人教版（2024）八年级下册平行四边形的性质优秀一课一练

这是一份人教版（2024）八年级下册平行四边形的性质优秀一课一练，文件包含专题01平行四边形的性质与判定知识串讲+9大考点原卷版docx、专题01平行四边形的性质与判定知识串讲+9大考点解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共85页， 欢迎下载使用。

知识一遍过
（一）平行四边形的性质
（二）平行四边形的判定
（三）三角形中位线性质
三角形中位线定理：
三角形的中位线平行第三边，并且等于它的一半.
如图：DE=BC
考点一遍过
考点1：平行四边形性质——求角
典例1：（2023上·重庆九龙坡·八年级重庆实验外国语学校校考期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=2AD，点E、点G分别是OC、AB的中点，连接BE、GE，若∠ABE=42°，则∠AEG的度数为（ ）
A．42°B．45°C．46°D．48°
【答案】D
【分析】本题主要考查了平行四边形性质、等腰三角形的三线合一、直角三角形斜边上的中线等知识点，熟悉这些知识点是解题的关键，由平行四边形的性质和已知条件可以得到△BCO是等腰三角形，再根据三线合一得到BE⊥OC，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到AG=EG，进而得到∠AEG=∠EAG=90°−∠ABE=48°．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形；
∴BC=AD，BD=2BO；
∵BD=2AD；
∴BD=2BC=2BO；
∴BC=BO；
∴△BCO是等腰三角形；
∵点E是OC的中点；
∴BE⊥OC；
∴△BEA是直角三角形；
∵点G是AB的中点；
∴EG=12AB，AG=12AB；
∴AG=EG；
∴∠AEG=∠EAG；
∵∠ABE=42°；
∴∠AEG=∠EAG=90°−∠ABE=90°−42°=48°；
故选：D．
【变式1】（2023上·新疆乌鲁木齐·八年级校联考期中）如图，▱ABCD与▱DCFE的周长相等，且∠BAD=60°，∠F=110°，则∠DAE的度数为（ ）

A．55°B．25°C．30°D．35°
【答案】B
【分析】延长CD交AE于点G，根据平行四边形的性质、平行线的性质求出∠ADG，∠EDG，进而求出∠ADE，再根据▱ABCD与▱DCFE的周长相等，推出AD=DE，最后根据等腰三角形“等边对等角”、三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：∵▱ABCD与▱DCFE中，∠BAD=60°，∠F=110°，
∴由平行四边形的性质可得，∠BCD=∠BAD=60°，∠DCF=180°−∠F=70°．
如图，延长CD交AE于点G，

∵▱ABCD中AD∥BC，▱DCFE中DE∥CF，
∴∠ADG=∠BCD=60°，∠EDG=∠DCF=70°，
∴∠ADE=∠ADG+∠EDG=60°+70°=130°，
∵▱ABCD与▱DCFE的周长相等，且有公共边CD，
∴AD=DE，
∴∠DAE=∠DEA，
∴∠DAE=12180°−∠ADE=12×180°−130°=25°，
故选B．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等，求出∠ADE的度数、证明△ADE是等腰三角形是解题的关键．
【变式2】（2022下·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨风华中学校考阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD且交BC于点E，∠C=122°，则∠AEB的大小是（ ）
A．61°B．109°C．119°D．122°
【答案】A
【分析】由平行四边形的性质可得AD∥BC,∠BAD=122°，由角平分线的性质和平行线的性质可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD=∠C=122°,
∵AE平分∠BAD,
∴∠DAE=61°,
∵AD∥BC,
∴∠AEB=∠DAE=61°,
故选：A．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
【变式3】（2023上·重庆·九年级巴南中学校校联考阶段练习）如图，四边形ABCD是平行四边形，线段BE垂直平分边CD于点E，点F是边AD上一点，连接BF，若BF=DF，∠CBE=α，则∠BFA的度数是（ ）

A．4αB．3αC．2αD．180°−α
【答案】A
【分析】连接BD，根据线段BE垂直平分边CD可得∠CBD=2α，再由平行的性质可得∠CBD=∠ADB=2α，最后由BF=DF得到∠FBD=∠ADB=2α，即可根据三角形外角性质得到∠BFA．
【详解】连接BD，如图，

∵线段BE垂直平分边，
∴BD=BC，
∴BE平分∠CBD
∴∠CBD=2∠CBE=2α，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠CBD=∠ADB=2α，
∵BF=DF，
∴∠FBD=∠ADB=2α，
∴∠BFA=∠FBD+∠ADB=4α，
故选：A．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形三线合一的性质，涉及的知识点多但是难度不大，解题的关键是熟悉相关的性质．
考点2：平行四边形性质——求线段
典例2：（2022下·安徽安庆·八年级统考期末）平行四边形ABCD的面积为12，过点A作AE⊥直线BC于点E，作A作AF⊥直线DC于点F．若AB=4，BC=6，则CE+CF的值为（ ）
A．10+53B．10−53
C．10±53D．10+53或2+3
【答案】D
【分析】由平行四边形的性质得AB=CD=4，AD=BC=6，由▱ABCD的面积为12，AE⊥BC，AF⊥DC，得6AE=4AF=12，求得AE=2，AF=3，则BE=AB2−AE2，DF=AD2−AF2，再分两种情况讨论，一是当∠ABC为锐角时；二是当∠ABC为钝角时，分别求出即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB=4，BC=6，
∴AB=CD=4，AD=BC=6，
∵▱ABCD的面积为12，AE⊥BC，AF⊥DC，
∴6AE=4AF=12，∠AEB=∠AFD=90°，
∴AE=2，AF=3，
∴BE=AB2−AE2=42−22=23，DF=AD2−AF2=62−32=33，
当∠ABC为锐角时，如图1，
∵CE=BC−BE=6−23，CF=DF−CD=33−4，
∴CE+CF=6−23+33−4=2+3；
当∠ABC为钝角时，如图2，
∵CE=BC+BE=6+23，CF=CD+DF=4+33，
∴CE+CF=6+23+4+33=10+53，
综上所述，CE+CF的值为10+53或2+3，
故选：D．
【点睛】此题重点考查平行四边形的性质、平行四边形的面积公式、勾股定理、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，解题时应注意分类讨论，以免丢解．
【变式1】（2022上·天津·九年级统考开学考试）如图，在▱ABCD中，AB=4,AD=7,∠ABC的平分线BE交AD于点E，则DE的长是（ ）

