湖北省武汉市育才高级中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试卷（原卷版+解析版）

这是一份湖北省武汉市育才高级中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试卷（原卷版+解析版），共17页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
命题教师：何幼林 审题教师：范晶
考试时间：2025年3月21日 试卷满分：150分
一、单项选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1. 下列等式中，不正确是（ ）
A. B.
C. D.
2. 设等差数列数列的前项和为，若，则（ ）
A. 30B. 28C. 26D. 24
3 等比数列中，则（ ）
A. B. C. D.
4. 函数有（ ）
A. 极大值为5，无极小值B. 极小值为，无极大值
C. 极大值为5，极小值为D. 极大值为5，极小值为
5. 函数的最大值为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知函数在处取得极小值1，则（ ）
A. B.
C. D.
7. 若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数及其导函数定义域均为，且，，则关于的不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题（共3小题，满分18分，每小题6分）
9. 有4名同学报名参加三个不同的社团，则下列说法中正确的是（ ）．
A. 每名同学限报其中一个社团，则不同的报名方法共有种
B. 每名同学限报其中一个社团，则不同的报名方法共有种
C. 每个社团限报一个人，则不同的报名方法共有24种
D. 每个社团限报一个人，则不同的报名方法共有种
10. 已知等差数列的前项和为，公差为，，若，则下列命题正确的是（ ）
A. 数列是递增数列
B. 和是中的最小项
C. 是数列中的最小项
D. 满足的的最大值为25
11. 设函数，则（ ）
A. 有极大值，且有最大值
B. 有极小值，但无最小值
C. 若方程恰有一个实根，则
D. 若方程恰有三个实根，则
三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分）
12. 有两排座位，前排10个座位，后排10个座位，现安排2人就座，规定前排中间的两个座位不能坐，并且这两人不左右相邻，那么不同的坐法的种数是___________
13. 某学校高二（1）班上午安排语文、数学、英语、体育、物理门课，要求第一节不安排体育，语文和数学必须相邻，则不同排课方法共有____种．
14. 将数据，，，…排成如图三角形数阵，（第一行一个，第二行两个，⋯，最下面一行有个，）则数阵中所有数据的和为________.

四、解答题（共5小题，满分77分）
15. 已知函数.
（1）求解析式；
（2）判断在上的单调性.
16. 已知函数的图象在点处的切线与直线垂直.
（1）求的值;
（2）已知在区间上的最小值为，求在区间上的最大值.
17. 设数列的前n项和为，满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求数列的前n项和.
18. 名男生和名女生站成一排．
（1）甲不在中间也不在两端的站法有多少种？
（2）甲、乙两人必须站在两端的站法有多少种？
（3）男、女分别排在一起的站法有多少种？
（4）男、女相间的站法有多少种？
（5）甲、乙、丙三人从左到右顺序一定的站法有多少种？
19. 已知函数，.
（1）讨论的单调性并求极值.
（2）设函数（为的导函数），若函数在内有两个不同的零点，求实数的取值范围.
2024-2025学年度武汉市育才高中3月月考
高二数学试卷
命题教师：何幼林 审题教师：范晶
考试时间：2025年3月21日 试卷满分：150分
一、单项选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1. 下列等式中，不正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用组合数和排列数公式分别计算可判定ABC，利用组合数的性质，组合数与排列数的关系可判定D.
【详解】故A正确；
,故B错误；
,故C正确；
,故D正确.
故选：B.
2. 设等差数列数列的前项和为，若，则（ ）
A. 30B. 28C. 26D. 24
【答案】C
【解析】
【分析】根据等差数列的下标和性质，结合前项和公式，即可直接求得结果.
【详解】根据等差数列的下标和性质，由可得：，故；
则.
故选：C
3. 等比数列中，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，求出等比数列的公比，进而求出首项即可得解.
【详解】依题意，等比数列的公比，则，解得，
因此，所以.
故选：B
4. 函数有（ ）
A. 极大值为5，无极小值B. 极小值为，无极大值
C. 极大值为5，极小值为D. 极大值为5，极小值为
【答案】A
【解析】
【分析】利用导数可求出结果.
【详解】,
由，得，由，得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以在时，取得极大值，无极小值.
故选：A
5. 函数的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出函数的导数，结合导数判断函数的单调性，即可求出函数的最大值.
