2025年高考押题预测卷：数学（新高考Ⅰ卷03）（解析版）

这是一份2025年高考押题预测卷：数学（新高考Ⅰ卷03）（解析版），共15页。试卷主要包含了已知，则，设，则的大小关系为，已知函数的部分图象如图，则，已知函数，则等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】或，，所以或.
故选D
2．在复平面内，复数对应的点坐标为，则实数（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】D
【解析】因为，则复数在复平面内对应的点为，
又复数对应的点坐标为，所以.故选：D
3．已知向量,满足，，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为，所以，
又，所以，解得．故选：A.
4．已知，则（ ）
A．B．C．D．2
【答案】A
【解析】因为，所以，且，
所以，又因为，
由，可得，
所以．故选：A．
5．设，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由指数函数的单调性可知：，
又，所以，故选：B
6．若抛物线的准线为直线，则截圆所得的弦长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】抛物线的准线方程为，圆的圆心为原点，半径为，圆心到直线的距离为，
所以，截圆所得的弦长为，故选：A.
7．白舍窑位于江西省南丰县白舍镇，是宋元时期“江西五大名窑”，其瓷器以白瓷最为闻名，素有“白如玉，薄如纸”的特点．如图是白舍窑生产的一款斗笠型茶杯，茶杯外形上部为一个圆台，下部实心且外形为圆柱．现测得底部直径为6cm，上部直径为12cm，茶杯侧面与水平面的夹角为，则该茶杯容量（茶杯杯壁厚度忽略不计）约为（ ）（单位：）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】圆台的体积即为该茶杯容量，如图，cm，cm，
过点分别作⊥，⊥于点，则cm，cm，
其中圆台的高为cm，
故圆台体积为.故选：D
8．已知函数是定义在上的偶函数，函数的图象关于点中心对称，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由函数的图像关于点中心对称可知，
所以函数为奇函数，
所以，即，
可得，由已知函数的定义域为，
令可得，，由，可得，
因为为上的偶函数，所以，
可得.
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知函数的部分图象如图，则（ ）
A．
B．
C．函数的图象关于点对称
D．函数在区间上单调递增
【答案】AC
【解析】由函数的图象可知解得
设函数的最小正周期为，由函数的图象可知，，
所以，所以.
由，得，又，所以，
所以.故选项A正确，选项B错误.
令，解得，当时，，
所以函数的图象关于点对称.故C正确.
令 ，得，
所以的单调递增区间为.
因为，所以函数在区间上不单调.故选项D错误.
故选：AC.
10．已知函数，则（ ）
A．的极小值为
B．有两个零点
C．存在使得关于的方程有三个不同的实根
D．的解集为
【答案】AC
【解析】函数的定义域为，，
由得或；由得，有极大值，极小值，A正确；
由极大值和极小值均小于0知最多一个零点，B不正确；
当时，，当时，，当时，有三个不同的实根，C正确；
当时，，此时，D不正确．
故选：AC．
11．已知曲线，则下列结论正确的是（ ）
A．曲线关于轴对称
B．曲线上的点到轴的距离的最大值为1
C．若，且点在上，则
D．若曲线与圆只有2个公共点，则的取值范围为
【答案】ABC
【解析】把点关于轴对称的点代入轨迹方程成立，A正确．
因为，所以，所以曲线上的点到轴的距离的最大值为1，正确．
因为，所以．
当时，因为点在上，
所以．
因为，所以，即．
当时，因为点在上，所以．
因为，所以．故1，C正确．
联立得．
当时，，当时，，即是曲线与圆的2个公共点．
因为曲线与圆只有2个公共点，所以方程除外没有其他解．
因为，所以4，所以，D错误．
故选：ABC.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．某地区高三年级2000名学生参加了地区教学质量调研测试，已知数学测试成绩服从正态分布（试卷满分150分），统计结果显示，有320名学生的数学成绩低于80分，则数学分数属于闭区间的学生人数约为 ．
【答案】
【解析】根据已知条件有数学成绩低于分的概率为，
又，所以数学分数属于闭区间的概率为，
所以数学分数属于闭区间的学生人数约为人.
13．甲、乙两人射击一架进入禁飞区的无人机.已知甲、乙两人击中无人机的概率分别为、，且甲、乙射击互不影响.若无人机恰好被一人击中，则被击落的概率为；若恰好被两人击中，则被击落的概率为，那么无人机被击落的概率为 .
【答案】/
【解析】若无人机被一人击中，则该无人机被击落的概率为，
若无人机被两人都击中，则该无人机被击落的概率为.
综上所述，无人机被击落的概率为.
14．蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，且其方程为.已知椭圆的焦点在轴上，、为椭圆上任意两点，动点在直线上.若恒为锐角，根据蒙日圆的相关知识，则椭圆离心率的取值范围为 .
【答案】
【解析】由题意可知，圆即为椭圆蒙日圆，
因为、为椭圆上任意两点，动点满足恒为锐角，
则点在圆外，
又因为动点在直线上，则直线与圆相离，

所以，，解得，
则，即，
因此，椭圆的离心率的取值范围是.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（本小题满分13分）在中，角所对的边分别为，且．
(1)求；
(2)若，，为的中点，求．
【解】（1）法一：因为，
由余弦定理：， …………………………2分
得：，
则， …………………………4分
因为，所以． …………………………6分
法二：因为，由正弦定理得：
，
， …………………………2分
，
， …………………………4分
因为，所以，
因为，所以． …………………………6分
（2）在中，由余弦定理得：，
得：， …………………………8分
法一：， …………………………10分
在中，由余弦定理得：，
得：． …………………………13分
法二：因为，所以，
所以， …………………………8分
所以， …………………………10分
解得：． …………………………13分
法三：因为，
所以， …………………………9分
， ………………………10分
所以． …………………………13分
16．（本小题满分15分）如图，在四棱锥中，平面，，，，点在棱上.
