】(1)；；
(2)见解析
(3)27
【分析】本题考查了勾股定理的证明与运用，灵活掌握等面积法在证明勾股定理中的作用是解题的关键．
（1）方法1：求得小正方形的边长为，方法2：大正方形的面积减4个直角三角形的面积，据此计算即可；
（2），列式计算即可证明；
（3）先用勾股定理计算出c，再利用计算面积即可．
【详解】（1）解：方法1：；
方法2：；
∵，即，
故；
根据以上信息，可以得到等式：；
故答案为：；；；
（2）解：∵，
即，
整理得，
故；
（3）解：如图，，
∵，，
∴，
则，
∴，
故阴影部分的面积为27．
【考点题型四】勾股定理的应用（）
【例4】（23-24八年级下·广东东莞·期中）如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点A处偏离欲到达地点B处，结果他在水中实际游的路程比河的宽度多．求该河的宽度的长．
【答案】米
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么．设米，则米，根据勾股定理得出，求出即可得出答案．
【详解】解：根据题意可知：设米，则米，
在中，，，
即，
解得：，
即米，
答．该河的宽度为75米．
【变式4-1】（23-24八年级下·宁夏石嘴山·期中）如图，在高为，斜坡长为的楼梯台阶上铺地毯（ ）
A．7B．8C．9D．5
【答案】A
【分析】此题考查了勾股定理的应用及平移的知识，利用勾股定理求出的长度是解答本题的关键．先求出的长，利用平移的知识可得出地毯的长度．
【详解】解：在中，（米），
故可得地毯长度（米），
故选：A．
【变式4-2】（23-24八年级下·湖北武汉·期中）如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形在水池的正中央有根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面则这根芦苇的长度是（ ）
A．10尺B．11尺C．12尺D．13尺
【答案】D
【分析】本题考查正确运用勾股定理．找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理解答．
【详解】解：设水深为x尺，则芦苇长为尺，
根据勾股定理得：，
解得：，
芦苇的长度（尺），
答：芦苇长尺．
故选：D．
【变式4-3】（23-24八年级下·北京西城·期中）如图，在离水面点A高度为的岸上点处，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为，此人以的速度收绳，后船移动到点的位置，则船向岸边移动了（ ）（假设绳子是直的）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查勾股定理的运用，熟练掌握勾股定理，求出和的长是解题的关键．由勾股定理求出，再由勾股定理求出，即可解决问题．
【详解】解：在中，，，，
，
此人以的速度收绳，后船移动到点的位置，
，
在中，由勾股定理得：，
，
即船向岸边移动了，
故选：A．
【变式4-4】（23-24八年级下·广东汕头·期中）如图，圆柱体的高为，底面周长为，在圆柱下底面A处有一只蚂蚁，想吃到和它相对的侧面B处的食物，已知B处距上底，则蚂蚁沿侧面爬行的最短路径是 ．
【答案】5
【分析】本题考查平面展开﹣最短路径问题，勾股定理的应用；先把圆柱的侧面展开得其侧面展开图，则，所在的长方形的长为圆柱的高，宽为底面圆周长的一半，，蚂蚁经过的最短距离为连接，的线段长，由勾股定理求得的长．
【详解】解：如图，将圆柱的侧面沿过A点的一条母线剪开，

连接，则线段的长就是蚂蚁爬行的最短距离，C、H分别是、的中点，
∵底面周长是，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴蚂蚁沿侧面爬行的最短路径是，
故答案为：5．
【变式4-5】（23-24八年级下·贵州黔西·期末）如图，庭院中有两棵树，小鸟要从一棵高10m的树顶飞到一棵高4m的树顶上，两棵树相距8m，则小鸟至少要飞 米．

【答案】10
【分析】根据勾股定理求出AB的长即可．
本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键．
【详解】解：如图，连接，过点作

∵
∴四边形矩形
∴
∴，
在中，由勾股定理得，
，
则小鸟至少要飞，
故答案为：10．
【变式4-6】（23-24八年级下·河南新乡·期末）如图所示，梯子靠在墙上，梯子的顶端A到墙根O的距离为，梯子的底端B到墙根O的距离为，一不小心梯子顶端A下滑了4米到C，底端B滑动到D，那么的长是 ．
【答案】8
