北师大版初中数学八年级下册 专题05 平行四边形单元过关【培优版】—重难考点强化训练 (原卷版+解析版）

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专题05 平行四边形单元过关（培优版） 考试范围：第6章；考试时间：120分钟；总分：150分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）1．正五边形ABCDE和等边△ABF如图摆放，则∠AFC等于（    ）  A．126°B．132°C．120°D．108°【答案】A【分析】本题考查多边形内角和、等腰三角形的性质、等边三角形的性质，根据多边形内角和公式可求出∠ABC的度数，根据正五边形的性质可得AB=BC，根据等边三角形的性质可得∠ABF=∠AFB=60°，AB=BF，可得BF=BC，根据角的和差关系可得出∠FBC的度数，根据等腰三角形的性质可求出∠BFC的度数，根据角的和差关系即可得答案，熟练掌握多边形内角和公式是解题关键．【详解】解：∵ABCDE是正五边形，∴∠ABC=(5−2)×180°5=108°，AB=BC，∵△ABF等边三角形，∴∠ABF=∠AFB=60°，AB=BF，∴BF=BC，∠FBC=∠ABC−∠ABF=108°−60°=48°，∴∠BFC=12(180°−∠FBC)=12(180°−48°)=66°，∴∠AFC=∠AFB+BFC=126°故选：A．2．如图，平行四边形ABCD的周长是56cm，ΔABC的周长是36m，则AC的长为( )A．6cmB．12cmC．4cmD．8cm【答案】D【分析】ΔABC的周长=AB+BC+AC，而AB+BC为平行四边形ABCD的周长的一半，代入数值求解即可．【详解】因为四边形ABCD是平行四边形，∴AB=DC，AD=BC，∵▱ABCD的周长是56cm，∴AB+BC=28cm，∵△ABC的周长是36cm，∴AB+BC+AC=36cm，∴AC=36cm−28cm=8cm.故选D．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，根据题意列出三角形周长的关系式，结合平行四边形周长的性质求解是本题的关键．3．下列命题是真命题的是（    ）A．立方根等于它本身的数是0，1，−1B．三角形的任意两边之和小于第三边C．采用抽样调查的方式检查飞机零部件D．五边形的内角和是720°【答案】A【分析】根据立方根，三角形三边的关系，中心对称图形的定义，多边形内角和公式进行逐一判断即可．【详解】解：A、立方根等于它本身的数是0，1，−1，故A选项说法正确，是真命题，符合题意；B、三角形的任意两边之和大于第三边，故B选项说法错误，是假命题，不符合题意；C、检查飞机零部件需采用普查的方式，故C选项说法错误，是假命题，不符合题意；D、五边形的内角和是540°，故D选项说法错误，是假命题，不符合题意．故选A．【点睛】本题主要考查了判断命题真假，熟知立方根、三角形三边的关系、抽样调查与普查、多边形内角和公式是解题的关键．4．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，D，E分别是BC，AC的中点，连接DE．以点A为圆心，适当长度为半径作弧，分别交AC，AB于点M，N；以点D为圆心，AM长为半径作弧交DE于点P；以点P为圆心，MN长为半径作弧，交前面的孤于点Q；作射线DQ交AB于点F．则AF的长为（　　）  A．3B．4C．5D．6【答案】C【分析】由勾股定理求出AB，根据三角形中位线定理得到DE=12AB=5，DE∥AB，结合基本作图可证得四边形AFDE是平行四边形，根据平行四边形的性质即可求出AF．【详解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，∴AB=AC2+BC2=62+82=10，∵D，E分别是BC，AC的中点，∴DE=12AB=5，DE∥AB，∴∠CED=∠A，由作图可知，∠EDF=∠A，∴∠CED=∠EDF，∴AE∥DF，∴四边形AFDE是平行四边形，∴AF=DE=5，故选：C．【点睛】本题主要考查了勾股定理，三角形的中位线定理，平行四边形的判定和性质，平行线的判定和性质，基本作图，根据三角形中位线定理，结合基本作图可证得四边形AFDE是平行四边形是解决问题的关键．5．如图，点P是∠AOB的角平分线OC上一点，PD⊥OA，垂足为点D，PD＝2，M为OP的中点，则点M到射线OB的距离为（　　）A．12B．1C．2D．