初中数学北师大版（2024）八年级下册平行四边形的判定精品同步练习题

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知识一遍过
（一）平行四边形的判定
（二）三角形中位线性质
三角形中位线定理：
三角形的中位线平行第三边，并且等于它的一半.
如图：DE=BC
考点一遍过
考点1：平行四边形的判定——两组对边平行
典例1：（2023下·八年级课时练习）已知：如图，直线a//b，A，B是直线a上任意两点，AC⊥b,BD⊥b，垂足分别为C，D．
求证：AC=BD．
【变式1】（2023·广西柳州·统考中考真题）平行四边形的其中一个判定定理是：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．请你证明这个判定定理．
已知：如图，在四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC．
求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明：
【变式2】（2023·全国·九年级专题练习）如图，在△ABC中，点D，E分别为AB，AC的中点，延长DE到点F，使得EF=DE，连接CF．求证：
(1)△CEF≌△AED；
(2)四边形DBCF是平行四边形．
【变式3】（2023下·陕西渭南·八年级统考期末）如图，在▱ABCD中，点E是CD延长线上的一点，连接AE，∠EAD=∠DBC，BE交AD于点F．

(1)求证：四边形ABDE为平行四边形；
(2)若∠BAD=4∠EAD，∠BDC=50°，求∠C的度数．
考点2：平行四边形的判定——两组对边相等
典例2：（2023下·八年级课时练习）如图，由六个全等的正三角形拼成的图中，有多少个平行四边形？为什么？
【变式1】（2024下·八年级课时练习）如图，已知△ABD、△ACE、△BCF都是等边三角形，点E、C、F不在同一条直线上．你能证明四边形CFDE是平行四边形吗？
【变式2】（2023下·八年级课时练习）如图，以平行四边形ABCD的边AB、CD为边，作等边△ABE和等边△CDF，连接DE，BF．求证：四边形BFDE是平行四边形．

【变式3】（2023下·八年级课时练习）如图，以三角形ABC的三边分别作等边△ABD，△BCE，△CAF，求证四边形ADEF是平行四边形．
考点3：平行四边形的判定——一组对边平行且相等
典例3：（2023下·辽宁大连·八年级期末）如图，点D，C在BF上，AC∥DE，∠BAC=∠DEF，BD=CF．

(1)求证AB=EF；
(2)连接AF，BE，猜想四边形ABEF的形状，并说明理由．
【变式1】（2022下·广东深圳·八年级统考期末）已知：如图，在四边形ABCD中，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E，F，延长DE、BF，分别交AB于点H，交BC于点G，若AD∥BC，AE=CF．

(1)求证：四边形ABCD为平行四边形；
(2)若∠DAH=∠GBA，GF=2，CF=4，求AD的长．
【变式2】（2023下·河南驻马店·八年级统考期末）如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，点E为AO的中点，过点A作AF∥BD交BE的延长线于点F，连接DF．求证：四边形AODF是平行四边形．

【变式3】（2023下·浙江·八年级专题练习）如图，已知AD∥BC，DE∥BF，点A、E、F、C在同一直线上且AF=CE．求证：四边形DEBF是平行四边形．
考点4：平行四边形的判定——对角线互相平分
典例4：（2022下·八年级课时练习）已知：如图，AC是▱ABCD的一条对角线．延长AC至F，反向延长AC至E，使AE=CF．求证：四边形EBFD是平行四边形．
【变式1】（2022下·八年级课时练习）已知：如图，在▱ABCD中，E，F是对角线AC上的两个点，G，H是对角线BD上的两点，AE=CF，DG=BH．求证：四边形EHFG是平行四边形．
【变式2】（2023下·八年级课时练习）如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，且OA=OC,OB=OD．求证：四边形ABCD是平行四边形．
【变式3】（2023·九年级课时练习）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D为AB边上一点，连接CD，E为CD中点，连接BE并延长至点F，使得EF=EB，连接DF交AC于点G，连接CF．
（1）求证：四边形DBCF是平行四边形；
（2）若∠A=30°，BC=4，CF=6，求CD的长．
考点5：平行四边形的性质与判定综合
典例5：（2022下·九年级单元测试）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AE为高，且AE=12，BD=15，AC=20．
(1)求AB+CD的长；
(2)求证∶ AC⊥BD．
【变式1】（2023上·辽宁葫芦岛·八年级校考期末）如图，在▱ABCD中，∠BAD，∠ADC的平分线AF，DE分别与线段BC交于点F，E，AF与DE交于点G．
(1)求证：AF⊥DE，BF=CE．
(2)若AD=10，AB=6，AF=8，求DE的长度．
【变式2】（2023下·广东广州·八年级统考期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，连接CE并延长交BA的延长线于点F，连接AC，DF．