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键；
先利用勾股定理求出，梯子移动过程中长短不变，所以，又由题意可知利用勾股定理求出，进而得出答案．
【详解】解：在直角三角形中，
，，
，
，，
，
在中
，
故答案为：8．
【变式4-7】（22-23八年级下·海南省直辖县级单位·期中）如图，一辆小汽车在一条限速40的街路上沿直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪A的正前方60处的C点，测得小汽车所在的B点与车速检测仪A之间的距离为100．
(1)求B，C间的距离．
(2)这辆小汽车超速了吗？请说明理由．
【答案】(1)B，C间的距离为80
(2)这辆小汽车没有超速
【分析】】此题主要考查了勾股定理的应用；
（1）根据勾股定理求出BC的长；
（2）直接求出小汽车的时速，进而比较得出答案．
【详解】（1）解：在中，
∵，
∴，
答：B，C间的距离为80；
（2）这辆小汽车没有超速．
理由：∵小汽车速度为，
，
∴这辆小汽车没有超速．
【变式4-8】（24-25八年级下·全国·期中）如图，在一次夏令营活动中，小明从营地点出发，沿北偏东方向走了到达点，然后再沿北偏西方向走了到达目的地点，求两点间的距离．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理，平行线的性质，平角的定义等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
根据平行线的性质，平角的定义得到为直角三角形，然后根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：
为直角三角形
，
．
答：两点间的距离是．
【变式4-9】（24-25八年级下·全国·期中）如图，一棵大树在一次强台风中于距离地面10米处折断倒下，树梢落在离树根24 米处，问大树在折断前高多少米？
【答案】大树在折断前高36米
【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，利用勾股定理求出的长，进而求出的结果即可得到答案．
【详解】解：由题意得，米，米，，
∴米，
∴米，
答：大树在折断前高36米．
【变式4-10】（22-23八年级下·湖北咸宁·期中）如图甲，笔直的公路上，两点相距20，，为两村庄，于点，于点，已知，，现在计划在公路的段上建一个土特产品收购站．
(1)若规划，两村到收购站的距离相等，则收购站应建在离点多远处？
(2)若规划，两村到收购站的距离的和最短，请在图乙中通过作图画出收购站的位置，计算得到距离的和最短值为 ．
【答案】(1)
(2)图见解析，25
【分析】本题考查了作图—应用设计作图、勾股定理、轴对称—最短路线问题，熟练掌握勾股定理的应用是解题的关键．
（1）设，则，在与中，由勾股定理结合得出方程，求出的值即可求解；
（2）作点关于的对称点，连接交于点，则点即为所求，长即为距离的和最短值，过点作交的延长线于点，在中由勾股定理求出的长即可．
【详解】（1）解：（1）设，则，
在与中，由勾股定理得，
，，
∵，
∴，
∴，
解得，
即收购站应建在离点处；
（2）如图，作点关于的对称点，连接交于点，则点即为所求，长即为距离的和最短值，
过点作交的延长线于点，
则．
故答案为：25．
【变式4-11】（22-23八年级下·河南漯河·期中）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米的范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，据气象观测，距沿海某城市A的正南方向的B处有一台风中心，该台风中心现在正以的速度沿北偏东方向移动，若在距离台风中心范围内都要受到影响，（结果保留根号）
(1)该城市是否会受到这次台风的影响？说明理由．
(2)若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？
【答案】(1)会受到台风的影响，理由见解析
(2)小时
【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可通过作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转化到直角三角形中，使问题解决．
（1）求是否会受到台风的影响，其实就是求到的距离是否大于台风影响范围的半径，如果大于，则不受影响，反之则受影响．如果过作于就是所求的线段．在直角三角形中，求出再比较即可．
（2）受台风影响时，台风中心移动的距离，应该是为圆心，台风影响范围的半径为半径，所得圆截得的上的线段的长即得长，可通过在直角三角形和中，根据勾股定理求得即可求解．