A．4B．3C．3.5D．2
【答案】B
【分析】根据角平分线及平行线的性质可得∠ABE=∠EBC，继而可得AB=AE，根据ED=AD−AE=AD−AB即可得出答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB=∠EBC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE，
∴ED=AD−AE=AD−AB=7−4=3；
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解答本题的关键是得出∠ABE=∠EBC，判断出AB=AE，难度一般．
【变式2】（2021下·福建龙岩·八年级校考阶段练习）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，已知△BOC与△AOB的周长之差为3，▱ABCD的周长为26，则BC的长度为（ ）

A．5B．6C．7D．8
【答案】D
【分析】由平行四边形的性质和已知条件得出：①BC+AB=13，②BC−AB=3，由①+②即可得出BC的长度．
【详解】解：四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，OA=OC，OB=OD，
∵▱ABCD的周长为26，
∴BC+AB=13①，
∵△BOC与△AOB的周长之差为3，
∴(OB+OC+BC)−(OA+OB+AB)=3，
即BC−AB=3②，
由①+②得：2BC=16，
∴BC=8；
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、三角形周长的计算；熟练掌握平行四边形的性质，根据题意得出相邻两边的关系式是解决问题的关键．
【变式3】（2022下·山西临汾·八年级校考期中）如图，在▱ABCD中，∠ABC的平分线交CD的延长线于点E，交AD于点F，BC=9，DE=4，则AB的长为（ ）

A．4B．5C．6D．9
【答案】B
【分析】根据平行四边形额性质，得出∠E=∠ABF，再根据角平分线的定义，得出∠ABF=∠CBF，进而得到CE=9，求出CD=5，即可得到AB的长．
【详解】解：∵▱ABCD中，BC=9，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠E=∠ABF，
∵CD平分∠ABC，
∴∠ABF=∠CBF，
∴∠E=∠CBF，
∴BC=CE=9，
∵DE=4，
∴CD=CE−DE=9−4=5，
∴AB=5，
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，角平分线的定义等知识，灵活运用相关知识解决问题是解题关键．
考点3：平行四边形性质——求面积
典例3：（2023·河南安阳·统考模拟预测）如图，在▱ABCD中，AB=5，BC=4，∠BCD=60°，以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AD，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径作弧，两弧交于点P，连接AP并延长交CD于点E，则四边形ABCE的面积是（ ）

A．6B．12C．63D．123
【答案】C
【分析】如图所示，过点C作CF⊥AB交AB延长线于F，根据平行四边形的性质得到CD=AB=5，AB∥CD，AD=BC=4，求出∠BCF=30°，从而利用勾股定理和含30度角的直角三角形的性质求出CF的长，由作图方法可知AE是∠BAD的角平分线，从而证明∠DEA=∠DAE得到DE=DA=4，则CE=1，再根据梯形面积公式进行求解即可．
【详解】解：如图所示，过点C作CF⊥AB交AB延长线于F，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=5，AB∥CD，AD=BC=4，
∴∠CBF=∠BCD=60°，∠DEA=∠BAE，
∴∠BCF=30°，
∴BF=12BC=2，
∴CF=BC2−BF2=23，
由作图方法可知AE是∠BAD的角平分线，
∴∠DAE=∠BAE，
∴∠DEA=∠DAE，
∴DE=DA=4，
∴CE=1，
∴S四边形ABCE=AB+CE2⋅CF=1+52×23=63，
故选C．

【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理，角平分线的尺规作图，含30度角的直角三角形的性质，等角对等边等等，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
【变式1】（2023下·云南昭通·八年级统考期中）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过点O的直线分别与AC、BD交于点E、F．若▱ABCD的面积为80，则图中阴影部分的面积是（ ）

A．39B．40C．41D．42
【答案】B
【分析】根据矩形的性质得到OA=OC，AB∥DC，推出∠DCA=∠CAB，∠CFE=∠AEF，证△CFO≌△AEO，得出△CFO的面积等于△AEO的面积，再求解即可．
【详解】解：∵矩形ABCD，
∴OA=OC，AB∥DC，
∴∠DCA=∠CAB，∠CFE=∠AEF，
∴△CFO≌△AEOAAS，
∴△CFO的面积等于△AEO的面积，
∵ ▱ABCD的面积是80，
∴S阴=12S▱ABCD=12×80=40，
故选：B．
【点睛】本题主要考查对矩形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的面积，平行线的性质等知识点的理解和掌握，能得出△CFO≌△AEOAAS是解此题的关键．
【变式2】（2023下·安徽滁州·八年级校联考阶段练习）如图，四边形ABCD是平行四边形，点P在直线AB和CD之间，设△APB，△CPD，▱ABCD的面积依次为S1，S2，S3，则下列结论正确的是（ ）

A．2S1+2S2=S3B．3S1+2S2=S3
C．2S1+3S2=S3D．S1=S2=12S3
【答案】A
【分析】如图：过P作PE,PF分别垂直于BA,CD的延长线于E、F，由平行四边形的性质可得AB=CD,▱ABCD的CD边上的高为EF,且EF=PE+PF；再由三角形和平行四边形的面积公式可得S1=12AB⋅PE,S2=12CD⋅PF,S3=CD⋅EF，即2S1=AB⋅PE,2S2=CD⋅PF，然后代入S3=CD⋅EF=CDPE+PF即可解答．
【详解】解：如图：过P作PE,PF分别垂直于BA,CD的延长线于E、F，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD,▱ABCD的CD边上的高为EF,且EF=PE+PF，
∵S1=12AB⋅PE,S2=12CD⋅PF,S3=CD⋅EF
∴2S1=AB⋅PE,2S2=CD⋅PF，
∴S3=CD⋅EF=CDPE+PF=CD⋅PE+CD⋅PF=AB⋅PE+CD⋅PF=2S1+2S2．
故选A．

