湖北省黄石市黄石港区部分学校2024-2025学年九年级下学期第一次月考数学试题卷（原卷版+解析版）

这是一份湖北省黄石市黄石港区部分学校2024-2025学年九年级下学期第一次月考数学试题卷（原卷版+解析版），共35页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）
1. 下列函数中，是反比例函数的是（ ）
A. B. C. D.
2. 如图，中，，若，则等于（ ）
A. B. C. D.
3. 在中，，是斜边上的中线，，，则的值是（ ）
A B. C. D. 1
4. 如图，过反比例函数的图像上一点A作AB⊥轴于点B，连接AO，若S△AOB=2，则k的值为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
5. 如图，在中，D、E分别在AB边和AC边上，，M为BC边上一点（不与B、C重合），连结AM交DE于点N，则（ ）
A. B. C. D.
6. 如图所示，的顶点在正方形网格的格点上，则的值为（ ）
A. B. C. 2D.
7. 某气球内充满了一定质量气体，当温度不变时，气球内气体的气压（单位：）是气体体积（单位：）的反比例函数，其图象如图所示．当气球内的气压大于时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应（ ）
A. 不小于B. 不小于C. 小于D. 小于
8. 在和中，，若添加一个条件，使得，则下列条件中不符合要求的是（ ）
A.
B.
C.
D.
9. 菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示．，，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，在平面直角坐标系中，点A，P分别在x轴、y轴上，点B的坐标为，是等边三角形，将线段绕点P顺时针旋转得到线段，则点C的坐标为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分）
11. 反比例函数的图象在第一、三象限，则的取值范围是___________．
12. 如图，、是以为直径的半圆上任意两点，连接、、，与相交于点，要使与相似，可以添加的一个条件是___________（填正确结论的序号）．
①；②；③；④．
13. 若 ，则=__________．
14. 如图，四边形，，都是正方形，则________，________．
15. 如图，是内任意一点，分别为上的点，且与是位似三角形，位似中心为．若则与的位似比为_______________________．
三、解答题（本大题共9小题，满分75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. 求下列各式值：
（1）；
（2）；
（3）．
17. 已知与成反比例，且当时，．
（1）求与之间的函数解析式；
（2）当时，求的值．
18. 如图，为的直径，为上一点，为上一点，，过点作交的延长线于点，交于点，连接，，在的延长线上取点，使．

（1）求证：是的切线；
（2）若半径为，，求的长．
19. 山西地处黄河中游，是世界上最早最大的农业起源中心之一，是中国面食文化的发祥地，其中的面条文化至今已有两千多年的历史（面条在东汉称之为“煮饼”）厨师将一定质量的面团做成拉面时，面条的总长度是面条横截面面积的反比例函数，其图象经过，两点（如图）．
（1）求与S之间的函数关系式
（2）求的值，并解释它的实际意义
（3）某厨师拉出的面条最细时的横截面面积不超过，求这根面条的总长度至少有多长
20. 如图，在四边形ABCD中，AB=AD，AC与BD交于点E，∠ADB=∠ACB．
（1）求证：；
（2）若AB⊥AC，AE：EC=1：2，F是BC中点，求证：四边形ABFD是菱形．
21. 如图，小丁家窗外有一堵围墙AB，由于围墙的遮挡，清晨太阳光恰好从窗户的最高点C射进房间地面的D处，中午太阳光恰好能从窗户的最低点E射进房间地面的F处，AB⊥BD于点B，CE⊥BD于点O，小丁测得OE＝1m，CE＝1.5m，OF＝1.2m，OD＝12m，求围墙AB的高为多少米．
22. 如图，E是矩形中边上一点，将沿折叠得到，点落在边上．
（1）求证：．
（2）若，求的值．
23. 在实验课上，小明做了一个试验．如图，在仪器左边托盘（固定）中放置一个物体，在右边托盘（可左右移动）中放置一个可以装水的容器，容器的质量为．在容器中加入一定质量的水，可以使仪器左右平衡．改变托盘与点的距离（）（），记录容器中加入的水的质量，得到下表：