【详解】（1）解：该城市会受到这次台风的影响．
理由是：如图，过作于．
在直角中，
，
，
，
∴该城市会受到这次台风的影响；
（2）解：如图以为圆心，为半径作交于、．
则．
∴台风影响该市持续的路程为：．
∴台风影响该市的持续时间小时，
∴台风影响该城市的持续时间有小时．
【考点题型五】直角三角形的判断（）
【例5-1】（23-24八年级下·天津西青·期中）的三边长分别为，，，下列条件不能判断是直角三角形的为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、勾股定理的逆定理．解决本题的关键是根据角之间的关系和三角形内角和定理分别求出三角形的三个内角判断三角形是否直角三角形，根据三角形三边的关系利用勾股定理逆定理判断三角形是否直角三角形．
【详解】解：A选项：，
设，则，，
，
解得:，
∴最大角：，
不是直角三角形，
故A选项符合题意；
B选项：，
，
，
，
，
是直角三角形，
故B选项不符合题意；
C选项：，
设，则，，
，
是直角三角形，
故C选项不符合题意；
D选项：，
是直角三角形，
故D选项不符合题意．
故选：A．
【例5-2】（23-24八年级下·广西南宁·期中）在如图所示的平面直角坐标系中，已知点，点，将点向右平移2个单位长度后的对应点为点，点关于轴的对称点为点．
(1)在图中画出点，点，并写出，两点的坐标；
(2)连接，，，判断的形状并说明理由．
【答案】(1)图形见解析，，
(2)图形见解析，为直角三角形，理由见解析
【分析】本题考查了坐标与图形，平移，轴对称，勾股定理以及勾股定理逆定理，根据要求画出图形是解题关键．
（1）根据要求画出A，B点，并写出坐标即可；
（2）根据要求画出图形，利用勾股定理分别算出三条线段的长，再根据勾股定理逆定理解答即可．
【详解】（1）解：如图，点A，B即为所求，
由图可知，点，；
（2）如图，连接，，，
，，，
，
为直角三角形．
【变式5-1】（23-24八年级下·贵州六盘水·期中）已知的三边分别为，且，则的面积为（ ）
A．9B．C．D．无法计算
【答案】B
【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，算术平方根，平方，绝对值的非负性，
根据算术平方根，平方，绝对值的非负性求出a，b，c的值，再根据勾股定理的逆定理判定直角三角形，求出面积即可．
【详解】解：∵，
∴，
解得．
∵，
∴是直角三角形，
∴．
故选：B．
【变式5-2】（23-24八年级下·湖北恩施·期末）如图，在的网格中，每个小正方形边长都为1，的顶点均在格点上．求的度数．
【答案】．
【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，根据勾股定理求得，进而根据勾股定理的逆定理，即可求解．
【详解】解：
∵
∴是直角三角形
∴
【变式5-3】（22-23八年级下·湖北荆州·期中）如图，四边形的四个顶点都在网格上，且每个小正方形的边长都为1．
(1)填空：________，________；
(2)连接，判断的形状，并说明理由．
【答案】(1)，5
(2)是等腰直角三角形，理由见解析
【分析】本题考查勾股定理及其逆定理．
（1）根据网格图，结合勾股定理即可解答．
（2）根据网格图，结合勾股定理求出，，根据勾股定理的逆定理即可解答．
【详解】（1）解：根据勾股定理，得
，
．
故答案为：，5；
（2）解：是等腰直角三角形．理由如下：
根据勾股定理，得
，
，
∵，
∴，，
∴是等腰直角三角形．
【变式5-4】（23-24八年级下·贵州黔东南·期末）如图，每个格子都是边长为的小正方形，，四边形的四个顶点都在格点上．
(1)求四边形的周长；
(2)连接，试判断的形状，并求四边形的面积．
【答案】(1)；
(2)是直角三角形，．
【分析】（）利用网格和勾股定理求出四边形的各边长即可求解；
（）利用勾股定理的逆定理可得是直角三角形，进而由即可求出四边形的面积；
本题考查了勾股定理及其逆定理，正确计算是解题的关键．
【详解】（1）解：，，，，
∴；
（2）解：∵，，，
∴，，
∴，
∴是直角三角形，
∴．
【考点题型六】利用勾股定理的逆定理求解（）
【例6】（22-23八年级下·广东揭阳·期中）如图，在四边形中，，．求四边形的面积．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，掌握这两个定理的内容是关键；连接，由勾股定理求出，再利用勾股定理逆定理判定是直角三角形，四边形的面积的面积的面积，即可求得四边形的面积．
【详解】解：连接，
，
，
，
，
，
是直角三角形，
，
∴四边形的面积的面积的面积
，
∴四边形的面积为.