【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、三角形的面积、平行四边形的面积等知识点，正确作出高是解答本题的关键．
【变式3】（2023下·浙江杭州·八年级校考期中）如图，点P是▱ABCD内的任意一点，连接PA、PB、PC、PD，得到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA，设它们的面积分别是S1、S2、S3、S4，给出如下结论：
①S1+S3=S2+S4；
②如果S4>S2，则S3>S1；
③若S3=2S1，则S4=2S2；
④如果P点在对角线BD上，则S1:S4=S2:S3；
⑤若S1−S2=S3−S4，则P点一定在对角线BD上
其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】根据平行四边形的性质得AB=CD，AD=BC，设点P到AB，BC，CD，DA的距离分别是ℎ1，ℎ2，ℎ3，ℎ4，再根据三角形的面积公式整理判断①；然后根据三角形面积公式可判断②③；再根据两个等高的三角形面积的比等于底的比，得出S1:S4=S2:S3，判断④；最后根据已证关系式，得出S1=S2，S3=S4，判断⑤，综合即可得出答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC．
设点P到AB，BC，CD，DA的距离分别是ℎ1，ℎ2，ℎ3，ℎ4，点C到AB，AD的距离分别为ℎAB，ℎAD，
则S1=12AB·ℎ1，S2=12BC·ℎ2，S3=12CD·ℎ3，S4=12AD·ℎ4．
∵12AB·ℎ1+12CD·ℎ3=12AB⋅ℎAB，12BC·ℎ2+12AD·ℎ4=12AD⋅ℎAD，
∵S平行四边形ABCD=AB⋅ℎAB=AD⋅ℎAD，
∴S2+S4=S1+S3，故①正确；
根据S4>S2只能判断ℎ4>ℎ2，不能判断ℎ3>ℎ1，即不能判断S3>S1，故②错误；
根据S3=2S1，能得出ℎ3=2ℎ1，不能得出ℎ4=2ℎ2，即不能判断S4=2S2，故③错误；
∵点P在对角线BD上，
∴S1:S4=PB:PD，S2:S3=PB:PD，
∴S1:S4=S2:S3，故④正确；
由S1−S2=S3−S4和S2+S4=S1+S3，得S1=S2，S3=S4，
∴S1+S4=S2+S3，
∴S1+S4=12S四边形ABCD=S△ABD，
∴点P一定在对角线在BD上，故⑤正确，
综上所述，正确的结论是①④⑤．
故选C．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、三角形的面积等，用平行四边形的面积表示出相应的两个三角形的面积的和是解本题的关键．
考点4：平行四边形性质——证明题
典例4：（2023下·浙江·八年级专题练习）如图，▱ABCD中，把△ABC沿AC翻折得到△AEC，CE、AD相交于点F．
(1)求证：DE∥AC；
(2)连接BD交AC于点O，连接OE，在不添加辅助线的条件下请直接写出图中所有等腰三角形．
【答案】(1)见解析
(2)△DEF，△ACF，△OED
【分析】本题考查了翻折变换，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，等腰三角形的性质，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键．
（1）由平行四边形的性质和折叠的性质可得AE=CD，∠AEC=∠ADC，由“AAS”可证△AEC≌△CDF，可得EF=FD，AF=FC，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求∠FED=∠ACF，可得DE∥AC；
（2）由全等三角形的性质可得EF=FD，AF=FC，则△DEF，△ACF是等腰三角形，由“SAS”可证△ADO≌△CEO，可得OE=OD，可证△OED是等腰三角形．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，∠B=∠ADC，
∵把△ABC沿AC翻折得到△AEC，
∴AB=AE，∠B=∠AEC，
∴AE=CD，∠AEC=∠ADC，
在△AEF和△CDF中，
∠AEF=∠ADC∠AFE=∠CFDAE=CD，
∴△AEF≌△CDFAAS，
∴EF=FD，AF=FC，
∴∠FED=∠FDE，∠FAC=∠FCA，
又∵∠EFD=∠AFC，
∴∠FED=∠ACF，
∴DE∥AC；
（2）解：∵EF=FD，AF=FC，
∴△DEF，△ACF是等腰三角形，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，AD∥BC，BC=AD，
∴∠DAO=∠BCO，
∵把△ABC沿AC翻折得到△AEC，
∴CE=BC，∠ACB=∠ACE，
∴AD=CE，∠DAO=∠ACE，
在△ADO和△CEO中，
AO=CO∠DAO=∠ECOAD=CE，
∴△ADO≌△CEOSAS，
∴OE=OD，
∴△OED是等腰三角形．
【变式1】（2023下·广东广州·八年级校考期中）平行四边形ABCD中，AE、BF分别平分∠DAB和∠ABC交CD于点E、F，AE、BF交于点G．
(1)求证：AE⊥BF；
(2)判断DE和CF的大小关系，并说明理由
【答案】(1)证明见解析
(2)DE=CF，理由见解析
【分析】本题考查平行四边形的性质、角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型；
（1）证明∠BAE+∠ABF=90°，即可推出∠AGB=90°即AE⊥BF；
（2）证明DE=AD,CF=BC，再利用平行四边形的性质AD=BC，即可解决问题；
【详解】（1）证明：如图，∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC，
∴∠DAB+∠ABC=180°，
∵AE、BF分别平分∠DAB和∠ABC，
∴∠DAB=2∠BAE，∠ABC=2∠ABF，
∴2∠BAE+2∠ABF=180°，即∠BAE+∠ABF=90°，
∴∠AGB=90°，
∴AE⊥BF；
（2）解：结论：线段DF与CE是相等关系，即DF=CE，
∵在平行四边形ABCD中，CD∥AB，
∴∠DEA=∠EAB，
又∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE=∠EAB，
∴∠DEA=∠DAE，
∴DE=AD，同理可得，CF=BC，
又∵在平行四边形ABCD中，AD=BC，
∴DE=CF．
【变式2】（2023下·湖北武汉·八年级湖北省水果湖第二中学校考期中）已知ABCD为平行四边形．
(1)如图1，若AM⊥BC于M，DN⊥BC于N，求证：BM=CN；
(2)如图2，若AC，BD为两条对角线，求证：AC2+BD2=2AB2+BC2．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，
（1）证明△AMB≌△DNC，即可得出结论；
（2）过点A作AM⊥BC于M，过点D作DN⊥BC于N，利用勾股定理进行证明即可．
【详解】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD,AD∥BC，
∵AM⊥BC于M，DN⊥BC于N，
∴AM=DN，∠AMB=∠DNC=90°，
∴△AMB≌△DNCHL，
∴BM=CN；
（2）解：过点A作AM⊥BC于M，过点D作DN⊥BC于N，则：∠AMB=∠AMC=∠DNC=90°，
由（1）可知： BM=CN，
在Rt△DBN和Rt△DCN中，根据勾股定理得：
BD2=BN2+DN2，CD2=DN2+CN2，
∴BD2−CD2=BN2−CN2=BN−CNBN+CN=BCBC+2CN=BC2+2BC⋅CN，
在Rt△ACM和Rt△ABM中，根据勾股定理得：
AC2=AM2+CM2，AB2=AM2+BM2，
∴AC2−AB2=CM2−BM2=CM−BMCM+BM=BCBC−2BM=BC2−2BC⋅BM，
∵BM=CN，AB=CD，
∴BD2+AC2−2AB2=BD2−CD2+AC2−AB2=BC2+2BC⋅CN+BC2−2BC⋅BM=2BC2
∴AC2+BD2=2AB2+BC2．
【变式3】（2022下·新疆乌鲁木齐·八年级校考期末）如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BF=DE，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F．