【详解】解：函数的定义域为，则令，解得，
当时，，则函数单调递增；当时，，则函数单调递减，
则当时，函数有最大值，为，
故选:D.
6. 已知函数在处取得极小值1，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据极值定义进行求解即可.
【详解】由，
因为在处取得极小值1，
所以有，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
所以是函数的极小值点，故满足题意，
于是有.
故选：C
7. 若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数的区间单调性，应用导数可得在上恒成立，构造并研究单调性即可求的取值范围.
【详解】由，得，
由在上单调递减，得在上恒成立，即在上恒成立.
令，在上，
∴在上单调递减，即，
∴，故的取值范围.
故选：.
8. 已知函数及其导函数定义域均为，且，，则关于的不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设，求导确定函数的单调性，再由已知得，则不等式可转化为，即可得解集.
【详解】设，则，所以在上单调递减，
又，原不等式可化为，即，
所以，即不等式的解集为.
故选：B.
二、多项选择题（共3小题，满分18分，每小题6分）
9. 有4名同学报名参加三个不同的社团，则下列说法中正确的是（ ）．
A. 每名同学限报其中一个社团，则不同的报名方法共有种
B. 每名同学限报其中一个社团，则不同的报名方法共有种
C. 每个社团限报一个人，则不同的报名方法共有24种
D. 每个社团限报一个人，则不同的报名方法共有种
【答案】AC
【解析】
分析】利用分步乘法计数原理可得答案.
【详解】对于AB选项，第1个同学有3种报法，第2个同学有3种报法，
后面的2个同学也有3种报法，根据分步计数原理共有种结果，A正确，B错误；
对于CD选项，每个社团限报一个人，则第1个社团有4种选择，
第2个社团有3种选择，第3个社团有2种选择，
根据分步计数原理共有种结果，C正确，D错误．
故选：AC.
10. 已知等差数列的前项和为，公差为，，若，则下列命题正确的是（ ）
A. 数列是递增数列
B. 和是中的最小项
C. 是数列中的最小项
D. 满足的的最大值为25
【答案】AB
【解析】
【分析】根据等差数列下标和性质可计算出，结合可判断ABC，写出的表达式可判断D.
【详解】对于选项A：因为即，所以，即，
所以，所以，数列是递增数列，所以选项A正确；
对于选项B：因为，，所以当或时，取最小值，所以选项B正确；
对于选项C：因为数列是递增数列，所以最小项是首项，所以选项C错误；
对于选项D：由不等式，可得，又因为，
所以满足的的最大值为24，所以选项D错误．
故选：AB
11. 设函数，则（ ）
A. 有极大值，且有最大值
B. 有极小值，但无最小值
C. 若方程恰有一个实根，则
D. 若方程恰有三个实根，则
【答案】D
【解析】
【分析】
先求出导函数，由导数的正负确定单调性，极值，确定函数值的变化趋势可确定最值，及方程的根的情形．
【详解】由题意，
∴当或时，，当时，，
在和上递增，在上递减．
极大值＝，极小值＝，
或时，，时，，时，，
∴也是最小值．无最大值．
作出的图象，和直线，如图，
当或时，有一个根，当时，有三个根．
故选：D．
【点睛】本题考查用导数研究函数的极值和最值，研究方程根的个数问题，掌握极值与最值的定义是解题基础．方程根的个数常常转化为函数图象交点个数，由数形结合思想易求解．
三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分）
12. 有两排座位，前排10个座位，后排10个座位，现安排2人就座，规定前排中间的两个座位不能坐，并且这两人不左右相邻，那么不同的坐法的种数是___________
【答案】276
【解析】
分析】分情况讨论，结合分类计数原理可得答案.
【详解】分为下列三类情况：
第一类：两人分别坐前后两排，共有种；
第二类：两人都坐后排，共有种；
第三类：两人都坐前排，共有三种情况，分坐左右4个座位有32种；都坐左边4个座位有6种；都坐右边4个座位也有6种；共有种；
由分类加法计数原理可得，共有种.
故答案为：276
13. 某学校高二（1）班上午安排语文、数学、英语、体育、物理门课，要求第一节不安排体育，语文和数学必须相邻，则不同的排课方法共有____种．
【答案】
【解析】
【分析】先考虑第一节安排体育课，语文和数学必须相邻的排法种数，接下来考虑语文和数学必须相邻的情形，求出两种情况下不同的排课方法种数，结合间接法可得结果.
