2025年高考押题预测卷：数学（新高考八省专用03）（解析版）

这是一份2025年高考押题预测卷：数学（新高考八省专用03）（解析版），共17页。试卷主要包含了已知复数z满足，则等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由，得，所以，
或x>1，
由，得，所以，
所以.故选：D.
2．抽样统计某位学生10次的数学成绩分别为86，84，88，86，89，89，90，87，85，92，则该学生这10次成绩的分位数为
A．86.5B．87.5C．91D．89
【解析】数学成绩从小到大分别为84，85，86，86，87，88，89，89，90，92，共10个，
又，
故分位数为．
故选：．
3．已知向量，满足，，，则（ ）
A．B．C．1D．
【答案】B
【解析】由，得，则，
由，得，又，
因此，所以.故选：B
4．下列函数中，以为周期，且在区间上单调递增的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】对于A：由，可知不是其周期，（也可说明其不是周期函数）故错误；
对于B：，其最小正周期为，故错误；
对于C：满足，以为周期，
当时，，由正切函数的单调性可知
在区间上单调递减，故错误；
对于D，满足，以为周期，
当时，，由余弦函数的单调性可知，
在区间上单调递增，故正确；故选:D
5．已知在上单调递增，若为偶函数，，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为为偶函数，则，
所以关于对称，所以，
令，则，
当时，，所以在1,+∞上单调递增，
所以，即，所以，
当x>1时，由得，，则，
由上可得，又在1,+∞上单调递增，
所以，即，
所以.故选：A．
6．已知等差数列中，，，又，，其中，则的值为（ ）
A．或B．C．D．
【答案】D
【解析】，
，，
，
，
.又，，
.
，，，
.故选：D.
7．与都是边长为2的正三角形，沿公共边折叠成三棱锥且长为，若点，，，在同一球的球面上，则球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设的中点为，正与正的中心分别为，，如图，
根据正三角形的性质有，分别在，上，平面，平面，
因为与都是边长为2的正三角形，则，又，
则是正三角形，
又，，，平面，
所以平面，所以在平面内，
故，易得，
故，故，
又，故球的半径，
故球的表面积为．故选：D．
8．已知椭圆的两个焦点为，过的直线与交于两点.若，，且的面积为，则椭圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】设，则，，由椭圆的定义得，在中，由余弦定理得，根据同角三角函数的平方关系得，在中， 由余弦定理得，再结合的面积为，即可求出，进而得出椭圆的方程．
【详解】设，则，，则，
由椭圆的定义可知，
所以，
所以，，，，
在中，
，
则，
所以，
在中，
，
即，
整理可得，
因为三角形的面积为，
故，即，
得，
所以，，
所以椭圆的方程为，
故选：A．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知复数z满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【解析】设复数，可得
因为复数z满足，可得，则，
可得且，
由时，可得或，
当时，可得，此时；当时，方程，无解；
对于A中，当，可得，可得；
当，可得，可得，所以A正确；
对于B中，当，可得，且，则，所以B不正确；
对于C中，当，可得，可得，所以C不正确；
对于D中，当，可得，可得，则；
当，可得，可得，则，所以D正确.故选：AD.
10．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点为双曲线右支上一点，且，若与一条渐近线平行，则（ ）
A．双曲线的离心率为
B．双曲线的渐近线方程为
C．的面积为
D．直线与圆相切
【答案】ACD
【分析】设直线平行于双曲线的渐近线，得到直线的方程为，联立方程组求得坐标，代入方程化简得，利用双曲线的离心率公式判断A，利用双曲线渐近线方程判断B，结合纵坐标求得面积判断C，利用点到直线的距离公式判断D.