(1)求证：△ABE≌△CDF；
(2)若AC与BD交于点O，求证：AO=CO．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析．
【分析】（1）由BF=DE，可得BE=DF，由AE⊥BD，CF⊥BD，可得∠AEB=∠CFD=90∘，又由AB=CD，即可证得：△ABE≌△CDF；
（2）由△ABE≌△CDF，即可得∠ABE=∠CDF，根据内错角相等，两直线平行，即可得AB∥CD，又由AB=CD，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可证得四边形ABCD是平行四边形，则可得AO=CO.
【详解】（1）证明：∵BF=DE，
∴BF−EF=DE−EF，即BE=DF，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB=∠CFD=90∘，
∵AB=CD，
∴Rt△ABE≌Rt△CDF；
（2）连接AC，交BD于点O，

∵△ABE≌△CDF，
∴∠ABE=∠CDF，
∴AB∥CD，
∵AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO.
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质与平行四边形的判定与性质．此题难度不大，解题的关键是要注意数形结合思想的应用．
考点5：平行四边形性质——坐标问题
典例5：（2023下·河南驻马店·八年级统考期中）在平面直角坐标系中，已知A−1，0，B3，0，C1,23，若四边形ABCD是平行四边形，则点D的坐标是（ ）
A．−3,23B．−3,3C．−1,23D．2,23
【答案】A
【分析】根据平行四边形的性质得出AD=BC，AB=CD，AD∥BC，AB∥CD，进而利用平移的坐标变换解答即可．
【详解】解：∵平行四边形ABCD，
∴AD=BC，AB=CD，AD∥BC，AB∥CD，
∵A-1，0，B3，0，
∴BC向左平移4个单位可得AD，
∵C1,23，
∴点D的坐标是1−4,23，即D−3,23
故选：A．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，平移坐标规律，掌握平行四边形的性质和点平移坐标变换规律“左减右加”是解题的关键．
【变式1】（2023下·湖北恩施·八年级统考期中）平行四边形ABCD的顶点A,B,C的坐标分别为−2,0,1,0,2,2，则点D的坐标为（ ）
A．1,2B．−1,2C．2,1D．−1,3
【答案】B
【分析】根据题意，作出图形，利用点的平移性质求解即可得到答案．
【详解】解：如图所示：

∵ B1,0,C2,2，
∴将B平移到C的过程是：向右平移1个单位长度、向上平移2个单位，
∵A−2,0，
∴D−1,2，
故选：B．
【点睛】本题考查点的平移，熟记平行四边形性质及点的平移法则是解决问题的关键．
【变式2】（2023下·陕西西安·八年级校考期末）如图，点A坐标为2,4，点B坐标为3,0，将△AOB沿x轴方向向右平移得到△CED，且四边形AODC面积为22，则点E坐标为（ ）

A．4,0B．4.25,0C．5,0D．7,0
【答案】A
【分析】根据平移的性质得出四边形ABDC是平行四边形，四边形OAEC是平行四边形，AC=BD=OE，进而有根据四边形AODC面积为22，求得BD的长，即可求得D的坐标．
【详解】解：∵点A坐标为2,4，点B坐标为3,0，
∴S△AOB=12×3×4=6，
∵将△AOB沿x轴方向向右平移得到△CED，
∴四边形ABDC是平行四边形，四边形OAEC是平行四边形，
∴AC=BD=OE，A和C的纵坐标相同，
∵点A坐标为2,4，且四边形AODC面积为22，
∴4BD=22−6，
∴BD=OE=4，
∴点A坐标为4,0，，
故选：A．
【点睛】本题考查了坐标与图形的变换-平移，平移的性质，平行四边形的性质，求得平移的距离是解题的关键．
【变式3】（2023下·河南南阳·八年级统考期中）已知：▱AOCD的顶点O0,0，点C在x轴的正半轴上，按以下步骤作图：①以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA于点M，交OC于点N．②分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧在∠AOC内相交于点E．③画射线OE，交AD于点F2,3，则点A的坐标为（ ）

A．−52 ，3B．−13， 3C．−45,3D．−54,3
【答案】D
【分析】由题意得：OE平分∠AOC，结合AD∥OC，可得AO=AF，设AH=m，则AO=AF=2+m，根据勾股定理，列出方程，即可求解．
【详解】解：由作图痕迹可知：OE平分∠AOC，