把上表中的与各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出这些点，并用光滑的曲线连接起来，得到如图所示的关于的函数图象．

（1）请在该平面直角坐标系中作出关于的函数图象；
（2）观察函数图象，并结合表中的数据：
①猜测与之间的函数关系，并求关于的函数表达式；
②求关于的函数表达式；
③当时，随的增大而___________（填“增大”或“减小”），随的增大而___________（填“增大”或“减小”），的图象可以由的图象向___________（以“上”或“下”或“左”或“右”）平移得到．
（3）若在容器中加入的水的质量（g）满足，求托盘与点的距离（cm）的取值范围．
24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，且交x轴于A，B两点，交y轴于点C．其中B点坐标．

（1）求抛物线的表达式；
（2）点F是直线上方抛物线上的一动点，过点F作，交于点D，过点F作y轴的平行线交直线于点E，过点D作，交于点G，求的最大值及此时点F的坐标；
（3）在（2）问中取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线方向平移5个单位长度，点M为平移后的抛物线的对称轴上一点，在平面内确定一点N，使得以点A、F、M、N为顶点的四边形是以为边长的菱形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的一种情况的过程．
黄石市黄石港区部分学校2024-2025学年九年级下学期
第一次月考数学试题卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）
1. 下列函数中，是反比例函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题主要考查了反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义是解决问题的关键．
根据反比例函数的定义对各个选项中的函数逐一进行判断即可得出答案．
【详解】解：∵函数不符合反比例函数的定义，
∴选项A中的函数不是反比例函数，选项A不符合题意；
∵函数不符合反比例函数的定义，
∴选项B中的函数不是反比例函数，选项B不符合题意；
∵函数符合反比例函数的定义，
∴选项C中的函数是反比例函数，选项C符合题意；
∵函数不符合反比例函数的定义，
∴选项D中的函数不是反比例函数，选项D不符合题意，
故选：C．
2. 如图，在中，，若，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由，证明，再证明，设，再求解从而可得答案．
【详解】解： ，，
，
设，则，




故选B．
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例，三角形的面积比，掌握以上知识是解题的关键．
3. 在中，，是斜边上的中线，，，则的值是（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查直角三角形性质，求角度的正弦值等．根据题意可得，继而再利用正弦公式即可求出．
【详解】解：∵，是斜边上的中线，，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
4. 如图，过反比例函数的图像上一点A作AB⊥轴于点B，连接AO，若S△AOB=2，则k的值为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：观察图象可得，k＞0，已知S△AOB=2，根据反比例函数k的几何意义可得k=4，
故选：C．
考点：反比例函数k的几何意义．
5. 如图，在中，D、E分别在AB边和AC边上，，M为BC边上一点（不与B、C重合），连结AM交DE于点N，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行线的性质和相似三角形的判定可得△ADN∽△ABM，△ANE∽△AMC，再根据相似三角形的性质即可得到答案.
【详解】∵，∴△ADN∽△ABM，△ANE∽△AMC，∴，故选C.
【点睛】本题考查平行线的性质、相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质、相似三角形的判定和性质.
