湖北省武汉市育才高级中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题（Word版附解析）

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命题教师：何幼林 审题教师：范晶
考试时间：2025 年 3 月 21 日 试卷满分：150 分
一、单项选择题（共 8 小题，满分 40 分，每小题 5 分）
1. 下列等式中，不正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用组合数和排列数公式分别计算可判定 ABC，利用组合数的性质，组合数与排列数的关系可判
定 D.
【详解】 故 A 正确；
,故 B 错误；
,故 C 正确；
,故 D 正确.
故选：B.
2. 设等差数列数列 的前 项和为 ，若 ，则 （ ）
A. 30 B. 28 C. 26 D. 24
【答案】C
【解析】
【分析】根据等差数列的下标和性质，结合前 项和公式，即可直接求得结果.
【详解】根据等差数列的下标和性质，由 可得： ，故 ；
则 .
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故选：C
3. 等比数列 中 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，求出等比数列 的公比，进而求出首项即可得解.
【详解】依题意，等比数列 的公比 ，则 ，解得
，
因此 ，所以 .
故选：B
4. 函数 有（ ）
A. 极大值为 5，无极小值 B. 极小值为 ，无极大值
C. 极大值为 5，极小值为 D. 极大值为 5，极小值为
【答案】A
【解析】
【分析】利用导数可求出结果.
【详解】 ,
由 ，得 ，由 ，得 ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 在 时，取得极大值 ，无极小值.
故选：A
5. 函数 的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
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【分析】求出函数的导数，结合导数判断函数的单调性，即可求出函数的最大值.
【详解】解：函数的定义域为 ，则令 ，解得 ，
当 时， ，则函数单调递增；当 时， ，则函数单调递减，
则当 时，函数有最大值，为 ，
故选:D.
6. 已知函数 在 处取得极小值 1，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据极值定义进行求解即可.
【详解】由 ，
因为在 处取得极小值 1，
所以有 ，
当 时， 单调递增，
当 时， 单调递减，
所以 是函数的极小值点，故 满足题意，
于是有 .
故选：C
7. 若函数 在 上单调递减，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
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【解析】
【分析】根据函数的区间单调性，应用导数可得 在 上恒成立，构造 并研究
单调性即可求 的取值范围.
【详解】由 ，得 ，
由 在 上单调递减，得 在 上恒成立，即 在 上
恒成立.
令 ，在 上 ，
∴ 在 上单调递减，即 ，
∴ ，故 的取值范围 .
故选： .
8. 已知函数 及其导函数 定义域均为 ，且 ， ，则关于 的不等式
的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设 ，求导确定函数 的单调性，再由已知得 ，则不等式可转化为
，即可得解集.
【详解】设 ，则 ，所以 在 上单调递减，
又 ，原不等式 可化为 ，即 ，
所以 ，即不等式 的解集为 .
故选：B.
二、多项选择题（共 3 小题，满分 18 分，每小题 6 分）
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9. 有 4 名同学报名参加三个不同的社团，则下列说法中正确的是（ ）．
A. 每名同学限报其中一个社团，则不同的报名方法共有 种
B. 每名同学限报其中一个社团，则不同的报名方法共有 种
C. 每个社团限报一个人，则不同的报名方法共有 24 种
D. 每个社团限报一个人，则不同的报名方法共有 种
【答案】AC
【解析】
分析】利用分步乘法计数原理可得答案.
【详解】对于 AB 选项，第 1 个同学有 3 种报法，第 2 个同学有 3 种报法，
后面的 2 个同学也有 3 种报法，根据分步计数原理共有 种结果，A 正确，B 错误；
对于 CD 选项，每个社团限报一个人，则第 1 个社团有 4 种选择，
第 2 个社团有 3 种选择，第 3 个社团有 2 种选择，
根据分步计数原理共有 种结果，C 正确，D 错误．
故选：AC.