(1)求证：△AEF≌△DEC；
(2)求证：四边形ACDF是平行四边形．
【变式3】（2022上·八年级单元测试）已知：如图，在▱ABCD中，对角线AC交BD于点O，DE∥AC，DE=12AC．

(1)求证：四边形AODE是平行四边形．
(2)不添加辅助线，图中还有哪些平行四边形？并说明理由．
考点6：三角形中位线——求角
典例6：（2023下·山东济南·八年级统考期末）如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，点E，F分别是AB，CD的中点，AD=BC，∠EPF=140∘．则∠EFP的度数是（ ）
A．50∘B．40∘C．30∘D．20∘
【变式1】（2023下·江苏苏州·八年级统考期末）如图，在ΔABC中，已知D，E分别为边AB，AC的中点，连结DE，若∠C=70°，则∠AED等于（ ）
A．70ºB．67. 5ºC．65ºD．60º
【变式2】（2023·山东济南·校联考一模）如图1，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，将△ADE沿线段DE向下折叠，得到图下列关于图2的四个结论中，不一定成立的是（ ）
A．点A落在BC边的中点B．∠B+∠1+∠C=180°
C．△DBA是等腰三角形D．DE∥BC
【变式3】（2023上·浙江金华·九年级校联考开学考试）如图，△ABC是锐角三角形，E是BC的中点，分别以AB，AC为边向外侧作等腰三角形ABM和等腰三角形ACN．点D，F分别是底边BM，CN的中点，连接DE，EF，若∠BAM=∠CAN=θ（是锐角），则∠DEF的度数是（ ）

A．180−2θB．180−θC．90+2θD．90+θ
考点7：三角形中位线——求线段
典例7：（2024上·江西吉安·九年级统考期末）如图，△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，若BC=4，则DF的长为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式1】（2023·浙江宁波·校联考模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=BC，AC=4，D，F分别是AB，BC边的中点，DE⊥AC于点E．连接EF，则EF的长为（ ）
A．2B．3C．22D．5
【变式2】（2023上·重庆九龙坡·八年级重庆实验外国语学校校考期末）如图，在△ABC中，CF、BE分别平分∠ACB和∠ABC，过点A作AD⊥CF于点D，作AG⊥BE于点G，若AB=9，AC=8，BC=7，则GD的长为（）
A．5.5B．5C．6D．6.5
【变式3】（2023下·湖北武汉·八年级湖北省水果湖第二中学校考期中）如图，在凸四边形ABCD中，AB=10，CD=14，M，N分别为AD，BC中点，则线段MN的值不可能是（ ）
A．1B．4C．8D．12
考点8：三角形中位线——证明题
典例8：（2022下·广东广州·九年级校考阶段练习）如图，点D、F分别为AC、BC的中点，AB=CD，AC=DE，求证：BC=CE．

【变式1】（2023上·江苏淮安·九年级统考阶段练习）如图，△ABC中，点D、E分别为AB、AC的中点，延长DE到点F，使得EF=DE，连接CF．求证：

(1)△CEF≌△AED；
(2)四边形DBCF是平行四边形．
【变式2】（2023下·湖南邵阳·八年级统考期中）已知：如图，在四边形ABCD中，AD=BC，P为对角线BD的中点，M为AB的中点，N为DC的中点．求证：∠PMN=∠PNM．

【变式3】（2023下·陕西西安·八年级校考期末）如图，在△ABC中，点D为边BC的中点，点F为边AC上一点．过A作AE⊥BF于点E，且AE平分∠BAC，过E作EG∥BC交于点G．
求证：四边形DEGC为平行四边形．