6. 如图所示，的顶点在正方形网格的格点上，则的值为（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据网格构造直角三角形，由勾股定理可求、，再根据三角函数的意义可求出的值．本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理以及求一个角的正切值的知识，利用网格构造直角三角形是解决问题的关键．
【详解】解：如图，取网格点，连接，
由网格图，可得：，，，
，
是直角三角形，且，
，
故选：A．
7. 某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压（单位：）是气体体积（单位：）的反比例函数，其图象如图所示．当气球内的气压大于时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应（ ）
A. 不小于B. 不小于C. 小于D. 小于
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，求反比例函数的解析式，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解反比例函数解析式的方法和步骤，设该反比例函数的解析式为，把代入求出，得出该反比例函数的解析式为，再把代入求出，根据反比例函数的增减性，即可解答．
【详解】解：设该反比例函数的解析式为，
把代入得：，
解得：，
∴该反比例函数的解析式为，
把代入得：，
解得：，
∵，
∴在第一象限内，p随V的增大而减小，
∴为了安全起见，气球的体积应不小于，
故选：B．
8. 在和中，，若添加一个条件，使得，则下列条件中不符合要求的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题是相似形综合题目，考查了相似三角形的判定方法，由相似三角形的判定分别对各个选项进行判断，即可得出结论．
【详解】解：A、，，
，故选项A不符合题意；
B、，，
，故选项B不符合题意；
、∵， ，
，故选项C不符合题意；
D、与，与不是对应边，无法判断，故符合题意．
故选：D．
9. 菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示．，，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】如图，作轴于点，由四边形是菱形，，可得，，则，，，由勾股定理得，，计算求解，进而可求点坐标．
【详解】解：如图，作轴于点，
四边形是菱形，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理得，，
解得，，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形内角和定理，等角对等边，勾股定理，坐标与图形等知识．熟练掌握菱形的性质，三角形内角和定理，等角对等边，勾股定理，坐标与图形是解题的关键．
10. 如图，在平面直角坐标系中，点A，P分别在x轴、y轴上，点B的坐标为，是等边三角形，将线段绕点P顺时针旋转得到线段，则点C的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先根据B点坐标和三角形PAB是等边三角形这两个条件可以求出P点坐标，然后设C点坐标为(x，y)，根据旋转，可知PC⊥PB，再根据PA=PC，在直角三角形PBC中进行求解即可．
【详解】
解：如图所示过点C作CE⊥y轴，交y轴于E
∵△PAB是等边三角形 ，B(1，0)
∴PA=PB，∠PBA=∠BPA =60°
故由60°直角三角形的性质可知
PA=PB=2BO=2，，∠OPB=∠POA =30°
又∵PC是由PA绕点P顺时针旋转30°所得
∴∠CPA=30°，PA=PC=2
∴∠CPO=60°
∴，
∴
∴C点坐标为(，)
故选D．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，以及含特殊角的三角函数，解题的关键在于熟练的掌握相关知识．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分）
11. 反比例函数的图象在第一、三象限，则的取值范围是___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查反比例函数图象及性质．根据题意可知，继而得到本题答案．
【详解】解：∵反比例函数图象在第一、三象限，
∴，即：，
故答案为：．
12. 如图，、是以为直径的半圆上任意两点，连接、、，与相交于点，要使与相似，可以添加的一个条件是___________（填正确结论的序号）．
①；②；③；④．
【答案】①②③
【解析】
【分析】由两角法可得①正确；由等弦对等弧、等弧所对圆周角相等及两角法可知②正确；由两边夹一角法可以判断③正确，④错误．
【详解】解：如图，∠ADC=∠ADB，
①、∵∠ACD=∠DAB，∴△ADC∽△BDA，故①选项正确；
②、∵AD=DE，
∴，
∴∠DAE=∠B，
∴△ADC∽△BDA，故②选项正确；
③、∵=BD•CD，
∴AD：BD=CD：AD，
∴△ADC∽△BDA，故③选项正确；
④、∵CD•AB=AC•BD，
∴CD：BD=AC：AB，
但∠ADC=∠ADB不是对应夹角，故④选项错误．
故答案为①②③．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定以及圆周角定理．熟练掌握三角形相似的判定方法及圆周角定理是解题关键．
13. 若 ，则=__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了分式化简求值，特殊角的三角函数值，求出a的值，把分式进行计算，先算括号里面的减法，把除法转化成乘法，再进行约分即可．
【详解】解：，
∴原式
．
故答案为：．
14. 如图，四边形，，都是正方形，则________，________．
【答案】 ①. △GCA ②. 45°
【解析】
【分析】设正方形的边长为1，则然后根据两边夹一角定理可以判定△ACF∽△GCA，再根据三角形相似的性质可以得到∠1+∠2=45°．
【详解】解：设正方形的边长为1，则由题意可得：
∴△ACF和△GCA中，，
∴△ACF∽△GCA，
∴∠CAF=∠CGA=∠1，
∴∠1+∠2=∠CAF+∠2=∠ACB=45°．
故答案为△GCA；45°．
【点睛】本题考查正方形与三角形相似的综合运用，熟练掌握正方形的性质、三角形相似的判定和性质及三角形的外角性质是解题关键．
15. 如图，是内任意一点，分别为上的点，且与是位似三角形，位似中心为．若则与的位似比为_______________________．
【答案】##3：2
【解析】
【分析】根据△ABC与△DEF是位似三角形，位似中心为O，得出OA与OD的比值，即可得出△ABC与△DEF的位似比．
【详解】解：∵，
∴，
∵△ABC与△DEF是位似三角形，位似中心为O，
∴△ABC与△DEF的位似比为：.