10. 已知等差数列 的前 项和为 ，公差为 ， ，若 ，则下列命题正确的是
（ ）
A. 数列 是递增数列
B. 和 是 中的最小项
C. 是数列 中的最小项
D. 满足 的 的最大值为 25
【答案】AB
【解析】
【分析】根据等差数列下标和性质可计算出 ，结合 可判断 ABC，写出 的表达式可判断 D.
【详解】对于选项 A：因为 即 ，所以 ，即 ，
所以 ，所以 ，数列 是递增数列，所以选项 A 正确；
对于选项 B：因为 ， ，所以当 或 时， 取最小值，所以选项 B 正确；
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对于选项 C：因为数列 是递增数列，所以最小项是首项 ，所以选项 C 错误；
对于选项 D：由不等式 ，可得 ，
又因为 ，
所以满足 的 的最大值为 24，所以选项 D 错误．
故选：AB
11. 设函数 ，则（ ）
A. 有极大值，且有最大值
B. 有极小值，但无最小值
C. 若方程 恰有一个实根，则
D. 若方程 恰有三个实根，则
【答案】D
【解析】
【分析】
先求出导函数，由导数的正负确定单调性，极值，确定函数值的变化趋势可确定最值，及方程 的
根的情形．
【详解】由题意 ，
∴当 或 时， ，当 时， ，
在 和 上递增，在 上递减．
极大值＝ ， 极小值＝ ，
或 时， ， 时， ， 时， ，
∴ 也是最小值． 无最大值．
作出 的图象，和直线 ，如图，
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当 或 时， 有一个根，当 时， 有三个根．
故选：D．
【点睛】本题考查用导数研究函数的极值和最值，研究方程根的个数问题，掌握极值与最值的定义是解题
基础．方程根的个数常常转化为函数图象交点个数，由数形结合思想易求解．
三、填空题（共 3 小题，满分 15 分，每小题 5 分）
12. 有两排座位，前排 10 个座位，后排 10 个座位，现安排 2 人就座，规定前排中间的两个座位不能坐，并
且这两人不左右相邻，那么不同的坐法的种数是___________
【答案】276
【解析】
分析】分情况讨论，结合分类计数原理可得答案.
【详解】分为下列三类情况：
第一类：两人分别坐前后两排，共有 种；
第二类：两人都坐后排，共有 种；
第三类：两人都坐前排，共有三种情况，分坐左右 4 个座位有 32 种；都坐左边 4 个座位有 6 种；都坐右边
4 个座位也有 6 种；共有 种；
由分类加法计数原理可得，共有 种.
故答案为：276
13. 某学校高二（1）班上午安排语文、数学、英语、体育、物理 门课，要求第一节不安排体育，语文和
数学必须相邻，则不同的排课方法共有____种．
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【答案】
【解析】
【分析】先考虑第一节安排体育课，语文和数学必须相邻的排法种数，接下来考虑语文和数学必须相邻的
情形，求出两种情况下不同的排课方法种数，结合间接法可得结果.
【详解】先考虑第一节安排体育课，语文和数学必须相邻，则将数学与语文捆绑，形成一个大元素，共有
种排法；
接下来只考虑语文和数学必须相邻的情形，只需将数学与语文捆绑，形成一个大元素，共有 种
排法.
由间接法可知，不同的排法种数为 种.
故答案为： .
14. 将数据 ， ， ，…排成如图的三角形数阵，（第一行一个 ，第二行两个 ，⋯，最下面一行
有 个 ， ）则数阵中所有数据的和为________.
【答案】
【解析】
【分析】写出数阵中所有数据的和，利用错位相减法求解即可.
【详解】由题意，设数阵中所有数据的和为 ，
则 ①，
②，
由①-②得：
，
所以 .
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故答案为：
【点睛】方法点睛：解决此类探究性问题，关键在观察、分析已知数据、寻找它们之间的相互联系，利用
常见数列的通项公式和求和知识求解.
四、解答题（共 5 小题，满分 77 分）
15. 已知函数 .
（1）求 的解析式；
（2）判断 在 上的单调性.
