湖北省武汉市育才高级中学2024−2025学年高二下学期3月月考 数学试卷【含答案】

这是一份湖北省武汉市育才高级中学2024−2025学年高二下学期3月月考 数学试卷【含答案】，共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．下列等式中，不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．设等差数列数列的前项和为，若，则（ ）
A．30B．28C．26D．24
3．等比数列中，则（ ）
A．B．C．D．
4．函数有（ ）
A．极大值为5，无极小值B．极小值为，无极大值
C．极大值为5，极小值为D．极大值为5，极小值为
5．函数的最大值为（ ）
A．B．C．D．
6．已知函数在处取得极小值1，则（ ）
A．B．
C．D．
7．若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数及其导函数定义域均为，且，，则关于的不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共2小题）
9．有4名同学报名参加三个不同的社团，则下列说法中正确的是（ ）．
A．每名同学限报其中一个社团，则不同的报名方法共有种
B．每名同学限报其中一个社团，则不同的报名方法共有种
C．每个社团限报一个人，则不同的报名方法共有24种
D．每个社团限报一个人，则不同的报名方法共有种
10．已知等差数列的前项和为，公差为，，若，则下列命题正确的是（ ）
A．数列是递增数列
B．和是中的最小项
C．是数列中的最小项
D．满足的的最大值为25
三、单选题（本大题共1小题）
11．设函数，则（ ）
A．有极大值，且有最大值
B．有极小值，但无最小值
C．若方程恰有一个实根，则
D．若方程恰有三个实根，则
四、填空题（本大题共3小题）
12．有两排座位，前排10个座位，后排10个座位，现安排2人就座，规定前排中间的两个座位不能坐，并且这两人不左右相邻，那么不同的坐法的种数是
13．某学校高二（1）班上午安排语文、数学、英语、体育、物理门课，要求第一节不安排体育，语文和数学必须相邻，则不同的排课方法共有 种．
14．将数据，，，…排成如图的三角形数阵，（第一行一个，第二行两个，⋯，最下面一行有个，）则数阵中所有数据的和为 .

五、解答题（本大题共5小题）
15．已知函数.
(1)求的解析式；
(2)判断在上的单调性.
16．已知函数的图象在点处的切线与直线垂直.
(1)求的值;
(2)已知在区间上的最小值为，求在区间上的最大值.
17．设数列的前n项和为，满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前n项和.
18．名男生和名女生站成一排．
(1)甲不在中间也不在两端的站法有多少种？
(2)甲、乙两人必须站在两端的站法有多少种？
(3)男、女分别排在一起的站法有多少种？
(4)男、女相间的站法有多少种？
(5)甲、乙、丙三人从左到右顺序一定的站法有多少种？
19．已知函数，.
(1)讨论的单调性并求极值.
(2)设函数（为的导函数），若函数在内有两个不同的零点，求实数的取值范围.
参考答案
1．【答案】B
【详解】故A正确；
,故B错误；
,故C正确；
,故D正确.
故选B.
2．【答案】C
【详解】根据等差数列的下标和性质，由可得：，故；
则.
故选C.
3．【答案】B
【详解】依题意，等比数列的公比，则，解得，
因此，所以.
故选B.
4．【答案】A
【详解】,
由，得，由，得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以在时，取得极大值，无极小值.
故选A
5．【答案】D
【详解】函数的定义域为，则令，解得，
当时，，则函数单调递增；当时，，则函数单调递减，
则当时，函数有最大值，为，
故选D.
6．【答案】C
【详解】由，
因为在处取得极小值1，
所以有，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
所以是函数的极小值点，故满足题意，
于是有.
故选C.
7．【答案】B
【详解】由，得，
由在上单调递减，得在上恒成立，即在上恒成立.
令，在上，
∴在上单调递减，即，
∴，故的取值范围.
故选.
8．【答案】B
【详解】设，则，所以在上单调递减，
又，原不等式可化为，即，
所以，即不等式的解集为.
故选B.