【详解】不妨设直线平行于双曲线的渐近线，
从而可得是线段的垂直平分线，且直线的方程为，
设直线与直线相交于点，联立方程组，解得，即，
又F1-c,0，结合中点坐标公式，可得，
代入双曲线，可得，整理得，，
对于A，双曲线的离心率，故A正确；
对于B，双曲线的渐近线，故B错误；
对于C，的面积，故C正确；
对于D，圆心到直线的距离，
故直线与圆相切，故D正确.故选：ACD
11．在平面直角坐标系中，将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转后，所得曲线仍然是某个函数的图象，则称为“旋转函数”.那么（ ）
A．存在旋转函数
B．旋转函数一定是旋转函数
C．若为旋转函数，则
D．若为旋转函数，则
【答案】ACD
【分析】对A，举例说明即可；对B，举反例判断即可；根据函数的性质，结合“旋转函数”的定义逐个判断即可；对CD，将旋转函数转化为函数与任意斜率为1的函数最多一个交点，再联立函数与直线的方程，分析零点个数判断即可.
【详解】对A，如满足条件，故A正确；
对B，如倾斜角为的直线是旋转函数，不是旋转函数，故B错误；
对C，若为旋转函数，则根据函数的性质可得，逆时针旋转后，不存在与轴垂直的直线，使得直线与函数有1个以上的交点.故不存在倾斜角为的直线与的函数图象有两个交点.即与至多1个交点.联立可得.
当时，最多1个解，满足题意；
当时，的判别式，对任意的，都存在使得判别式大于0，不满足题意，故.故C正确；
对D，同C，与的交点个数小于等于1，即对任意的，至多1个解，故为单调函数，即为非正或非负函数.
又，故，即恒成立.
即图象在上方，故，即.
当与相切时，可设切点，对求导有，故，解得，此时，故.故D正确.
故选：ACD
第二部分（非选择题 共92分）
填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．的展开式中，常数项为 ．（用数字作答）
【解析】，展开式的通项公式为，
令，解得，
故常数项为．
故答案为：252．
13．若曲线的一条切线为，其中，为正实数，则的取值范围是 ．
【解析】设切点为，，由，得，
因为过切点的直线为，
所以，
因为，所以，
所以，
当且仅当时取等号，
所以的取值范围是，．
故答案为：，．
14．三棱锥中，和均为边长为2的等边三角形，分别在棱上，且平面平面，若，则平面与三棱锥的交线围成的面积最大值为 ．
【答案】
【解析】如图所示，因为平面，设面，所以，
同理：，
设，所以，即，
所以四边形为平行四边形，即，
平面，平面，所以平面，
又因为平面，平面平面，所以，即，且，
取中点，连接，易得，，
，所以面，所以，所以，
所以四边形为矩形，
所以面与三棱锥的交线围成的面积，
当，即为中点时，面积最大，最大值为，
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知为等比数列，其前项和为，且．
（1）求的值及数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
【解析】（1）当时，．
当时，．
因为是等比数列，
所以，即．．
所以数列的通项公式为．
（2）由（1）得，设数列的前项和为．
则．①
．②
①②得
．
所以．
16．（15分）某校为了了解学情，对各学科的学习兴趣作了问卷调查，经过数据整理得到表格：
假设每份调查问卷只调查一科，各类调查是否达到良好的标准相互独立．
（1）从收集的答卷中随机选取一份，求这份试卷的调查结果是英语兴趣良好的概率；
（2）从该校任选一位同学，试估计他在语文兴趣良好、数学兴趣良好、生物兴趣良好方面，至少具有两科兴趣良好的概率；
（3）按分层抽样的方法从参与物理兴趣和化学兴趣调查的同学中抽取7人，再从这7人中抽取3人，记3人中来自化学兴趣的人数为，求的分布列和期望．
【解析】（1）设“这份试卷的调查结果是英语兴趣良好”为事件，
答卷总份数为，
其中英语兴趣良好有，
从收集的答卷中随机选取一份，
这份试卷的调查结果是英语兴趣良好的概率为．
（2）设“语文兴趣良好”“数学兴趣良好”“生物兴趣良好”分别为事件，，，
（B），（C），（D），
估计他在语文兴趣良好、数学兴趣良好、生物兴趣良好方面，至少具有两科兴趣良好的概率为：
．
（3）从参与物理兴趣小组和化学兴趣小组的700人中，按分层抽样的方法抽取7人，
其中，参与物理兴趣小组的抽取4人，参与化学兴趣小组的取3人，
再从中选取3人，则的所有可能取值为0，1，2，3，
，
，
，
，
的分布列为：
．
17．（15分）如图，在四棱锥中，平面平面，，∥，，为棱的中点.