(1)当为上靠近点的四等分点时，求证：平面；
(2)若直线与平面所成的角为，当为的中点时，求二面角的余弦值.
【解】（1）如图，连接交于点，连接.
因为，所以∽，所以. …………………………2分
因为为上靠近点的四等分点，所以.
因为，所以. …………………………4分
因为平面平面，所以平面. …………………………6分
（2）因为平面，所以为与底面所成的角，
所以.因为，所以.
由题意得，又平面，所以两两垂直. …………………………7分
故以为坐标原点，以所在直线分别为轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以. …………………………9分
设平面的法向量为，则，
即，令，则. …………………………11分
设平面的法向量为，则，
即， 令，则. …………………………13分
因为， …………………………14分
又二面角的平面角为锐角，
所以二面角的余弦值为. …………………………15分
17．（本小题满分15分）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若有两个零点，求实数的取值范围.
【解】（1）的定义域为，
…………………………1分
若，则，则在单调递减； …………………………2分
若，则由得.
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增. …………………………4分
综上，当时，在单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增. ……………………5分
（2）若，由（1）知，至多有一个零点. …………………………6分
若，由（1）知，
当时，取得最小值，最小值为. ………………………7分
①当时，由于，故只有一个零点； …………………………8分
②当时，因为单调递增，单调递增，所以单调递增，
所以，，故没有零点；…………………10分
③当时，由于，即，
又，
故在有一个零点. …………………………12分
设正整数满足，
则， …………………………14分
故在有一个零点.
综上，的取值范围为. …………………………15分
18．（本小题满分17分）“你好！我是DeepSeek，很高兴见到你！我可以帮你写代码，读文件，写作各种创意内容，请把你的任务交给我吧”，DeepSeek从横空出世到与我们日常相伴，成为我们解决问题的“好参谋，好助手”，AI大模型正在改变着我们的工作和生活的方式．为了了解不同学历人群对DeepSeek的使用情况，随机调查了200人，得到如下数据：
单位：人
(1)依据小概率值的独立性检验，能否认为DeepSeek的使用情况与学历有关？
(2)某校组织“AI模型”知识竞赛，甲、乙两名选手在决赛阶段相遇，决赛阶段共有3道题目，甲、乙同时依次作答，3道试题作答完毕后比赛结束.规定：若对同一道题目，两人同时答对或答错，每人得0分；若一人答对另一人答错，答对的得10分，答错的得分，比赛结束累加得分为正数者获胜，两人分别独立答题互不影响，每人每次的答题结果也互不影响，若甲，乙两名选手正确回答每道题的概率分别为，．
（ⅰ）求比赛结束后甲获胜的概率；
（ⅱ）求比赛结束后甲获胜的条件下，乙恰好回答对1道题的概率．
附：，其中．
【解】（1）零假设为：DeepSeek的使用情况与学历无关，
根据列联表中的数据，可得， …………………………3分
依据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
因此可以认为成立，即认为DeepSeek的使用情况与学历无关； …………………………5分
（2）（ⅰ）当甲，乙同时回答第道题时，甲得分为，
，
，
， …………………………8分
比赛结束甲获胜时的得分可能的取值为10，20，30，
则，
，
， …………………………11分
所以比赛结束后甲获胜的概率；
…………………………13分
（ⅱ）设“比赛结束后甲获胜”，“比赛结束后乙答对一道题”，
， …………………15分
则，
所以比赛结束后甲获胜的条件下，乙恰好回答对1道题的概率为． …………………………17分
19．（本小题满分17分）我们把焦点在x轴上，且离心率相同的双曲线称为双曲线系），记的方程为，左、右顶点为．已知双曲线系中曲线经过两点．
(1)求双曲线系的离心率；
(2)已知是双曲线系上的动点，其中在第二象限，在第三象限，依次构造点满足当三点共线时，直线的斜率与直线的斜率之比恒为常数．
（ⅰ）证明：数列是以为公比的等比数列；
（ⅱ）定义：无穷等比递减数列的所有项之和为，其中为的首项，q为的公比，且．设O是坐标原点，的面积的最小值为，求数列的所有项之和T．
【解】（1）双曲线系中曲线经过两点
由题意，得，， …………………………1分
则， …………………………2分
所以双曲线的离心率为，
所以双曲线系的离心率为； …………………………4分
（2）（ⅰ）由（1）及题意，知，，．
设，．
设直线的方程为，其中在第二象限，在第三象限，
联立得方程组，
消去并整理，得，
则，
，， …………………………6分
所以， …………………………7分
则
， …………………………9分
所以，则．
故数列是以为公比的等比数列． …………………………10分
（ⅱ）由（ⅰ）知，直线也恒过定点， ………………11分
因此
， …………………………13分
设，则，
则，当时，则 ，
， …………………………15分
所以数列的所有项之和. …………………………17分
学历
使用情况
合计
经常使用
不经常使用
本科及以上
65
35
100
本科以下
50
50
100
合计
115
85
200
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828