故答案为：.
【点睛】此题主要考查了位似图形的性质，利用位似比等于相似比是解决问题的关键．
三、解答题（本大题共9小题，满分75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. 求下列各式的值：
（1）；
（2）；
（3）．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查特殊角的三角函数值，二次根式的混合运算，零指数幂以及化简绝对值，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）根据特殊角的三角函数值进行计算即可；
（2）根据特殊角的三角函数值以及二次根式的混合运算进行计算即可；
（3）根据特殊角的三角函数值，零指数幂以及化简绝对值进行计算即可．
【小问1详解】
解：原式
；
【小问2详解】
解：原式
；
小问3详解】
解：原式
．
17. 已知与成反比例，且当时，．
（1）求与之间的函数解析式；
（2）当时，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，已知函数值求自变量的值．
（1）根据题意设，把x，y的一组值代入求解k的值即可解答；
（2）把代入（1）求得的解析式即可解答．
【小问1详解】
解：∵与成反比例，
∴设，
∵当时，，
∴，
解得，
∴与之间的函数解析式为．
【小问2详解】
解：当时，，
解得，
经检验，是该方程的解．
18. 如图，为的直径，为上一点，为上一点，，过点作交的延长线于点，交于点，连接，，在的延长线上取点，使．

（1）求证：是的切线；
（2）若的半径为，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接，根据是的直径，得出，进而证明，得出，结合已知条件可得，进而得出，即可得证；
（2）作于点，则，证明，根据相似三角形的性质求得，进而求得，证明，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，即可求解．
【小问1详解】
证明：连接，则，
，
是的直径，，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，且，
是的切线．
【小问2详解】
解：作于点，则，
，
，
∴，
由（1）得，
，
的半径为，
，
∴，
，，
，
，
，
，
，
，
∵，
∴，
，，且，
，，
，
的长为．
【点睛】本题考查了切线的性质与判定，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
19. 山西地处黄河中游，是世界上最早最大的农业起源中心之一，是中国面食文化的发祥地，其中的面条文化至今已有两千多年的历史（面条在东汉称之为“煮饼”）厨师将一定质量的面团做成拉面时，面条的总长度是面条横截面面积的反比例函数，其图象经过，两点（如图）．
（1）求与S之间的函数关系式
（2）求的值，并解释它的实际意义
（3）某厨师拉出的面条最细时的横截面面积不超过，求这根面条的总长度至少有多长
【答案】（1）
（2）当面条的横截面积为时，面条长度为
（3）这根面条的总长度至少有
【解析】
【分析】本题考查反比例函数的实际应用．读懂题意，正确的求出反比例函数的解析式，利用反比例函数的性质进行求解，是解题的关键．注意自变量的取值范围．
（1）待定系数法求解析式即可；
（2）将代入解析式，进行求解即可，根据题意，进行解释即可；
（3）求出面条的横截面面积为时，面条的长度，利用反比例函数的性质进行求解即可．
【小问1详解】
解：设与之间的函数关系式为，
将代入得，
∴与之间的函数关系式为；
【小问2详解】
解：将代入，可得：，
实际意义：当面条的横截面积为时，面条长度为．
【小问3详解】
解：当面条的横截面面积为时，面条的总长度为：，
∵，
∴y随S的减少而增大，
∴当时，，
∴这根面条的总长度至少有．
20. 如图，在四边形ABCD中，AB=AD，AC与BD交于点E，∠ADB=∠ACB．
（1）求证：；