∴∠AOF=∠COF，
∵在▱AOCD中，AD∥OC，
∴∠COF=∠AFO，
∴∠AOF=∠AFO，
∴AO=AF，
∵F2,3，
∴FH=2，OH=3，
设AH=m，则AO=AF=2+m，
∵在Rt△AOH中，AH2+OH2=AO2，
∴m2+32=2+m2，解得：m=54，
∴A−54,3，
故选：D．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，尺规作角平分线，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，推出AO=AF，利用勾股定理列出方程，是解题的关键．
考点6：平行四边形判定——证明题
典例6：（2023下·浙江·八年级专题练习）已知：如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、BC的中点，点F、G是边AC的三等分点，DF、EG的延长线相交于点H．求证：
(1)四边形FBGH是平行四边形；
(2)四边形ABCH是平行四边形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查平行四边形的判定；注意运用三角形的中位线的知识是解答本题的关键．
（1）由三角形中位线知识可得DF∥BG，GH∥BF，所以四边形FBGH是平行四边形．
（2）连接BH，利用平行四边形的对角线互相平分可得OB=OH，OF=OG，又AF=CG，所以OA=OC．再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形得证四边形ABCH是平行四边形．
【详解】（1）证明：∵点F、G是边AC的三等分点，
∴F、G分别是AG、CF的中点，
∵点D是AB的中点，
∴ DF∥BG，即FH∥BG．
同理：GH∥BF．
∴四边形FBGH是平行四边形．
（2）连接BH，交FG于点O，
∵四边形FBGH是平行四边形，
∴ OB=OH，OF=OG．
∵ AF=CG，
∴ OA=OC．
∴四边形ABCH是平行四边形．
【变式1】（2022下·湖北武汉·八年级校考阶段练习）▱ABCD中，BD是对角线，CE⊥CD交BD于E点，AF⊥AB交BD于F点，连接AE、CF．求证：四边形AECF是平行四边形．
【答案】见解析
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，由平行四边形的性质得到AB=CD,AB∥CD,AD∥BC，推出∠ABE=∠CDF，∠ADF=∠CBE，再根据CE⊥CD交BD于E点，AF⊥AB交BD于F点，得到∠BAF=∠DCE=90°，进而得到∠DAF=∠BCE易证明△BCE≌△DAF，得到CE=AF,BE=DF，再证明△ABE≌△CDF，进而得出AE=CF； 即可得出结论．
【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB=CD,AB∥CD,AD∥BC，
∴ ∠ABE=∠CDF，∠ADF=∠CBE，
∵ CE⊥CD，AF⊥AB，
∴∠BAF=∠DCE=90°，
∵∠BAD=∠BCD，
∴∠DAF=∠BCE，
在△BCE和△DAF中，
∠CBE=∠ADFBC=AD∠BCE=DAF，
∴△BCE≌△DAFASA，
∴CE=AF,BE=DF，
在△ABE和△CDF中，
BE=DF∠ABE=∠CDFAB=CD，
∴ △ABE≌△CDFSAS，
∴ AE=CF，
∵AE=CF,AF=CE，
∴四边形AECF为平行四边形．
【变式2】（2023·全国·九年级专题练习）如图，在△ABC中，点D，E分别为AB，AC的中点，延长DE到点F，使得EF=DE，连接CF．求证：
(1)△CEF≌△AED；
(2)四边形DBCF是平行四边形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【详解】证明 （1）∵点D，E分别为AB，AC的中点，
∴AE=CE．
在△CEF与△AED中，
EF=ED，∠CEF=∠AED，CE=AE，
∴△CEF≌△AED（AAS）．
（2）由（1）证得△CEF≌△AED，
∴∠A=∠FCE，∴BD∥CF．
∵D，E分别为AB，AC的中点，
∴DF∥BC，
∴四边形DBCF是平行四边形．
【变式3】（2023下·全国·八年级专题练习）已知，如图，E，F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF．求证：四边形DEBF是平行四边形．
【答案】见解析
【分析】此题考查了平行四边形的判定与性质，连接BD，与AC交于点O，由平行四边形的对角线互相平分得到OA=OC，OB=OD，进而得到OE=OF，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形即可得证,熟练掌握“对角线互相平分的四边形是平行四边形”是解本题的关键．
【详解】证明：如图，连接BD，与AC交于点O，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵AE=CF，
∴OA−AE=OC−CF，
即OE=OF，
又OB=OD，
∴四边形DEBF是平行四边形．
考点7：平行四边形性质与判定综合
典例7：（2023上·福建泉州·八年级泉州五中校考阶段练习）如图所示四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA=4，∠BAD=120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合．
(1)四边形ABCD______平行四边形（是或不是）
(2)证明不论E、F在BC、CD上如何滑动，总有BE=CF；
(3)当点E、F在BC、CD上滑动时，四边形AECF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．
【答案】(1)是
(2)见解析
(3)四边形AECF的面积不变，为定值43
【分析】（1）根据AB=BC=CD=DA=4可知四边形ABCD是平行四边形，即可得答案；
（2）根据平行四边形及∠BAD=120°，可证得△ABC和△ACD为等边三角形，则∠BAC=60°，∠ABE=∠4=60°，AC=AB，再结合△AEF是等边三角形，进而证得∠1=∠3，利用ASA即可证明△ABE≌△ACF，即可得结论；
（3）根据△ABE≌△ACF，得S△ABE=S△ACF，故由S四边形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC，可知四边形AECF的面积是定值，作AH⊥BC于H点，由等边三角形的性质求得BH=2，进而求得AH即可求得S△ABC，可得定值．
【详解】（1）解：四边形ABCD是平行四边形，理由如下：
∵AB=BC=CD=DA=4，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故答案为：是；
（2）证明：由（1）知四边形ABCD为平行四边形，则AB∥CD，AD∥BC，
∵∠BAD=120°，AB∥CD，AD∥BC，
∴∠ABC=∠ADC=60°，
又∵AB=BC=CD=DA=4，
∴△ABC和△ACD为等边三角形，
∴∠BAC=60°，∠4=60°，AC=AB，
∵△AEF是等边三角形，
∴∠EAF=60°，
∴∠1+∠EAC=60°，∠3+∠EAC=60°，
∴∠1=∠3，
又∵∠ABE=∠4=60°，AC=AB，
∴△ABE≌△ACFASA．
∴BE=CF；
（3）四边形AECF的面积不变，为定值43．
理由如下：由（2）得△ABE≌△ACF，则S△ABE=S△ACF，
故S四边形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC，是定值，
作AH⊥BC于H点，
∵∠BAC=60°，AB=AC=4
∴BH=12BC=2，则AH=AB2−BH2=23，
∴S四边形AECF=S△ABC=12BC⋅AH=43，
综上，四边形AECF的面积不变，为定值43．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定及性质，三角形全等的判定与性质，等边三角形的判定及性质，勾股定理，综合性较强，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．
【变式1】（2023上·江苏淮安·八年级校考阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB上，点F在CD上，且AE=CF．
(1)求证：四边形DEBF是平行四边形．
(2)若DE为∠ADC的角平分线，且AD=6,EB=4，求AB的长．
【答案】(1)见解析
(2)10
【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质．
（1）根据平行四边形的性质，得到CD∥AB,AB=CD，进而得到BE=DF，即可得证；
（2）平行加角平分线得到AD=AE，利用AB=AE+BE，进行计算即可．
掌握平行四边形的性质，是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵平行四边形ABCD，
∴CD∥AB,AB=CD，
∵AE=CF，
∴AB−AE=CD−CF，即：BE=DF，
又BE∥DF，
∴四边形DEBF是平行四边形；
（2）解：∵DE为∠ADC的角平分线，CD∥AB，
∴∠ADE=∠CDE,∠AED=∠CDE，
∴∠ADE=∠AED，
∴AD=AE=6，
∴AB=AE+BE=6+4=10．
【变式2】（2021上·甘肃定西·八年级校考期中）四边形ABCD中，AD=BC，BE=DF，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F．