【变式6-1】（23-24八年级下·河北唐山·期中）如图，，则阴影部分的面积（ ）

A．12B．16C．20D．24
【答案】D
【分析】此题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理，利用勾股定理逆定理判断出为直角三角形是解题的关键．先利用勾股定理求出，再利用勾股定理的逆定理判断出是直角三角形，然后分别求出两个三角形的面积，相减即可求出阴影部分的面积．
【详解】解： ，，
，，
，，
，
为直角三角形，，
，
阴影部分的面积为．
故选：D．
【变式6-2】（23-24八年级下·广西南宁·期中）在中，已知，，，则的面积等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，熟悉掌握此定理是解题的关键．
根据勾股定理的逆定理判定出是直角三角形，再根据面积公式运算即可．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
故选：C．
【变式6-3】（23-24八年级下·内蒙古赤峰·期中）如图，是等边三角形内的一点，且，，，以为边在外作，连接，则的度数为 ．
【答案】/150度
【分析】本题考查全等三角形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理．由等边三角形的性质得，根据全等三角形的性质得，，，，证明是等边三角形，得，证明，得，可得结论．掌握等边三角形的判定和性质及勾股定理的逆定理是解题的关键．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，
∵，，，，
∴，，，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴的度数为．
故答案为：．
【变式6-4】（23-24八年级下·河北廊坊·期中）如图，在中，，，．利用尺规在，上分别截取，，使；分别以为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点．则 度， ．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，角平分线的性质，掌握作角平分线的方法，角平分线的性质，勾股定理及其逆定理的运用是解题的关键．
根据勾股定理的逆定理可求出是直角三角形，求出；过点作，根据角平分线的性质，勾股定理可求出的值．
【详解】解：∵，
∴，
∴是直角三角形，
∴；
根据作图可得是角平分线，如图所示，过点作于点，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得，，
∴；
故答案为：， ．
【变式6-5】（23-24八年级下·四川泸州·期中）如图，中，，长为10，点是上的一点，，．
(1)求证：；
(2)求线段的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】此题主要考查了勾股定理，以及勾股定理逆定理，关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．
（1）根据勾股定理的逆定理即可得到结论；
（2）设，则，得到，根据勾股定理列方程即可得到结论．
【详解】（1）证明：，，，
，
，
；
（2）解：设，则，
，
，
，
，
解得：，
．
【变式6-6】（22-23八年级下·安徽阜阳·期中）如图，是四边形的对角线，．
(1)求的度数．
(2)求四边形的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解题的关键．
（1）连接，在中，利用勾股定理求出的长，，然后利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，最后进行计算即可解答；
（2）根据四边形的面积的面积的面积，进行计算即可解答．
【详解】（1）解：连接，
，，
，，
，
，
，，
，
是直角三角形，
，
，
的度数为；
（2）解：由题意得：四边形的面积的面积的面积
，
四边形的面积为．
【变式6-7】（23-24八年级下·湖北孝感·期中）2024年2月7日，云梦县楚王城公园（南片）开园迎客．开园当天，建设东路年货集市、非遗赶大集、文艺晚会和烟火晚会等丰富多彩的文娱活动精彩呈现，吸引了近万名市民共同感受“云上王城，龙凤呈祥”的美好图景．如图，公园在建设东路上有A、B两个出口，相距250米，在公路北面不远处的C地是烟火晚会烟花燃放处，已知C与A的距离为150米，与B的距离为200米，在烟花燃放过程中，为了安全起见，燃放点C周围半径130米范围内不得进入．
