专题01 二次根式-2024-2025学年八年级数学下学期期中考点大串讲+练习（人教版）

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题型一：利用二次根式的性质化简（易错）
1．（24-25八年级上·重庆万州·期中）计算：的值为（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25八年级上·上海·期中）阅读材料：一般地，我们把被开方数中含有二次根式的二次根式称为复合二次根式，例如：等都是复合二次根式．其中有一些特殊的复合二次根式可以进行化简，例如：
．
请利用上述运算法则化简： ．
3．（23-24八年级下·北京·期中）我们规定用表示一对数对．给出如下定义：记，，其中（，），将与称为数对的一对“对称数对”．若数对的一个“对称数对”是，则的值是 ．
4．（24-25八年级上·贵州贵阳·期中）贵阳市第十九中学数学社团的同学，在社团活动中遇到了化简二次根式的难题．
【问题解决】
（1）小慧同学的解决思路是将转化为的形式，根据．因为，，所以______，______，则可得到化简；
【问题探究】（2）请仿照小慧的解题思路，化简二次根式；
【问题迁移】（3）若，解方程．
5．（24-25八年级上·贵州黔东南·期中）我们已经学过完全平方公式，知道所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如，那么，我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题：
例：求的算术平方根．
解：，
所以的算术平方根是．
你看明白了吗?请根据上面的方法化简：
(1)；
(2)．
6．（24-25八年级上·北京延庆·期中）阅读材料：
小明在学习了二次根式后，发现一些含有根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，这样就可以将进行化简，
即：．
善于思考的小明进行了以下探索：
对于，若能找到两个数和，使且，则可变形为，即，从而使得．（其中均为正数）
例如：∵，
．
请你参考小明的方法探索并解决下列问题：
(1)化简：；
(2)化简：；
(3)若，其中，都是整数，直接写出的值．
7．（23-24八年级下·贵州遵义·期中）【阅读材料】小聪在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：
；
．
【类比归纳】
（1）请你仿照小聪的方法将化成另一个式子的平方；
（2）请你运用小聪的方法化简；
【类比归纳】
（3）若，且均为正整数，，求的值．
8．（23-24八年级下·辽宁葫芦岛·期中）阅读材料：
海伦公式出现在古希腊的几何学家海伦（，约公元50年）的《测地术》一书中，海伦用文字在《经纬仪》和《度量》两本书中都叙述了这一公式的证明．虽然现已公认此公式是阿基米德（，约公元前287—前212）发现的，但习惯成自然，我们仍称之为海伦秦九韶公式：
如果一个三角形的三边长分别为，记，那么三角形的面积为
．
下面我们对海伦公式进行证明．
分析：从三角形最基本的计算公式入手，运用勾股定理推导出海伦公式．
证明：如图，设，，，，，，，．
根据勾股定理，得
解方程组得
， ①
②
于是
(1)阅读材料中的解方程组得①______．
(2)[理解证明]利用问题（1）中公式与模仿阅读材料从②开始再次证明海伦秦九韶公式．
(3)[尝试应用]如图，在中，，，，请你用海伦秦九韶公式求的面积．
9．（23-24八年级下·广西河池·期中）【阅读与思考】
在解决数学问题时，我们一般先仔细阅读题干，找出有用信息作为已知条件，然后利用这些信息解决问题，但是有的题目信息比较明显，我们把这样的信息称为显性条件；而有的信息不太明显，需要结合图形，特殊式子成立的条件，实际问题等发现隐含信息作为条件，我们把这样的条件称为隐含条件；所以我们在做题时，要注意发现题目中的隐含条件．
阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题，
(1)按照下面的解法，试化简：．
(2)实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简；

10．（23-24八年级下·湖南湘西·期中）阅读材料：
小明的数学兴趣小组在深度学习过程中，对“完全平方数（式）”有了更深刻的全面了解．他们先回顾“有理数”，知道1，4，，0．25，…，等这样的数，可以写成，，，，…他们称它们为完全平方数；然后回顾“整式的乘法与因式分解”这个章节，掌握了，等这样的整式，可以写成，，，…，他们称它们为完全平方式，他们发现这些数式的变形有时能给问题解决提供方便．现在，小明团队学习了“二次根式”后，能熟练把任意一个非负数改写成一个非负数的平方形式，如，，，，…，等，小明他们类比称这些非负数（式）为二次根式中的完全平方数（式）．