(1)求证：△ADE≌△CBF；
(2)若AC与BD相交于点O，求证：AO=CO．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
（1）根据已知条件得到BF=DE，由垂直的定义得到∠AED=∠CFB=90°，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
（2）如图，连接AC交BD于O，根据全等三角形的性质得到∠ADE=∠CBF，由平行线的判定得到AD∥BC，根据平行四边形的性质即可得到结论．
【详解】（1）证明：∵BE=DF，
∴BE−EF=DF−EF，
即BF=DE，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AED=∠CFB=90°，
在Rt△ADE与Rt△CBF中，AD=BCDE=BF，
∴Rt△ADE≌Rt△CBFLH；
（2）证明：如图，连接AC交BD于O，
∵Rt△ADE≌Rt△CBF，
∴∠ADE=∠CBF，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO．
【变式3】（2022·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市萧红中学校考一模）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD，点E、F在对角线AC上，且AE=CF．
(1)如图1，求证：DF∥BE；
(2)如图2，延长DF、BE分别交BC、AD于点P、N，连接BF并延长交CD于点M，连接DE并延长交AB于Q，在不添加其它线的条件下，直接写出图中所有的平行四边形．
【答案】(1)见详解
(2)▱ABCD、▱DEBF、▱DNBP、▱DQBM
【分析】（1）根据平行线的性质及全等三角形的判定和性质得出∠CDF=∠ABE，再由三角形外角的性质及平行线的判定证明即可；
（2）根据平行四边形的判定和性质证明即可得出结果．
【详解】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠DCF=∠BAE，
∵AB=CD，AE=CF，
∴△ABE≌△CDF(SAS)，
∴∠CDF=∠ABE，
∴∠CDF+∠DCF=∠BAE+∠ABE即∠BEF=∠DFE，
∴DF∥BE；
（2）图中的平行四边形有：▱ABCD、▱DEBF、▱DNBP、▱DQBM，理由如下，
∵AB∥CD，AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
由（1）得△ABE≌△CDF(SAS)
∴BE=DF，
又DF∥BE，
∴四边形DEBF是平行四边形；
∴DP∥NB，DE∥BF，
∵AD∥BC，
∴四边形DNBP是平行四边；
∵DE∥BF，AB∥CD
∴四边形DQBM是平行四边形，
综上所述，图中的平行四边形有：▱ABCD、▱DEBF、▱DNBP、▱DQBM．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的判定和性质，掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键．
考点8：三角形中位线——基础应用
典例8：（2023上·山西临汾·九年级统考期中）如图，△ABC中，∠ABD=∠CBD，AE=CE，AD⊥BD．若DE=5，AB=8，则BC的长为（ ）

A．19B．18C．17D．10
【答案】B
【分析】本题考查了三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．根据三角形中位线定理和全等三角形的判定与性质即可得到结论．
【详解】解：如图，延长AD交BC于点F，

∵AD⊥BD，
∴∠ADB=∠BDF=90°，
在△BAD和△BFD中
∠ABD=∠CBDBD=BD∠BDA=∠BDF，
∴△BAD≌△BFDASA，
∴AD=DF，BF=AB=8，
∵AE=CE，AD=DF，
∴FC=2DE=10，
∴BC=BF+FC=18，
故选：B．
【变式1】（2023下·浙江金华·八年级校联考阶段练习）如图，BD、CE是△ABC的中线，P、Q分别是BD、CE的中点，则PQ:BC等于（ ）

A．1:4B．1:5C．1:6D．1:7
【答案】A
【分析】连接DE，连接EP并延长交BC与点F，由题意可知DE是△ABC的中位线，得到DE=12BC，DE∥BC，然后证明△DEP≌△BFPASA，得到DE=BF=12BC，EP=FP，进而证明PQ是△CEF的中位线，再根据三角形中位线定理，即可得到答案．
【详解】解：如图，连接DE，连接EP并延长交BC与点F，
∵BD、CE是△ABC的中线，
∴点D是AC的中点，点E是AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=12BC，DE∥BC，
∴∠EDP=∠FBP，
∵点P是BD的中点，
∴DP=BP，
在△DEP和△BFP中，
∠EDP=∠FBPDP=BP∠DPE=∠BPF，
∴△DEP≌△BFPASA，
∴DE=BF=12BC，EP=FP，
∴CF=BC−BF=12BC，点P是EF的中点，
∵点Q分别是CE的中点，
∴PQ是△CEF的中位线，
∴PQ=12CF=14BC，
∴PQ:BC=1:4，
故选：A．