(1)烟花燃放点C距离公路的垂直距离为多少米？
(2)烟花燃放过程中，按照安全要求，A、B之间的公路是否需要暂时封锁？若需要封锁，请说明理由，并求出需要封锁的公路长．
【答案】(1)120米
(2)需要封锁的公路长为100米，理由见解析
【分析】本题考查了勾股定理的应用，等腰三角形的性质及三角形的面积，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键；
（1）过C作，由勾股定理得逆定理得是直角三角形，且，再由三角形面积求的得长即可；
（2）过C作，以点C为圆心，以130米为半径画弧，交于点E、F连接、，根据，判断有危险，再根据勾股定理求出，进而求出即可．
【详解】（1）由题意得米，米，米，
如图，过C作，
，
，
是直角三角形，且，
，
，
解得：（米），
答：烟花燃放点C距离公路的垂直距离为120米；
（2）按照安全要求，之间的公路需要暂时封锁，理由如下：
如图，由（1）可知，，
公路上存在两点E、F到的距离为130米，公路上之间到燃放点C的距离匀小于130米，
按照安全要求，A、B之间的公路段需要暂时封锁，
以点C为圆心，以130米为半径画弧，交于点E、F连接、，
，，
，
在中，，
，
即需要封锁的公路长为100米．
【变式6-8】（23-24八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）阅读下列一段文字，然后回答下列问题．
已知在平面内有两点，其两点间的距离公式为，同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可化简为或
(1)已知，则A、B两点间的距离为________；
(2)已知M、N在平行于y轴的直线上，点M的纵坐标为4，点N的纵坐标为，则M、N两点的距离为________；
(3)已知一个三角形各顶点坐标为，这个三角形的形状是什么？说明理由．
【答案】(1)
(2)5
(3)是等腰直角三角形，理由见解析
【分析】本题考查的是两点间的距离公式，熟记两点间的距离公式是解题的关键．
（1）根据两点间的距离公式计算；
（2）根据平行于坐标轴的两点间距离公式计算；
（3）根据两点间距离公式分别求出，根据勾股定理的逆定理和等腰直角三角形的概念判断即可．
【详解】（1）解： ；
∴A、B两点间的距离为；
（2）解：由题意得；
∴A、B两点间的距离为5；
（3）解：是等腰直角三角形，理由如下：
，
，
，
则，，
∴是等腰直角三角形．
【变式6-9】（23-24八年级下·河北廊坊·期中）如图，网格中每个小正方形的边长都是1，点，，，都在小正方形的顶点上．
(1)求线段和的长；
(2)若，且，，三条线段首尾顺次相接能构成直角三角形，求m的值．
【答案】(1)，
(2)或
【分析】本题考查勾股定理、勾股定理的逆定理，
（1）根据勾股定理，可以求得和的长；
（2）根据勾股定理的逆定理可以求得m的值．
解答本题的关键是灵活运用分类讨论思想并用勾股定理的逆定理进行计算．
【详解】（1）解：由图可得，
，，
故答案为：，；
（2）∵以、、三条线段为边能构成直角三角形，，，，
当为斜边时，，
；
当为斜边时，，
；
故m的值为或
【考点题型七】勾股定理逆定理的实际应用（）
【例7】（23-24八年级下·广东惠州·期中）某港口位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行海里，“海天”号每小时航行海里，它们离开港口两个小时后相距海里，如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
【答案】“海天”号沿北偏西方向航行．
【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理的应用，由题意可得海里， 海里，海里，根据勾股定理逆定理得是直角三角形，从而有，又“远航”号沿东北方向航行，则，最后由角度和差即可求解，掌握勾股定理的逆定理是解题关键．
【详解】解：由题意可得海里， 海里，海里，
则，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∵“远航”号沿东北方向航行，
∴，
∴，
∴“海天”号沿北偏西方向航行．
【变式7-1】（22-23八年级下·湖北黄冈·期中）如图，电工黄师傅为了确定新栽的电线杆与地面是否垂直，他从电线杆上离地面处向地面拉一条长的缆绳，当黄师傅量得这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部距离为 时，这根电线杆便与地面垂直了．