下面，请跟随他们探究、解答下列问题：
(1)请分解因式：________________．
(2)．
反之，，．
(3)仿上例，化简：．
(4)继续进行以下探索：
设（其中a、b、m、n均为整数），则有：
．
∴，．
这样就找到了一种把类似的式子化为完全平方式的方法．
方法迁移：当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得：__________，__________；
利用上述探索的结论，找一组正整数a、b、m、n，
使得：________，________，_________，_________；
(5)若，且a、m、n均为正整数，求a的值．
11．（23-24八年级下·山东潍坊·期中）下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务．
任务：
(1)文中的“根据1”是________，_______；
(2)根据上面的思路，化简：；
(3)已知，其中a，x均为正整数，求a和x的值．
12．（23-24八年级下·重庆南川·期中）阅读下列材料并解决问题．
当时，比如，则，此时a的绝对值是它本身；
当时，，此时a的绝对值是零；
当时，比如，则，此时a的绝对值是它的相反数．由此可知：一个数的绝对值要分三种情况讨论，即：
，
在此分析的过程中，主要渗透了数学分类讨论思想．
问题解决：
(1)请仿照上述分类讨论的方法，分析二次根式的各种可能；
(2)猜想：与的大小关系；
(3)当x满足什么条件时，．
13．（23-24八年级下·广西梧州·期中）阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题：
化简：
解：隐含条件，解得：
∴，
∴原式
【启发应用】
（1）按照上面的解法，隐含的条件是：x______．
（2）按照上面的解法，试化简．
【类比迁移】
（3）已知a，b，c为的三边长．
化简：．
14．（23-24八年级下·重庆铜梁·期中）爱动脑筋的南南在做二次根式的化简时，发现一些二次根式的被开方数是二次三项式，而且这些二次三项式正好是完全平方式的结构，于是就可以利用二次根式的性质：来进一步化简．比如：，∴当，即时，原式＝；当，即时，原式＝．通过进一步思考，南南发现，像这样的二次根式，可以通过变形成这样的形式后，通过构造成完全平方式的结构即可化简为，就可以进行后续计算．
(1)仿照上面的例子，请你尝试化简．
(2)化简：=__________；=__________．
(3)解方程：．
15．（23-24八年级下·湖北荆门·期中）阅读材料：
我国南宋数学家秦九韶（约1202—1261）在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积，用现代式子表示即为：S=．①（其中为三角形的面积，a、b、c为三角形的三边长）．而古希腊的几何学家海伦（Hern，约公元50年），在《度量》中也有求三角形面积的“海伦公式”：②（其中S为三角形的面积，a、b、c为三角形的三边长，为半周长，即）．
我国宋代数学家秦九韶提出的“三斜求积术”与这个公式基本一致，所以这个公式也叫“海伦—秦九韶公式”．
解答问题：
(1)若在中，已知，试分别运用公式①和公式②计算的面积；
(2)请你写出由公式①推导出公式②的过程；
(3)计算（1）中的BC边上的高．
16．（23-24八年级下·北京·期中）（1）观察，计算，判断：（只填写符号：，，
①当，时，__________；
②当，时，__________；
③当，时，__________；
…
（2）根据第（1）问，当，时，判断与的数量关系并证明，（提示：）
17．（23-24八年级下·广西玉林·期中）（1）已知，为实数，且，求，的值．
（2）已知实数满足，求的值．
18．（23-24八年级下·山东济宁·期中）定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为，可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式”来解决．例如：，求的值，可以这样解答：
因为，所以．
(1)代数式中x的取值范围是______；
(2)已知：，求：
①_____；
②结合已知条件和第①问的结果，解方程：．
19．（23-24八年级下·山东淄博·期中）先化简，再求值：，其中．如图是小亮和小芳的解答过程．