【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，全等三角形的判定和性质，解题关键是掌握三角形的中位线平行第三条边，且等于第三条边的一半．
【变式2】（2022下·浙江温州·八年级校考期中）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=BC=42，E、F分别是AD、CD的中点，连接BE、BF、EF，若四边形ABCD的面积为20，则△BEF的面积为（ ）
A．2B．94C．5D．9
【答案】D
【分析】连接AC，过点B作EF的垂线，利用勾股定理可得AC，易知△ABC的面积，可得BG长及△ADC面积，△ABC和△ACD同底，利用面积比求出其高之比，而GH又是△ACD以AC为底的高的一半，可得GH，易得BH，由中位线的性质可得EF的长，利用三角形面积公式即可求解．
【详解】如图，连接AC，过点B作EF的垂线交AC于G点，交EF于H点，
∵E、F分别是AD、CD的中点
∴EF//AC，△ACD中，AC边上的高为2GH
∴BG⊥AC
在Rt△ABC中，AB＝BC＝42
∴由勾股定理可得：AC＝AB2+BC2=(42)2+(42)2=64=8
∵△ABC为等腰三角形
∴△ABG和△BCG为等腰直角三角形
∴AG＝BG＝12AC=4(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)
∵S△ABC＝12·AB·BC=12×42×42＝16，且四边形ABCD的面积为20
∴S△ACD＝20－16＝4，
∴S△ABCS△ACD=BG2GH=164=4，
∴GH=18BG=12，
∴BH＝BG+GH＝92，
又∵EF=12AC=12×8=4，
∴S△BEF＝12·EF·BH=12×4×92=9．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了三角形的面积计算、中位线定理、等腰直角三角形的性质，如何根据题意做出辅
助线并正确找出其底与高是解题的关键．
【变式3】（2021·广东·九年级专题练习）如图，在△ABC中，点D、E、F分别是各边的中点，若△ABC的面积为16cm2，则△DEF的面积是（ ）cm
A．2B．4C．6D．8
【答案】B
【分析】根据三角形中位线定理判定四边形BEFD是平行四边形，然后可证明△BDE≌△FED，同理可证：△DAF≌△FED，△EFC≌△FED，从而这四个三角形彼此全等，它们的面积也相等，所以可求得△DEF的面积．
【详解】∵点D、F分别是AB，AC的中点，
∴DF//BC，DF＝12BC，
∴DF//BE，
∵E是BC的中点，
∴BE＝12BC，
∴DF＝BE，
∴四边形BEFD是平行四边形，
∴BD＝EF，
在△BDE和△FED中，
{BE=DFBD=EFDE=ED，
∴△BDE≌△FED（SSS），
同理可证△DAF≌△FED，△EFC≌△FED，
即△BDE≌△DAF≌△EFC≌△FED，
∴S△DEF＝14S△ABC＝14×16＝4（cm2），
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的中位线定理、三角形全等的判定等知识．
考点9：三角形中位线——辅助线
典例9：（2023下·江苏宿迁·八年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，点E在△ABC内，AE平分∠BAC，CE⊥AE，点F在边AB上，EF∥BC．

(1)求证：四边形BDEF是平行四边形；
(2)若AB=10，AC=4，求BF的长．
【答案】(1)见解析
(2)BF=3，证明见解析
【分析】（1）延长CE交AB于点G，证明△AGE≌△ACE，根据全等三角形的性质可得到GE=EC，再利用三角形的中位线定理证明DE∥AB，再由EF∥BC可证出结论；
（2）先利用三角形中位线定理证明BF=DE=12BG，再证明AG=AC，可得到BF=12AB−AG=12AB−AC．
【详解】（1）证明：延长CE交AB于点G，

∵AE⊥CE，
∴∠AEG=∠AEC=90°，
在△AEG和△AEC中，∠GAE=∠CAEAE=AE∠AEG=∠AEC，
∴△AGE≌△ACE（ASA）．
∴GE=EC．
∵BD=CD，
∴DE为△CGB的中位线，
∴DE∥AB．
∵EF∥BC，
∴四边形BDEF是平行四边形；
（2）解：∵四边形BDEF是平行四边形，
∴BF=DE．
∵D、E分别是BC、GC的中点，
∴BF=DE=12BG．
∵△AGE≌△ACE，
∴AG=AC，
∴BF=12AB−AG=12AB−AC
∴BF=1210−4=3．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，题目综合性较强，证明GE=EC，再利用三角形中位线定理证明DE∥AB是解决问题的关键．
【变式1】（2023下·江苏连云港·八年级统考期中）如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，BE⊥AE于点E，点F是BC的中点．

(1)如图1，BE的延长线与AC边相交于点D，求证：EF=12AC−AB；
(2)如图2，若EF=2，AC=3，求线段AB的长．
【答案】(1)见解析
(2)AB=7
【分析】（1）先证明△BAE≅△DAE(ASA)，推出BE=ED，根据三角形的中位线定理即可解决问题．
（2）如图2中，延长AC交BE的延长线于P．同理可得△BAE≅△DAE(ASA)，进而可得BE=DE，AB=AD，再根据三角形的中位线定理即可解决问题．
【详解】（1）证明：如图1中，

∵AE平分∠BAC，BE⊥AE于点E，
∴∠BAE=∠DAE，∠AEB=∠AED=90°，
又∵AE=AE，
∴△BAE≅△DAE(ASA)，
∴BE=DE，AB=AD，
∵BF=FC，
∴EF=12DC=12(AC−AD)=12(AC−AB)．
（2）如图2中，延长AC交BE的延长线于D．

同理可得：△BAE≅△DAE(ASA)，
∴BE=DE，AB=AD，
∵点F为BC的中点，
∴BF=FC，
∴EF=12CD=12(AD−AC)=12(AB−AC)=2，
∵AC=3，
∴AB=7．
【点睛】本题考查三角形的中位线定理、等腰三角形的三线合一的性质等知识，解题的关键是熟练应用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
【变式2】（2022上·八年级单元测试）如图所示，在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E，F分别是AB、CD的中点，且AC=BD．求证：OM=ON．

【答案】见解析
【分析】取AD的中点G，连接EG，FG，构造三角形的中位线，根据三角形的中位线定理进行证明即可．
【详解】证明：如图所示，取AD的中点G，连接EG，FG，