【答案】（1）
（2） 在 上的单调递减.
【解析】
【分析】（1）先对 求导，再将 代入到函数可求出 ，进而求出 的解析式；
（2）先对 求导，当 时， ， ，所以 恒成立，即可得出答案.
【小问 1 详解】
因为 ，所以 ，
则 ，所以 ，
所以 .
【小问 2 详解】
，
当 时， ， ，
所以 恒成立，
所以 在 上的单调递减.
16. 已知函数 的图象在点 处的切线与直线 垂直.
（1）求 值;
（2）已知 在区间 上的最小值为 ，求 在区间 上的最大值.
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【答案】（1）
（2）1.
【解析】
【分析】（1）根据导数的几何意义求解；
（2）利用导数判断 的单调性，结合 的最小值为 ，求出 ，并求出最大值.
【小问 1 详解】
由已知，得 ，
由题知 ，解得 .
【小问 2 详解】
由（1）可知， ， ，
的变化情况如表所示：
1 2
+ 0 - 0 +
极大值 极小值
， ， ，
即 在区间 上的最大值为 1.
17. 设数列 的前 n 项和为 ，满足 .
（1）求数列 的通项公式 ；
（2）记 ，求数列 的前 n 项和 .
【答案】（1）
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（2）
【解析】
【分析】（1）根据 与 的关系即可求出数列的通项公式
（2） ，利用裂项相消法即可求出数列的和.
【小问 1 详解】
当 时， ，解得 ，
当 时， ， ，
即 ，即 ，
所以数列 是首项为 2，公比为 2 的等比数列，所以 .
【小问 2 详解】
由（1）知 ，
，
所以
.
18. 名男生和 名女生站成一排．
（1）甲不在中间也不在两端的站法有多少种？
（2）甲、乙两人必须站在两端的站法有多少种？
（3）男、女分别排在一起的站法有多少种？
（4）男、女相间的站法有多少种？
（5）甲、乙、丙三人从左到右顺序一定的站法有多少种？
【答案】（1） 种
（2） 种
（3） 种
（4） 种
（5） 种
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【解析】
【分析】（1）按有特殊位置元素的排列方法求解；
（2）按有特殊位置元素的排列方法求解；
（3）按捆绑法排列即可；
（4）按插空法排列即可；
（5）按部分均匀的排列方法求解即可.
【小问 1 详解】
先排甲有 种，其余有 种，
共有 种排法.
【小问 2 详解】
先排甲、乙，再排其余 人，
共有 种排法.
【小问 3 详解】
把男生和女生分别看成一个元素，
男生和女生内部还有一个全排列，共 种.
【小问 4 详解】
先排 名男生有 种方法，
再将 名女生插在男生形成的 个空上有 种方法，
故共有 种排法.
【小问 5 详解】
人共有 种排法，
其中甲、乙、丙三人有 种排法，
因而在 种排法中每 种对应一种符合条件的排法，
故共有 种排法．
19 已知函数 ， .
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（1）讨论 的单调性并求极值.
（2）设函数 （ 为 的导函数），若函数 在 内有两个不同的零点，
求实数 的取值范围.
【答案】（1） 在 上单调递减，在 上单调递增， 的极小值为 ，无极大值；
（2） .
【解析】
【分析】（1）求出 ，然后可得单调性和极值；
（2） ，然后求出当 时 的单调性，要使函数 在 内有两个不同的
零点，则有 ，解出 ，然后证明 即可.
【小问 1 详解】
因为 在 上单调递增，
所以当 时 ，当 时 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 的极小值为 ，无极大值.
【小问 2 详解】
因为 ，
所以 ，
当 时， ，
所以当 或 时， 在 上单调，至多只有一个零点，不满足题意，
当 时，由 可得 ，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
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所以要使函数 在 内有两个不同的零点，则有 ，
由 可得 ，下面证明当 时 ，
令 ，则 ，
所以当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
所以 ，
所以当 时 ，
综上：实数 的取值范围为 .
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