9．【答案】AC
【详解】对于AB选项，第1个同学有3种报法，第2个同学有3种报法，
后面的2个同学也有3种报法，根据分步计数原理共有种结果，A正确，B错误；
对于CD选项，每个社团限报一个人，则第1个社团有4种选择，
第2个社团有3种选择，第3个社团有2种选择，
根据分步计数原理共有种结果，C正确，D错误．
故选AC.
10．【答案】AB
【详解】对于选项A：因为即，所以，即，
所以，所以，数列是递增数列，所以选项A正确；
对于选项B：因为，，所以当或时，取最小值，所以选项B正确；
对于选项C：因为数列是递增数列，所以最小项是首项，所以选项C错误；
对于选项D：由不等式，可得，又因为，
所以满足的的最大值为24，所以选项D错误．
故选AB.
11．【答案】D
【详解】由题意，
∴当或时，，当时，，
在和上递增，在上递减．
极大值＝，极小值＝，
或时，，时，，时，，
∴也是最小值．无最大值．
作出的图象，和直线，如图，
当或时，有一个根，当时，有三个根．
故选D．
【思路导引】先求出导函数，由导数的正负确定单调性，极值，确定函数值的变化趋势可确定最值，及方程的根的情形．
12．【答案】276
【详解】分为下列三类情况：
第一类：两人分别坐前后两排，共有种；
第二类：两人都坐后排，共有种；
第三类：两人都坐前排，共有三种情况，分坐左右4个座位有32种；都坐左边4个座位有6种；都坐右边4个座位也有6种；共有种；
由分类加法计数原理可得，共有种.
13．【答案】
【详解】先考虑第一节安排体育课，语文和数学必须相邻，则将数学与语文捆绑，形成一个大元素，共有种排法；
接下来只考虑语文和数学必须相邻的情形，只需将数学与语文捆绑，形成一个大元素，共有种排法.
由间接法可知，不同的排法种数为种.
14．【答案】
【详解】由题意，设数阵中所有数据的和为，
则①，
②，
由①-②得：
，
所以.
15．【答案】(1)
(2)在上的单调递减.
【详解】（1）因为，所以，
则，所以，
所以.
（2），
当时，，，
所以恒成立，
所以在上的单调递减.
16．【答案】(1)；
(2)1.
【详解】（1）由已知，得，
由题知，解得.
（2）由（1）可知，，，
的变化情况如表所示：
，，，
即在区间上的最大值为1.
17．【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）当时，，解得，
当时，，，
即，即，
所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，所以.
（2）由（1）知，
，
所以
.
18．【答案】(1)种;
(2)种;
(3)种;
(4)种;
(5)种.
【详解】（1）先排甲有种，其余有种，
共有种排法.
（2）先排甲、乙，再排其余人，
共有种排法.
（3）把男生和女生分别看成一个元素，
男生和女生内部还有一个全排列，共种.
（4）先排名男生有种方法，
再将名女生插在男生形成的个空上有种方法，
故共有种排法.
（5）人共有种排法，
其中甲、乙、丙三人有种排法，
因而在种排法中每种对应一种符合条件的排法，
故共有种排法．
【方法总结】在有些排列问题中，某些元素的前后顺序是确定的(不一定相邻)，解决这类问题的基本方法有两种：
(1)整体法，即若有(m＋n)个元素排成一列，其中m个元素之间的先后顺序确定不变，先将这m＋n个元素排成一列，有种不同的排法，然后任取一个排列，固定其他n个元素的位置不动，把这m个元素交换顺序，有种排法，其中只有一个排列是我们需要的，因此共有种满足条件的不同排法．
(2)插空法，即m个元素之间的先后顺序确定不变，因此先排这m个元素，只有一种排法，然后把剩下的n个元素分类或分步插入由以上m个元素形成的空隙中．
19．【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增，的极小值为，无极大值；
(2).
【详解】（1）因为在上单调递增，
所以当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以的极小值为，无极大值.
（2）因为，
所以，
当时，，
所以当或时，在上单调，至多只有一个零点，不满足题意，
当时，由可得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以要使函数在内有两个不同的零点，则有，
由可得，下面证明当时，
令，则，
所以当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以，
所以当时，
综上：实数的取值范围为.
1
2
+
0
-
0
+
极大值
极小值