【答案】6
【分析】此题主要考查了勾股定理的逆定理的应用，根据勾股定理的逆定理即可得到结论，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题关键．
【详解】解：标记点如下图：
要使得这根电线杆便与地面垂直，即，
则只需保证，
由题意可知：
∴，
∴当黄师傅量得这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部距离为时，这根电线杆便与地面垂直了．
故答案为：6．
【变式7-2】（22-23八年级下·广西桂林·期中）海面上有两个疑似漂浮目标．舰艇以海里/时的速度离开港口，向北偏西方向航行；同时，舰艇在同地以海里/时的速度向北偏东一定角度的航向行驶，如图所示，离开港口小时后两船相距海里，则舰艇的航行方向是 ．
【答案】北偏东
【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理的应用和方位角的知识，根据题意判断出是直角三角形是解决问题的关键．根据勾股定理的逆定理判断是直角三角形，求出的度数即可．
【详解】解：如图，
由题意得，（海里），（海里）
又∵海里，
∵，即，
∴，
∵，
∴，
则另一艘舰艇的航行方向是北偏东，
故答案为：北偏东．
【变式7-3】（22-23八年级下·重庆长寿·期中）2020年是第六届全国文明城市创建周期的第三年，是“强基固本、全力冲刺”的关键之年．“创城”，既能深入改变一座城市的现代化进程，也能深刻影响生活在此间的人们．某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角清理出了一块可以绿化的四边形空地．如图，已知，，，，技术人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间距离为15m，便快速确定了．
(1)请写出技术人员测量的是哪两点之间的距离，并说明他确定的理由；
(2)若平均每平方米空地的绿化费用为100元，试计算绿化这片空地共需花费多少元？
【答案】(1)测量的是A，C两点之间的距离，理由见解析；
(2)元．
【分析】本题考查了勾股定理逆定理的实际应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）直接运用勾股逆定理进行列式计算，即可作答．
（2）直接运用勾股逆定理进行列式计算，得证，再计算，，最后相加，即可作答．
【详解】（1）连接，
技术人员测量的是A，C两点之间的距离，
理由测量的是A，C两点之间的距离，
理由如下：∵，
∴
∴；
（2）∵，
∴
∴
∴，
，
∴
∴绿化这片空地共需花费元．
【变式7-4】（23-24八年级下·辽宁抚顺·期末）某工程的测量人员在规划一块如图所示的三角形地时，由于在上有一处古建筑，使得的长不能直接测出，于是工作人员在上取一点，测得米，米后，又测得米，米，请你根据测量数据，求出的长度．
【答案】米
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，熟记勾股定理的逆定理，勾股定理是解题的关键．
根据勾股定理的逆定理推出，再根据勾股定理求出的长，即可求解．
【详解】解：米，米，米，
，
，
，
（米），
（米）．
【变式7-5】（23-24八年级下·云南昆明·期中）如图，笔直的河流一侧有一个旅游景点C，河边有两个游船码头A、B，其中，由于某种原因由C到A的路不通，为方便游客，决定在河边新建一个游船码头D，并修建一条路，测得，，．求原来的路线的长．
【答案】
【分析】本题主要考查勾股定理、勾股定理逆定理等知识点，掌握勾股定理的逆定理和定理是解决本题的关键．
先根据勾股定理的逆定理说明是直角三角形且，设，则，最后在运用勾股定理即可解答．
【详解】解：∵在中，，
∴，
∴是直角三角形且；
设，则，
在中，由已知得，，
由勾股定理得：，
∴，解得．
即：原来的路线的长为．
【变式7-6】（23-24八年级下·四川泸州·期中）某单位计划对一块四边形空地进行绿化，如图，在四边形中，，米，米，米，米，若每平方米绿化的费用为90元，请预计绿化的费用．
【答案】元
【分析】本题考查勾股定理和勾股定理的逆定理，解题的关键是证明．先求出米，再证明，则四边形的空地转化为两个三角形，即可求解．
【详解】解：连接，
∵，米，米，
∴米
∵米，米，
∴，
∴，
∴（米）
所以需费用（元）．