【详解】先考虑第一节安排体育课，语文和数学必须相邻，则将数学与语文捆绑，形成一个大元素，共有种排法；
接下来只考虑语文和数学必须相邻的情形，只需将数学与语文捆绑，形成一个大元素，共有种排法.
由间接法可知，不同的排法种数为种.
故答案为：.
14. 将数据，，，…排成如图的三角形数阵，（第一行一个，第二行两个，⋯，最下面一行有个，）则数阵中所有数据的和为________.

【答案】
【解析】
【分析】写出数阵中所有数据的和，利用错位相减法求解即可.
【详解】由题意，设数阵中所有数据的和为，
则①，
②，
由①-②得：
，
所以.
故答案为：
【点睛】方法点睛：解决此类探究性问题，关键在观察、分析已知数据、寻找它们之间的相互联系，利用常见数列的通项公式和求和知识求解.
四、解答题（共5小题，满分77分）
15. 已知函数.
（1）求的解析式；
（2）判断在上的单调性.
【答案】（1）
（2）在上的单调递减.
【解析】
【分析】（1）先对求导，再将代入到函数可求出，进而求出的解析式；
（2）先对求导，当时，，，所以恒成立，即可得出答案.
【小问1详解】
因为，所以，
则，所以，
所以.
【小问2详解】
，
当时，，，
所以恒成立，
所以在上的单调递减.
16. 已知函数的图象在点处的切线与直线垂直.
（1）求值;
（2）已知在区间上的最小值为，求在区间上的最大值.
【答案】（1）
（2）1.
【解析】
【分析】（1）根据导数的几何意义求解；
（2）利用导数判断的单调性，结合的最小值为，求出，并求出最大值.
【小问1详解】
由已知，得，
由题知，解得.
【小问2详解】
由（1）可知，，，
的变化情况如表所示：
，，，
即在区间上的最大值为1.
17. 设数列的前n项和为，满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求数列的前n项和.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据与的关系即可求出数列的通项公式
（2），利用裂项相消法即可求出数列的和.
【小问1详解】
当时，，解得，
当时，，，
即，即，
所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，所以.
【小问2详解】
由（1）知，
，
所以
.
18. 名男生和名女生站成一排．
（1）甲不在中间也不在两端的站法有多少种？
（2）甲、乙两人必须站在两端的站法有多少种？
（3）男、女分别排在一起的站法有多少种？
（4）男、女相间的站法有多少种？
（5）甲、乙、丙三人从左到右顺序一定的站法有多少种？
【答案】（1）种
（2）种
（3）种
（4）种
（5）种
【解析】
【分析】（1）按有特殊位置元素的排列方法求解；
（2）按有特殊位置元素的排列方法求解；
（3）按捆绑法排列即可；
（4）按插空法排列即可；
（5）按部分均匀的排列方法求解即可.
【小问1详解】
先排甲有种，其余有种，
共有种排法.
【小问2详解】
先排甲、乙，再排其余人，
共有种排法.
【小问3详解】
把男生和女生分别看成一个元素，
男生和女生内部还有一个全排列，共种.
【小问4详解】
先排名男生有种方法，
再将名女生插在男生形成的个空上有种方法，
故共有种排法.
【小问5详解】
人共有种排法，
其中甲、乙、丙三人有种排法，
因而在种排法中每种对应一种符合条件的排法，
故共有种排法．
19 已知函数，.
（1）讨论的单调性并求极值.
（2）设函数（为的导函数），若函数在内有两个不同的零点，求实数的取值范围.
【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增，的极小值为，无极大值；
（2）.
【解析】
【分析】（1）求出，然后可得单调性和极值；
（2），然后求出当时的单调性，要使函数在内有两个不同的零点，则有，解出，然后证明即可.
【小问1详解】
因为在上单调递增，
所以当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以的极小值为，无极大值.
【小问2详解】
因为，
所以，
当时，，
所以当或时，在上单调，至多只有一个零点，不满足题意，
当时，由可得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以要使函数在内有两个不同的零点，则有，
由可得，下面证明当时，
令，则，
所以当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以，
所以当时，
综上：实数的取值范围为.
1
2
+
0
-
0
+
极大值
极小值