湖北省黄冈市黄梅县育才高级中学2024-2025学年高一下学期三月月考数学试卷（原卷版+解析版）

这是一份湖北省黄冈市黄梅县育才高级中学2024-2025学年高一下学期三月月考数学试卷（原卷版+解析版），共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 函数的零点所在区间为（ ）
A B. C. D.
3. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A. 向左平移个单位长度B. 向左平移个单位长度
C. 向右平移个单位长度D. 向右平移个单位长度
4. 纸折扇是我国古代传统的工艺制品，它是以细长的竹片制成众多的扇骨，然后将扇骨叠起，其下端头部以钉铰固定，其余则展开为扇形，上裱糊以纸，作扇面，并在扇面上题诗作画.如图所示，已知折扇两端的扇骨长均为18cm且夹角为，扇面（裱糊以纸的部分）上下的弧长L与l之比为3:1，则扇面的面积为（ ）

A B. C. D.
5. 已知角为的一个内角，且，则（ ）
A. B. C. D.
6. 若函数且在上为减函数，则函数的图象可以是（ ）
A. B.
C. D.
7. 已知，函数在上单调递减，则的取值范围是（ ）
A B. C. D.
8. 已知函数是定义在上的奇函数，且，且当时，，则（ ）
A. B. 0C. 2D.
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 已知，且为锐角，则下列选项中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 函数的部分图象如图所示，则（ ）
A
B. 在的值域为
C. 将的图像向左平移个单位后为奇函数
D. 的单调递增区间为，
11. 设定义运算，已知函数，则（ ）
A. 是偶函数B. 2π是的一个周期
C. 在上单调递减D. 的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 函数的最小值是_________．
13. 已知幂函数是偶函数，则不等式的解集为________．
14. 已知函数的最小值为，则实数a的取值范围是________．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知．
（1）化简；
（2）若，求的值．
16. 某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
（1）请将表中数据补充完整，并直接写出函数的解析式；
（2）将的图象向右平行移动个单位，得到的图象.若图象的一个对称中心为，求的最小值.
17. 已知命题，，命题，．
（1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围；
（2）若命题p，q有且仅有一个为真命题，求实数m的取值范围．
18. 已知函数（）有最大值为2，且相邻两条对称轴的距离为
（1）求函数的解析式，并求其对称轴方程；
（2）将向右平移个单位，再将横坐标伸长为原来的倍，再将纵坐标扩大为原来的25倍，再将其向上平移60个单位，得到，则可以用函数模型来模拟某摩天轮的座舱距离地面高度H随时间t（单位：分钟）变化的情况．已知该摩天轮有24个座舱，游客在座舱转到离地面最近的位置进仓，若甲、乙已经坐在a，b两个座舱里，且a，b中间隔了3个座舱，如图所示，在运行一周的过程中，求两人距离地面高度差h关于时间t的函数解析式，并求最大值．
19. 已知函数在上为奇函数，，.
（1）求实数的值；
（2）指出函数的单调性（说明理由，不需要证明）；
（3）设对任意，都有成立；请问是否存在的值，使最小值为，若存在求出的值.
高一下三月月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分别通过解不等式以及求函数的定义域可得集合A，B，再求交集即可.
【详解】因为，，
所以，
故选：C.
2. 函数的零点所在区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】判断出函数的单调性，结合零点存在定理即可判断出答案.
【详解】由题意可知函数在上单调递增，
又，
即，
故函数的零点所在区间为，
故选：B
3. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A. 向左平移个单位长度B. 向左平移个单位长度
C. 向右平移个单位长度D. 向右平移个单位长度
【答案】B
【解析】
【分析】由诱导公式化为同名函数，然后由图象平移变换求解．
【详解】因为函数，
，
所以要得到函数的图象，只需将函数的图象向左平移个单位长度.
故选：B.
4. 纸折扇是我国古代传统的工艺制品，它是以细长的竹片制成众多的扇骨，然后将扇骨叠起，其下端头部以钉铰固定，其余则展开为扇形，上裱糊以纸，作扇面，并在扇面上题诗作画.如图所示，已知折扇两端的扇骨长均为18cm且夹角为，扇面（裱糊以纸的部分）上下的弧长L与l之比为3:1，则扇面的面积为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据扇环的面积公式来求得正确答案.