考点9：三角形中位线——辅助线
典例9：（2024上·山东淄博·八年级统考期末）如图，△ABC的中线BE，CF相交于点G，求证：BG=2GE，CG=2GF．
【变式1】（2023下·全国·八年级假期作业）如图，AO是△ABC的角平分线，BD⊥AO，交AO的延长线于点D，E是BC的中点．求证：DE=12AB−AC．
【变式2】（2023上·福建莆田·九年级校考期中）如图1，在等边△ABC中，点D、E分别是BC、AB上的点，CD=BE，CE与AD交于点O．
(1)填空：∠AOC= 度；
(2)如图2，将AO绕点A旋转60°得AF，连接BF、OF，求证：BF=OC；
(3)如图3，若点G是AC的中点，连接BO、GO，判断BO与GO有什么数量关系？并说明理由．
【变式3】（2023下·福建福州·八年级统考期中）如图1，在四边形ABCD中，E，F，G，H是各边中点，连接EF,EH,HG,GF．可得到以下结论：
结论1：四边形EFGH是平行四边形：
结论2：四边形EFGH的面积是四边形ABCD的一半：


(1)试证明结论
(2)探究与应用：（提示：以下问题可以直接使用上述结论）
①如图2，在四边形ABCD中，E，G分别为边AB,DC的中点，连接EG．已知AD=8，BC=6．求出线段EG的取值范围．
②如图3，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB,BC,CD,AD的中点，连接EG,FH交于点O．若HF=10，EG=7，∠EOH=60°，试求出四边形ABCD的面积．
同步一遍过
一、单选题
1．（2022下·湖南湘西·八年级统考期末）顺次连结任意四边形各边中点所得的四边形必定是（ ）
A．任意四边形B．平行四边形C．菱形D．矩形
2．（2023下·广东广州·八年级广州市培正中学校考期中）如图，D、E、F是△ABC各边的中点，连接DE、EF、FD，可组成（ ）个平行四边形．
A．1B．2C．3D．4
3．（2022下·江苏泰州·八年级校考阶段练习）如图，▱ABCD中，直线EF∥BD，并且与CD、CB的延长线分别交于E、F，交AD于M，交AB于N．下列结论错误的是（ ）
A．EN=FMB．CE=CFC．AM+BF=BCD．△BFN≌△DME
4．（2022下·八年级单元测试）如图，点P是平行四边形ABCD内一点，已知S△PAB＝7，S△PAD＝4，那么S△PAC等于（ ）
A．4B．3.5C．3D．无法确定
5．（2022上·北京海淀·八年级校考期末）如图，E、F是四边形ABCD两边AB，CD的中点，G，H是两条对角线AC，BD的中点，若EH=6，且AD≠BC，则以下说法不正确的是（ ）
A．EH∥GFB．GF=6C．AD=12D．BC=12
6．（2022上·八年级单元测试）若以A(-0.5，0)，B(2，0)，C(0，1)三点为顶点要画平行四边形，则第四个顶点不可能在( )
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
7．（2023下·江苏无锡·七年级校联考期中）如图，△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8，点E是AB的中点，BD=2CD，则△BDE的面积是 （ ）
A．4B．6C．8D．12
8．（2023下·四川阿坝·八年级统考期末）如图，小明为了测量学校里一池塘的宽度AB，选取可以直达A，B两点的点O处，再分别取OA，OB的中点M，N，量得MN=20m，则池塘的宽度AB为（ ）m．
A．40B．35C．30D．25
9．（2023上·湖北十堰·八年级校联考期中）如图，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，给出以下四个结论：
①AE=CF；②△EPF是等腰直角三角形；③S四边形AEPF=12S△ABC；④EF=AP．上述结论始终正确的有（ ）
②③
A．①②③④B．①②③C．①③④D．②③④
10．（2023下·江西赣州·八年级统考阶段练习）在四边形ABCD中，AD∥BC，要使四边形ABCD是平行四边形，可添加的条件不正确的是（ ）
A．AB∥CDB．∠B＝∠DC．AD＝BCD．AB＝CD
二、填空题
11．（2023上·福建泉州·九年级阶段练习）如图，点D，E分别是△ABC的BC，AC边的中点，若AB=6，则DE的长等于 ．
12．（2023下·广西南宁·八年级统考期末）在水塘江乐水公园里，A，B两地被一块湿地隔开不能直接测量，技术员通过下列的方法测量了A，B之间的距离：先在AB外选一点C，然后测出AC，BC的中点M，N，并测量出MN的长为200m，则A、B间的距离为 m．
13．（2023上·黑龙江大庆·八年级统考期末）在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，若BC=4，则DE= ．
14．（2022下·江西九江·八年级统考期末）Rt△A1B1C1的两直角边A1C1，B1C1的长分别是5，12，以△A1B1C1三边的中点为顶点的三角形记为△A2B2C2．以△A2B2C2三边的中点为顶点的三角形记为△A3B3C3．以此类推，则△A5B5C5的周长为 ．
15．（2023下·湖南邵阳·八年级统考期中）如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，E，F，G，H分别是AB，AC，CD，BD的中点．若AD＝5，BD＝4，CD＝3，则四边形EFGH的周长是 ．
16．（2022上·上海青浦·八年级校考期末）如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=6，以AB边的中点D为旋转中心按顺时针方向旋转△ABC，将A、B、C的对应点记为A1、B1、C1，当B1C1⊥AB时，点B与点C1的距离为 ．
三、解答题
17．（2023下·安徽滁州·八年级统考期末）如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，连接DF，EF，BF．
（1）求证：四边形BEFD是平行四边形；
（2）若∠AFB=90°，AB=8，求四边形BEFD的周长
18．（2022下·四川自贡·八年级校考期中）如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，点O是△ABC内部任意一点，连接OB、OC，点G、F分别是OB、OC的中点，顺次连接点D、G、F、E．求证：四边形DGFE是平行四边形．
19．（2022下·辽宁·八年级统考期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E，点F在直线BD上，且AF ∥EC，连接AE，CF．
求证：四边形AECF是平行四边形．
20．（2023·湖北襄阳·统考一模）如图，在ABC中，AB＝AC，E是AC的中点，D是BA延长线上的一点．
(1)实践与操作：利用尺规作∠DAC的平分线AM，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)猜想与证明：请你连接BE并延长交AM于点F，连接CF，猜想四边形ABCF的形状并证明．
21．（2023下·陕西榆林·八年级统考期末）如图，在▱ABCD中，AC为对角线，E，F分别为AB，AC的中点，连接EF，若AD＝10，求EF的长．
22．（2023下·山东菏泽·八年级统考期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC交BD于点O，四边形AODE是平行四边形．求证：四边形ABOE是平行四边形．