(1)______的解答过程是错误的（填“小亮”或“小芳”）；
(2)错误的解答过程原因在于未能正确地运用二次根式的性质：______（请用符号语言表达）；
(3)先化简，再求值：，其中．
题型二：二次根式的计算与最值（易错）
20．（23-24八年级下·重庆长寿·期中）阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当，时，∵，∴，当且仅当时取等号，例如：当时，求的最小值．解∵，∴，又∵，∴，即时取等号．∴的最小值为4．请利用上述结论解决以下问题：
(1)当时，当且仅当______时，有最小值______．
(2)已知，当m取何值时，有最小值？最小值为多少？
21．（23-24八年级下·河北·期中）数学活动课上，同学们根据学习“二次根式”及“乘法公式”积累的经验，通过“由特殊到一般”的方法，探究“当，时，与的大小关系”．
下面是探究过程．
①具体运算，发现规律：
当，时，
特例1：若，则；
特例2：若，则；
特例3：若，则；
②观察、归纳，得出猜想：
当，时，．
③证明猜想：
当，时，
，
，
当且仅当时，．
请你利用发现的规律，解答以下问题．
(1)当时，的最小值为 ．
(2)当时，的最小值为 ．
(3)当时，的最大值为 ．
22．（23-24八年级上·福建福州·期末）阅读理解：由 得，；如果两个正数 ，，即，，则有下面的不等式：，当且仅当 时，取到等号．
例如：已知，求式子 的最小值．
解：令 ，，则由 ，得 ，
当且仅当 时，即正数 时，式子有最小值，最小值为4．
请根据上面材料回答下列问题：
(1)当，式子 的最小值为 ；
(2)如图1，用篱笆围一个面积为50平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米，篱笆周长指不靠墙的三边），这个长方形的长、宽各为多少米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少米？

(3)如图2，四边形 的对角线 相交于点 ，的面积分别是6和12，求四边形 面积的最小值．

题型三：二次根式与规律探究（难点）
23．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）设，则S最接近的数是（ ）
A．2008B．2009C．2010D．2011
24．（23-24八年级上·广东深圳·期中）观察下列二次根式的化简
，
，
，则（ ）．
A．B．C．D．
25．（23-24八年级下·河南驻马店·期中）如图，它是一个按某种规律排列的数阵：
根据数阵排列的规律，第（是整数，且）行从左向右数第个数是（用含的代数式表示） ．
26．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）综合与实践
【思考尝试】
先观察下列等式，再回答下列问题：
①；
②；
③．
（1）请你根据上面三个等式提供的信息，猜想的结果，并验证；
【实践探究】
（2）请你按照上面各等式反映的规律，试写出用含n的式子表示的等式（n为正整数）；
【拓展延伸】
（3）根据上述规律，我们给出一些数，，，．请计算．
27．（24-25八年级上·河南郑州·期中）二次根式中有一个有趣的“穿墙”现象：
(1)具体运算，发现规律，
①；
②；
③；
④_________；
(2)观察、归纳，得出猜想（提醒：注意带分数的表达规范）如果为正整数，用含的式子表示上述的运算规律；
(3)证明你的猜想．
28．（23-24八年级下·广东惠州·期中）观察下列等式：
第个等式：；
第个等式：；
第个等式： ……
(1)按照你所发现的规律，请你写出第个等式： ；
(2)计算： ；
(3)利用这一规律计算：．
29．（23-24八年级下·山东泰安·期中）探究下面二次根式的运算规律，根据要求进行解答．
特例1：；特例2：；特例3：；……．
(1)写出一个符合上述运算特征的等式；
(2)如果n为正整数，用含n的式子表示这个运算规律，并写出推导过程．
30．（23-24八年级下·甘肃定西·期中）【阅读材料】小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如
，
．
善于思考的小明进行了探索，找到了一种把类似的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
【问题解决】
(1)按照上述两个根式化简过程的基本思想，填空______
(2)按照上述两个根式化简过程的基本思想，将化简
(3)针对上述各式反映的规律，写出中m、n与a、b之间的关系．
31．（23-24八年级下·河北廊坊·期中）一列二次根式：①；②；③是按一定规律排列的．