2【答案】B【分析】根据角平分线的性质解答即可【详解】解：作PE⊥OB于E，MN⊥OB于N，∵OP平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PE＝PD＝2，∵PE⊥OB，MN⊥OB，∴PE∥MN，又M为OP的中点，∴MN＝12 PE＝1，即点M到射线OB的距离为1，故选B．【点睛】此题考查角平分线的性质，解题关键在于熟练运用角平分线的性质，作出辅助线6．如图，已知△ABC的面积为36，点D在线段AC上，点F在线段BC的延长线上，且BC=4CF，四边形DCFE是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（    ）  A．8B．6C．9D．12【答案】C【分析】过点B作BG⊥ED，交ED的延长线于G，过点A作AH⊥BC于H，交ED的延长线于M，根据平行四边形的性质和平行线之间的距离处处相等可得DE=CF，AH⊥DE，BG=MH，根据三角形的面积推出DE·AH=18，然后根据S阴影=S△ADE＋S△BDE即可求出结论．【详解】解：过点B作BG⊥ED，交ED的延长线于G，过点A作AH⊥BC于H，交ED的延长线于M  ∵四边形DCFE是平行四边形，∴DE=CF，AH⊥DE，BG=MH∵△ABC的面积为36，BC=4CF∴12BC·AH=36，BC=4DE∴12×4DE·AH=36∴DE·AH=18∴S阴影=S△ADE＋S△BDE=12DE·AM＋12DE·BG=12DE（AM＋MH）=12DE·AH=9故选C．【点睛】此题考查的是平行四边形的性质和三角形的面积公式，掌握平行四边形的性质和三角形的面积公式是解决此题的关键．7．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．则下列结论不正确的是（    ）  A．OA=OCB．AD=BCC．△AOB≌△BOCD．∠ADC=∠ABC【答案】C【分析】根据平行四边形的性质进行判断即可．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，AD=BC，∠ADC=∠ABC，故A、B、D正确；∵∠ABO≠∠CBO，AB≠BC，∴△AOB和△BOC不一定全等，故C错误，故选：C．【点睛】本题考查平行四边形的性质，熟记平行四边形的性质是解题的关键．8．如图，在▱ABCD中，DB=DC，∠C=72°，AE⊥BD于E，则∠DAE等于（ ）A．16°B．18°C．20°D．28°【答案】B【分析】由等腰三角形的性质得出∠C=∠DBC=72°，由平行四边形的性质得出AD∥BC，证出∠DBC=∠ADE=72°，由直角三角形的性质可求出答案．【详解】解：∵DB=DC，∴∠C=∠DBC=72°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DBC=∠ADE=72°，∵AE⊥BD，∴∠AED=90°，∴∠DAE=90°−∠ADE=90°−72°=18°．故选B．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，平行四边形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．9．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC=60°，AB=12BC，连接OE，下列结论：①∠CAD=30°；②S▱ABCD=12AB•AC；③OB=AB；④OE= 14BC，成立的个数有（     ）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【分析】由▱ABCD中，∠ADC=60°，易得ΔABE是等边三角形，又由AB=12BC，证得①∠CAD=30°；继而证得AC⊥AB，得②S▱ABCD=AB⋅AC；可得OE是三角形的中位线，证得④OE=14BC．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠EAD=60°∴ΔABE是等边三角形，∴AE=AB=BE，∵AB=12BC，∴AE=12BC，∴∠BAC=90°，∴∠CAD=30°，故①正确；∵AC⊥AB，∴S▱ABCD=AB⋅AC，故②错误；∵AB=12BC，OB=12BD，∵BD>BC，∴AB≠OB，故③错误；∵∠CAD=30°，∠AEB=60°，AD//BC，∴∠EAC=∠ACE=30°，∴AE=CE，∴BE=CE，∵OA=OC，∴OE=12AB=14BC，故④正确；故选：B．