23．（2023·江苏镇江·统考一模）如图1，已知点A、B、C、D在一条直线上，BF、CE相交于O，AE＝DF，∠E＝∠F，OB＝OC．
（1）求证：△ACE≌△DBF；
（2）如果把△DBF沿AD折翻折使点F落在点G，如图2,连接BE和CG． 求证：四边形BGCE是平行四边形．
24．（2023·山东枣庄·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AB=AC，D是BA延长线上的一点，点E是AC的中点.
(1)实践与操作：利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应字母(保留作图痕迹，不写作法).
①作∠DAC的平分线AM；
②连接BE并延长交AM于点F；
③连接FC．
(2)猜想与证明：猜想四边形ABCF的形状，并说明理由.
25．（2023下·湖北武汉·八年级校考阶段练习）在四边形ABCD中，AD//BC，AD+BC=BD，AC与BD交于点F．
(1) 如图1，求证：判断△BCF的形状并证明你的结论
(2) 如图2，若∠BAC=45°，且CF=2AF，猜想：∠DBC和∠ABD的数量关系并证明
(3) 如图3，若∠BAC=60°，点E在AD上，∠ACE=∠ABD，AD=2，CE=5，则BD＝_____平行四边形的判定：
几何表达式举例：
(1) ∵AB∥CD AD∥BC
∴四边形ABCD是平行四边形
(2) ∵AB=CD AD=BC
∴四边形ABCD是平行四边形
(3)∵∠A=∠B ∠C=∠D
∴四边形ABCD是平行四边形
（4）∵AB=CD AB∥CD
∴四边形ABCD是平行四边形
（5）∵OA=OC OB=OD
∴四边形ABCD是平行四边形