（2）若AB⊥AC，AE：EC=1：2，F是BC中点，求证：四边形ABFD是菱形．
【答案】见解析
【解析】
【分析】（1）利用相似三角形的判定得出△ABE∽△ACB，进而求出答案；
（2）首先证明AD=BF，进而得出AD∥BF，即可得出四边形ABFD是平行四边形，再利用AD=AB，得出四边形ABFD是菱形．
【详解】证明：（1）∵AB=AD，
∴∠ADB=∠ABE，
又∵∠ADB=∠ACB，
∴∠ABE=∠ACB，
又∵∠BAE=∠CAB，
∴△ABE∽△ACB，
∴，
又∵AB=AD，
∴；
（2）设AE=x，
∵AE：EC=1：2，
∴EC=2x，
由（1）得：AB2=AE•AC，
∴AB=x，
又∵BA⊥AC，
∴BC=2x，
∴∠ACB=30°，
∵F是BC中点，
∴BF=x，
∴BF=AB=AD，
又∵∠ADB=∠ACB=∠ABD，
∴∠ADB=∠CBD=30°，
∴AD∥BF，
∴四边形ABFD是平行四边形，
又∵AD=AB，∴四边形ABFD是菱形．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质及菱形的判定知识，得出△ABE∽△ACE是解答本题的关键.
21. 如图，小丁家窗外有一堵围墙AB，由于围墙的遮挡，清晨太阳光恰好从窗户的最高点C射进房间地面的D处，中午太阳光恰好能从窗户的最低点E射进房间地面的F处，AB⊥BD于点B，CE⊥BD于点O，小丁测得OE＝1m，CE＝1.5m，OF＝1.2m，OD＝12m，求围墙AB的高为多少米．
【答案】3m
【解析】
【分析】根据垂直的定义得到∠FOE＝90°，推出，证明△ABD∽△COD，△ABF∽△EOF，再根据相似三角形的性质列方程组，再解方程组即可得到结论．
【详解】解：∵EO⊥BF，
∴∠FOE＝90°，
∵AB⊥BF，CO⊥BF，
∴，
∴△ABD∽△COD，△ABF∽△EOF，
∴
∵OE＝1m，CE＝1.5m，OF＝1.2m，OD＝12m，
∴
整理得：
解得：AB＝3．
答：围墙AB的高度是3m．
【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，熟练的利用相似三角形的性质列方程组是解本题的关键.
22. 如图，E是矩形中边上一点，将沿折叠得到，点落在边上．
（1）求证：．
（2）若，求的值．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
分析】本题考查矩形性质，相似三角形判定及性质，勾股定理，解直角三角形等．
（1）根据题意得，继而得，即可得到本题答案；
（2）由题意得，再由勾股定理得，再由相似性质得，再利用正切公式即可计算．
【小问1详解】
解：证明：由题意可得，
．
又，
，
∴；
【小问2详解】
解：由折叠可得．
，即：，
，
∴．
∴
，
．
又，
．
23. 在实验课上，小明做了一个试验．如图，在仪器左边托盘（固定）中放置一个物体，在右边托盘（可左右移动）中放置一个可以装水的容器，容器的质量为．在容器中加入一定质量的水，可以使仪器左右平衡．改变托盘与点的距离（）（），记录容器中加入的水的质量，得到下表：

把上表中的与各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出这些点，并用光滑的曲线连接起来，得到如图所示的关于的函数图象．

（1）请在该平面直角坐标系中作出关于的函数图象；
（2）观察函数图象，并结合表中的数据：
①猜测与之间的函数关系，并求关于的函数表达式；
②求关于的函数表达式；
③当时，随的增大而___________（填“增大”或“减小”），随的增大而___________（填“增大”或“减小”），的图象可以由的图象向___________（以“上”或“下”或“左”或“右”）平移得到．
（3）若在容器中加入的水的质量（g）满足，求托盘与点的距离（cm）的取值范围．
【答案】（1）作图见解析；
（2）①；②；③减小，减小，下；
（3）．
【解析】
【分析】（1）将平面直角坐标系中的点用平滑曲线连接即可；