(1)请直接写出这三个二次根式的整数部分；
(2)用已学过的数学知识，求第个符合规律的二次根式的整数部分；
(3)写出第个符合规律的二次根式，猜想它的整数部分，并说明理由．
32．（24-25八年级上·山西晋城·期中）阅读与思考
请阅读下列材料，并完成相应的任务．
在学习完实数的相关运算之后，数学兴趣小组的同学们提出了一个有趣的问题：两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积存在什么样的关系？
小南用自己的方法进行了探究：，而，即．
任务：
(1)结合材料，猜想：当时，请直接写出和之间的关系．
(2)运用以上结论，计算：①，②
(3)运用上述规律，解决实际问题：已知一个长方形的长为，宽为，求长方形的面积．
33．（23-24八年级下·湖南长沙·期中）先来看一个有趣的现象：，这里根号里的因数2经过适当的演变，2竟“跑”到了根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”，具有这一性质的数还有许多，如：，等等．
(1)①请你写一个有“穿墙”现象的数；
②按此规律，若（a，b为正整数），则的值为______；
(2)你能只用一个正整数n（）来表示含有上述规律的等式吗？证明你找到的规律．
34．（22-23八年级下·北京西城·期中）同学们，在二次根式一章中有一个有趣的现象：，根号里的因数2经过适当的演变，竟“跑”到了根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”.具有这一性质的数还有许多，如、等等．
(1)猜想：______；
(2)请再写出1个具有“穿墙”性质的数______；
(3)请用只含有一个正整数的等式表示上述规律：______．
35．（24-25八年级上·山东济南·期中）观察下列等式：
第一个等式：
第二个等式：
第三个等式：
按上述规律，回答以下问题：
(1)按上面规律填空：_________________；
(2)利用以上规律计算：；
(3)求的值．
题型四：分母有理化（重点）
36．（23-24八年级下·山东济南·期中）对于，同学们都会化简，如果分母是的形式，该怎么办呢？我们可以利用平方差公式，将分子、分母同乘以，从而化去分母中的根号，如．
根据以上介绍，请你解答下面的问题：
(1)直接写出化简结果①______，②______；
(2)化简：．
37．（24-25八年级上·宁夏中卫·期中）阅读材料：像这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．
如：，
请你解决如下问题：
(1)的有理化因式是____________，____________．
(2)化简．
(3)数学课上，老师出了一道题“已知，求的值．”
聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答：
因为 所以．
所以，所以，所以，所以，所以
利用上述方法：若，求的值．
38．（24-25八年级上·宁夏银川·期中）先阅读，后解答：
，；
像上述解题过程中，与、与相乘，积不含有二次根式，我们可将这两个式子称为互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化．
(1)的有理化因式是______；的有理化因式是______；
(2)将下列式子进行分母有理化：①______；②______；
(3)类比（2）中②的计算结果，计算：
39．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）先阅读理解，再解答问题．
因为，所以；
因为，
所以；
因为，所以．
依次类推．
(1)你会发现什么规律？用字母n（正整数）来表示．
(2)请用你发现的规律计算式子的值．
40．（24-25八年级上·河南郑州·期中）阅读下列材料，然后解答问题：在进行代数式化简时，我们有时会碰上如，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
（1）
（2）
这种化简的方法叫分母有理化．
(1)参照（1）式化简______；
(2)参照（2）式化简______；
(3)化简：．
41．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）阅读材料：像，这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．例如：
请你根据上述材料，解决如下问题：
(1)的有理化因式是______，______；
(2)比较大小：______（填>，