【详解】大扇形半径为，则小扇形半径为，，
所以上弧长为，下弧长为，
所以扇环也即扇面的面积为.
故选：B
5. 已知角为的一个内角，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据已知条件分析的范围，再利用求出，再利用二倍角公式即可求解.
【详解】因为为三角形内角，所以，所以，
又因为，且，
所以，所以，
所以，
由二倍角公式有：
.
故选：A
6. 若函数且在上为减函数，则函数的图象可以是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由指数函数的单调性可得，求出函数的定义域，结合函数的性质和图象的平移变换即可求解.
【详解】因为函数且在上为减函数，
所以，
函数的定义域为，故排除，；
且函数为偶函数，
当时，，
的图象由的图象向右平移一个单位得到，
且在定义域范围内是减函数， 故正确.
故选：.
7. 已知，函数在上单调递减，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】由题意可得,，
，
，．故A正确．
考点：三角函数单调性．
8. 已知函数是定义在上的奇函数，且，且当时，，则（ ）
A. B. 0C. 2D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，由条件可得函数关于点对称，再结合条件可得函数是周期为的周期函数，代入计算，即可得到结果.
【详解】因为函数是定义在上的奇函数，
所以，即，
即函数关于点对称，所以，
又因为，则函数关于直线对称，
即，
所以，令，则，
，即，所以，
即，函数是周期为的周期函数，
又当时，，
则，，
则，，，
则
.
故选：B
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 已知，且为锐角，则下列选项中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】将平方后，解得，联立方程组分别算出，从而判断每个选项.
【详解】，两边同时平方可得，
即，解得，A选项正确；
，
为锐角，于是，则，B选项正确；
由，可得，，则，
注意到，则，故C错误，D正确.
故选：ABD
10. 函数的部分图象如图所示，则（ ）
A.
B. 在的值域为
C. 将的图像向左平移个单位后为奇函数
D. 的单调递增区间为，
【答案】ACD
【解析】
【分析】由正弦型函数的图象求出函数的解析式，利用正弦函数的性质逐项求解判断即可.
【详解】对于A，由图可知，，，所以，
所以，故，所以，
由得，故A正确；
对于B，所以，
，所以，
所以的值域为，故B错误；
对于C，将的图像向左平移个单位后得，
奇函数，故C正确；
对于D，，
由，，解得，
即，，
所以单调递增区间为，，故D正确.
故选：ACD
11. 设定义运算，已知函数，则（ ）
A. 是偶函数B. 2π是的一个周期
C. 在上单调递减D. 的最小值为
【答案】BC
【解析】
【分析】画出的图象，对于A：举反例即可判断；对于B：由图可判断；对于C：根据余弦函数的单调性可判断；对于D：由图可判断.
【详解】
因为，画出的图象，如图
对于A：，即所以不是偶函数，A错误；
对于B：由图可知的一个周期为，B正确；
对于C：当时，，则，而在上单调递减，C正确；
对于D：由图可知，的最小值为，D错误.
故选：BC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 函数的最小值是_________．
【答案】##
【解析】
【分析】根据平方关系可得，再根据二次函数的性质即可得解.
详解】，
所以当时，.
故答案为：.
13. 已知幂函数是偶函数，则不等式的解集为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据幂函数的定义，结合是偶函数，可得，再根据单调性解不等式即可.
【详解】幂函数是偶函数，
，解得或，
当时，为奇函数，不符合题意，
当时，为偶函数，符合题意，
,在内单调递增，且为偶函数，
可化为，
两边取平方可得：，
整理的，解得，
的解集为.
故答案为：.
14. 已知函数的最小值为，则实数a的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】先由的正负分类讨论（可先由时函数的单调性判断），再时的函数为二次函数形式判断求解．
【详解】若，则，在上是减函数，不是最小值，不合题意；
若，则时，是增函数，因此时，，函数无最小值；
若，则时，是减函数，，
时，，因此在时是增函数，
由得，所以，
当时，，的最小值是，不是，不合题意，
综上，的取值范围是．
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知．
（1）化简；
（2）若，求的值．
【答案】（1）)
（2）
【解析】
【分析】（1）利用诱导公式及同角三角函数的基本关系化简即可；
（2）由（1）可得，利用同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入计算可得；
【小问1详解】
解：，即；
【小问2详解】
解：由（1）得到，
所以
16. 某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
（1）请将表中数据补充完整，并直接写出函数的解析式；
（2）将的图象向右平行移动个单位，得到的图象.若图象的一个对称中心为，求的最小值.