（2）①观察图象可知，函数可能是反比例函数，设，把，的坐标代入，得，再检验其余各个点是否满足即可；②根据可能与成反比例，设，即可得解；③跟图像结合解析式作答即可．
（3）利用反比例函数的性质即可解决问题．
【小问1详解】
解∶函数图象如图所示，
【小问2详解】
解：①观察图象可知，可能是反比例函数，设，
把的坐标代入，得，
经检验，其余各个点坐标均满足，
∴关于的函数表达式；
②观察表格以及①可知，可能与成反比例，设，
把的坐标代入，得，
经检验，其余各个点坐标均满足，
∴关于的函数表达式；
③由图图像可知，当时，随的增大而减小，随的增大而减小，的图象可以由的图象向下平移得到，
故答案为：减小，减小，下；
【小问3详解】
解：当时，解得，
当时，解得，
∴托盘与点的距离（）的取值范围．
【点睛】本题考查反比例函数的应用、描点法画图等知识，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质，属于基础题，中考常考题型．
24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，且交x轴于A，B两点，交y轴于点C．其中B点坐标．

（1）求抛物线的表达式；
（2）点F是直线上方抛物线上的一动点，过点F作，交于点D，过点F作y轴的平行线交直线于点E，过点D作，交于点G，求的最大值及此时点F的坐标；
（3）在（2）问中取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线方向平移5个单位长度，点M为平移后的抛物线的对称轴上一点，在平面内确定一点N，使得以点A、F、M、N为顶点的四边形是以为边长的菱形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的一种情况的过程．
【答案】（1）
（2）的最大值为，此时点
（3）或或或，求解点N的坐标的一种情况的过程见解析
【解析】
【分析】（1）把，代入，求出a和b的值，即可得出表达式；
（2）先求出，用待定系数法求出直线的函数表达式为，设，，得出，易得，，通过证明，得出，则，进而得出，根据二次函数的性质，即可解答；
（3）设平移后的函数为，易得二次函数向右平移4个单位长度，向下平移3个单位长度得到，得出二次函数的对称轴为直线，进而得出的对称轴为直线，设，， 根据菱形对角线互相平分和邻边相等的性质进行分类讨论即可：①当为对角线时，②当为对角线时．
【小问1详解】
解：把，代入得：
，
解得：，
∴抛物线的表达式为；
【小问2详解】
解：把代入得：
，
∴，
设直线的函数表达式为，
把，代入得：
，
解得：，
∴直线的函数表达式为，
设，，
∴，
∵，，
∴，
根据勾股定理可得：，
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
在中，，
∵，
∴当时，有最大值，
此时；
【小问3详解】
解：设平移后函数为
∵将二次函数图形沿射线方向平移5个单位长度，，
∴平移后点C的对应点为中点，
∵，，
∴点C平移后对应点坐标为，
∴二次函数向右平移4个单位长度，向下平移3个单位长度得到，
把代入得：
，
解得：，
∴，
∴二次函数的对称轴为直线，
∴的对称轴为直线，
设，，
①当为对角线时，
根据中点坐标公式可得：
，
整理得：，
∵四边形为菱形，
∴，
∴，
解得：，
∴或3，
∴或；
②当为对角线时，
根据中点坐标公式可得：
，
整理得：，
∵四边形为菱形，
∴，
∴，
解得：，
∴或；
综上：或或或．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解函数表达式的方法和步骤，解直角三角形的方法，二次函数的性质，以及菱形的性质．
托盘与点的距离
30
25
20
15
10
容器与水的总质量
10
12
15
20
30
加入的水的质量
5
7
10
15
25
托盘与点的距离
30
25
20
15
10
容器与水的总质量
10
12
15
20
30
加入的水的质量
5
7
10
15
25