【点睛】此题考查了平行四边形的性质、三角形中位线的性质以及等边三角形的判定与性质．注意证得ΔABE是等边三角形，OE是ΔABC的中位线是关键．10．如图，△ABC的周长是24，点D、E在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为点Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为点P，若BC=10，则PQ的长为（    ）  A．5B．4C．2D．3【答案】C【分析】先证明△APC≌△DPC，得到CA=CD，根据等腰三角形的三线合一性质，得到PA=PD，同理可证，QA=QE，得到中位线PQ，根据△ABC的周长是24，BC=10，代入计算即可．【详解】∵∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为点P，∴∠ACP=∠DCP,∠CPA=∠CPD=90°，∵∠ACP=∠DCPCP=CP∠CPA=∠CPD=90°，∴△APC≌△DPCASA，∴CA=CD，根据等腰三角形的三线合一性质，得到PA=PD，同理可证，QA=QE,BA=BE，∴PQ是△ADE的中位线，∴PQ=12DE，∵△ABC的周长是24，BC=10，∴AB+BC+CA=24，∴BE+BC+CD=24，∴BE+EC+BC+DE=24，∴BC+BC+DE=24，∴10+10+DE=24，解得DE=4，∴PQ=12DE=2，故选C．【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形中位线定理，熟练掌握等腰三角形的判定和性质，三角形中位线定理是解题的关键．第II卷（非选择题）11．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且∠DAB=90°，∠OAD=65°，则∠ODC= °．【答案】25【分析】利用互余关系求出∠CAB的度数，证明△DAB≌△CBA，求出∠DBA=∠CAB，利用平行线的性质，得到∠ODC=∠DBA=∠CAB，即可得解．【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∠DAB=90°，∴AD=BC，∠CBA=180°−∠DAB=90°，AB∥CD，∴∠CBA=∠DAB，∵AB=AB，∴△DAB≌△CBASAS，∴∠DBA=∠CAB，∵∠OAD=65°，∴∠DBA=∠CAB=∠DAB−∠OAD=90°−65°=25°，∵AB∥CD，∴∠ODC=∠DBA=25°；故答案为：25．【点睛】本题考查平行四边形的性质及全等三角形的判定和性质．熟练掌握平行四边形的性质，是解题的关键．12．如图，在▱ABCD中，∠DAB=60°,AB=6,AD=4，作∠ABC的平分线交AD的延长线于点E，交CD于点F，若G，O分别是EF，AC的中点，则GO的长为 ．【答案】7【分析】连接BD，DG，由平行四边形的性质可得AB//CD，AD//BC，AB=CD=6，AD=BC=4，∠DCB=∠DAB=60°，AO=CO，BO=DO，由角平分线的性质可得∠ABF=∠CBF=∠CFB，可求CF=BC=4，可得DF=2，可证ΔBCF是等边三角形，可得BF=BC=4，由直角三角形的性质可求DG，GF，由勾股定理可求DB的长，即可求解．【详解】解：如图，连接BD，DG，∵四边形ABCD是平行四边形，O为AC中点，∴B、O、D三点共线，AB//CD，AD//BC，AB=CD=6，AD=BC=4，∠DCB=∠DAB=60°，AO=CO，BO=DO，∴∠EDC=∠DAB=60°，∠ABF=∠CFB，∵BF平分∠ABC，∴∠ABF=∠CBF，∴∠ABF=∠CBF=∠CFB，∴CF=BC=4，∴DF=2，∵AD//BC，∴∠E=∠CBF=∠BFC=∠DFE，∴DE=DF=2，∵点G是EF的中点，∴DG⊥EF，∠GDF=30°，∴GF=1，DG=3GF=3，∵CF=BC=4，∠DCB=∠DAB=60°，∴ΔBCF是等边三角形，∴BF=BC=4，∴GB=5，∴DB=DG2+BG2=3+25=27，∵∠DGB=90°，BO=DO，∴GO=12DB=7，故答案为：7．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造直角三角形是本题的关键．13．已知梯形的两底长分别为2和8，两腰的长分别为4与a，那么字母a的取值范围为 ．【答案】2