(1)证明：平面；
(2)若，，
（i）求二面角的正弦值；
（ii）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
【答案】(1)证明见解析;(2)（i）；（ii）存在，.
【解析】（1）
取的中点，连接，，如图所示：为棱的中点，
，，
，，，，
四边形是平行四边形，，
又平面，平面，
平面.
（2），，，
，，
平面平面，平面平面，平面，
平面，
又，平面，
，，又，
以点为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，
如图：则，，，，
为棱的中点，
，
（i），，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，，，
平面的一个法向量为，
，
则二面角的正弦值为；
（ii）假设在线段上存在点，使得点到平面的距离是，
设，，
则，，
由（2）知平面的一个法向量为，
，
点到平面的距离是 ，
，，.
18．（17分）已知抛物线E：（p>0），过点的两条直线l1，l2分别交E于AB两点和C，D两点．当l1的斜率为时，
(1)求E的标准方程：
(2)设G为直线AD与BC的交点，证明：点G必在定直线上．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据直线的点斜式方程写出直线方程，与抛物线联立方程，利用弦长公式，求出的值，从而求出抛物线的标准方程；
（2）设直线方程为或，与抛物线联立方程，由韦达定理得出，，求出直线方程和直线方程，求出交点的横坐标，然后进行化简，可以证明结论.
【详解】（1）当的斜率为时，得方程为，
由,消元得，，，；
由弦长公式得，
即，解得或（舍去），满足，
从而的标准方程为.
（2）法一：因为l1，l2分别交E于AB两点和C，D两点，所以直线斜率存在
设直线的方程为，设，
由，消去得，则.
设直线的方程为，
同理，消去得可得．
直线方程为，即，
化简得，
同理，直线方程为，
因为在抛物线的对称轴上，由抛物线的对称性可知，交点必在垂直于轴的直线上，所以只需证的横坐标为定值即可．
由消去，
因为直线与相交，所以，
解得，
所以点的横坐标为2，即直线与的交点在定直线上．
法二：设直线方程为，由消去得，
设，则．
设直线的方程为，
同理可得．
直线方程为，即，
化简得，
同理，直线方程为，．
因为在抛物线的对称轴上，由抛物线的对称性可知，交点必在垂直于轴的直线上，所以只需证的横坐标为定值即可．
由消去，
因为直线与相交，所以，
解得，
所以点的横坐标为2，即直线与的交点在定直线上．
【点睛】关键点点睛：本题中的证明问题的关键是：设出直线的横截距或者纵截距方程，联立抛物线，结合韦达定理，把目标逐步化简，得出待证明的结论.
19．（17分）用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”．现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇．衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点，处的曲率．
（1）求曲线在处的曲率的平方；
（2）求余弦曲线曲率的最大值；
（3）若，判断在区间上零点的个数，并写出证明过理．
【解析】（1），，，
所以，
．
（2），，，
所以，
，
令，则，，，
设，则，
显然当，时，，递减，所以（1）．最大值为1，
所以的最大值为1．
（3）在区间上有且仅有2个零点．
证明：，所以，
①当时，因为，，则，，
，在单调递增．
又，．在上有一个零点，
②设，则
当时，，单调递增，，
又，
恒成立，
在上无零点．
③当时，，，
在上单调递减，
又，．
在上必存在一个零点．
综上，在区间上有且仅有2个零点．
语文兴趣
数学兴趣
英语兴趣
物理兴趣
化学兴趣
生物兴趣
答卷份数
350
470
380
400
300
500
兴趣良好频率
0.7
0.9
0.8
0.5
0.8
0.8
0
1
2
3