【答案】（1）
（2）1
【解析】
【分析】（1）根据表中已知数据，可求得函数解析式，继而求得表中其余值；
（2）写出平移后的解析式，根据对陈中心可得到，化简即可求得答案.
【小问1详解】
由题意可得：
;
【小问2详解】
由题意得：，
则由图象的一个对称中心为得：，
即，则当时 的最小值为1.
17. 已知命题，，命题，．
（1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围；
（2）若命题p，q有且仅有一个为真命题，求实数m取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由已知可得在有解，利用对勾函数求得的最大值即可；
（2）利用不等式的解集为，可求得q为真命题时，实数m的取值范围，结合已知可求得命题p，q有且仅有一个为真命题，实数m的取值范围.
【小问1详解】
因为，，可得在有解，所以，
令，由对勾函数可知函数在单调递减，在上单调递增，
又，，所以，
所以命题p为真命题时，实数m的取值范围为；
【小问2详解】
若，，则，解得．
所以q为真命题时，实数m的取值范围为；
当命题p为真命题，q为假命题时，m应满足，所以，
当命题p为假命题，q为真命题时，m应满足，所以，
综上所述：命题p，q有且仅有一个为真命题，实数m的取值范围为．
18. 已知函数（）有最大值为2，且相邻的两条对称轴的距离为
（1）求函数的解析式，并求其对称轴方程；
（2）将向右平移个单位，再将横坐标伸长为原来的倍，再将纵坐标扩大为原来的25倍，再将其向上平移60个单位，得到，则可以用函数模型来模拟某摩天轮的座舱距离地面高度H随时间t（单位：分钟）变化的情况．已知该摩天轮有24个座舱，游客在座舱转到离地面最近的位置进仓，若甲、乙已经坐在a，b两个座舱里，且a，b中间隔了3个座舱，如图所示，在运行一周的过程中，求两人距离地面高度差h关于时间t的函数解析式，并求最大值．
【答案】（1），，
（2），50
【解析】
【分析】（1）由二倍角公式与两角和与差正弦公式化简得，再结合最值及周期即可得解析式；
（2）由正弦型函数的平移变换与伸缩变换得变换后的解析式为，则，再求最值即可.
【小问1详解】
，所以，
因为相邻两条对称轴的距离为，所以半周期为，
故，
令，
【小问2详解】
向右平移得到，将横坐标伸长为原来的倍，得到，
将纵坐标扩大为原来的25倍，得到，再将其向上平移60个单位，得到
游客甲与游客乙中间隔了3个座舱，则相隔了，
令，则，
则，，，，故，
当或或20时，
19. 已知函数在上为奇函数，，.
（1）求实数的值；
（2）指出函数的单调性（说明理由，不需要证明）；
（3）设对任意，都有成立；请问是否存在的值，使最小值为，若存在求出的值.
【答案】（1）；
（2）减函数； （3）.
【解析】
【分析】（1）因为为奇函数，所以恒成立，据此可求出的值；
（2）由（1）可求出，讨论，根据复合函数的单调性可判断的单调性；
（3）根据题意，结合（1）对原不等式变形可得，
又根据的单调性得，整理得，
从而转化为求的最小值，再解关于的不等式，
对函数换元讨论求最小值，得到关于的方程解之即可得到答案.
小问1详解】
因为函数在上为奇函数，所以恒成立，
即恒成立，
所以，又，所以；
【小问2详解】
由（1）知
因为在是减函数，又，
所以在上为减函数；
【小问3详解】
因为对任意都有,
所以对任意都有，
由在上为减函数；
所以对任意都有，
所以对任意都有，
因为，
所以即，解得
因为，
令，则，
令，它的对称轴为，
当，即时，
在上是增函数，
，
解得舍去，
当即时，
此时，
解得，所以.
【点睛】小问(3)属于单调性和奇偶性综合应用问题，以及函数不等式恒成立问题，解决问题的关键是利用函数性质进行恒等变形，转化为不等式恒成立问题，求最值解不等式得到的范围，再通过换元把转化为二次函数闭区间上最值问题.本小题难度较大，对数学能力要求较高.
0
x
5
0
2
0
0
0
x
5
0
2
0
0
0
x
-4
2
5
8
0
2
0
0