∵G、F分别为AD、CD的中点，
∴GF是ΔACD的中位线，
∴GF=12AC，
同理可得，GE=12BD，
∵AC=BD，
∴GF=GE=12AC=12BD．
∴∠GFN=∠GEM，
又∵EG∥OM，FG∥ON，
∴∠OMN=∠GEM=∠GFN=∠ONM，
∴OM=ON．
【点睛】本题考查了三角形的中位线性质定理，解题的关键是构造三角形的中位线．运用三角形的中位线的数量关系和位置关系进行分析证明．
【变式3】（2023上·四川宜宾·九年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E在AC边上，且AE:EC=1:2，BE交AD于点P，则求
(1)AP:PD的值？
(2)PE:PB的值？
【答案】(1)AP:PD的值为1；
(2)PE:PB=1:3．
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形中位线定理．
（1）如图所示，取BE中点G，连接DG，则DG是△BCE的中位线，即可证明DG=12CE，DG∥CE，进而推出DGAE=32，再证明△DGP≌△AEP，即可求解；
（2）由△DGP≌△AEP，推出EP=PG，再根据点G是BE中点，据此求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，取BE中点G，连接DG，
∵AD是BC边上的中线，即D是BC的中点，
∴DG是△BCE的中位线，
∴DG=12CE，DG∥CE，
∵AE:EC=1:2，
∴DG=AE，
∵DG∥AE，
∴∠DGP=∠AEP，∠GDP=∠EAP，
∴△DGP≌△AEP，
∴AP=PD，
∴AP:PD的值为1；
（2）解：∵△DGP≌△AEP，
∴EP=PG，
∵点G是BE中点，
∴PE:PB=1:3．
同步一遍过
一、单选题
1．（2023下·广东佛山·八年级统考期末）小玲的爸爸在钉制平行四边形框架时，采用了一种方法：如图所示，将两根木条AC、BD的中点重叠并用钉子固定，则四边形ABCD就是平行四边形，这种方法的依据是（ ）

A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
C．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
D．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
【答案】A
【分析】根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可得出结论．
【详解】解：∵O是AC、BD的中点，
∴OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）；
故选：A．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定定理；熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
2．（2023·甘肃平凉·校考三模）如图，在▱ABCD中，将△ADC沿AC折叠后，点D恰好落在DC延长线上的点E处．若∠B=60°，AB=1，则▱ABCD的周长为( )

A．4B．43C．6D．63
【答案】C
【分析】由平行四边形的性质可得∠B=∠D=60°，AB=CD=1，与折叠的性质可得AE=AD，CD=CE=1，又由∠D=60°，可证△AED是等边三角形，可得AD=AE=DE=2，即可求得▱ABCD的周长．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D=60°，AB=CD=1，
∵将△ADC沿AC折叠后，点D恰好落在DC的延长线上的点E处，
∴AE=AD，CD=CE=1，又∵∠D=60°，
∴△AED是等边三角形，
∴AD=AE=DE=2，
∴ ▱ABCD的周长=2(AB+AD)=2×(1+2)=6，
故选：C．
【点睛】本题考查了翻折变换，平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，掌握折叠的性质是本题的关键．
3．（2023下·八年级课时练习）如图，在平行四边形ABCD中，BC=8cm，CD=6cm，∠D=40°，BE平分∠ABC，下列结论错误的是( )
A．AE=6cmB．ED=2cmC．∠BED=150°D．∠C=140°
【答案】C
【分析】根据平行四边形的性质逐项分析判断即可求解，
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠D=40°，
∴AD∥BC，AD=BC=8cm，AB=CD=6cm，∠ABC=∠D=40°，
∴∠C=180°−∠D=140°，故D正确；
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC=12∠ABC=20°，
∴∠AEB=∠EBC=20°，
∴∠BED=180°−∠AEB=160°，故C错误；
∴∠AEB=∠ABE，
∴AE=AB=6cm，故A正确；
AD=BC=8cm，
∴ED=AD−AE=2cm，故B正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
4．（2023下·河北石家庄·八年级统考期末）如图，若平行四边形BDFE的面积为14，BD=13BA，BE=710BC，则△ABC的面积是为（ ）

A．24B．28C．30D．32
【答案】C
【分析】连接DE，CD，由平行四边形的性质可求S△BDE=7，结合BE=710BC可求解S△BDC=10，再利用BD=13BA可求解△ABC的面积．
【详解】解：连接DE，CD，

∵四边形BEFD为平行四边形，▱BDFE的面积为14，
∴S△BDE=12S▱BDFE=7，
∵BE=710BC，
∴S△BDC=107S△BDE=10，
∵BD=13BA，
∴S△ABC=3S△BDC=30，
故选：C．
【点睛】本题主要考查三角形的面积，平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
5．（2023下·福建厦门·八年级统考期末）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，则添加下列条件，一定可使四边形ABCD成为平行四边形的是（ ）
A．AC=BDB．AB∥CD，AD=BC
C．AC平分BDD．AD∥BC，OA=OC
【答案】D
【分析】利用平行四边形的判定进行推理，即可求解．
【详解】解：A、由AC=BD无法得出四边形ABCD是平行四边形；
B、由AB∥CD，AD=BC无法得出四边形ABCD是平行四边形；
C、由AC平分BD无法得出四边形ABCD是平行四边形；
D、∵AD∥BC，
∴∠ADO＝∠CBO，
∵AO＝CO，∠AOD＝∠BOC，
∴△AOD≌△COB（AAS），
∴AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用平行四边形的判定是本题的关键．
6．（2023下·山东德州·八年级统考期末）在▱ABCD中，∠A=38°，则∠C的度数为（ ）
A．142°B．148°C．132°D．38°
【答案】D
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对角相等，易得∠C=∠A=38°．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠C=∠A=38°．
故选：D．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对角相等．
7．（2022上·重庆·八年级重庆巴蜀中学校考期末）如图，在△ABC中，AB=CB=6，BD⊥AC于点D，F在BC上且BF=2，连接AF，E为AF的中点，连接DE，则DE的长为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】先求出CF=4，再根据等腰三角形的三线合一可得点D是AC的中点，然后根据三角形中位线定理即可得．
【详解】解：∵CB=6,BF=2，
∴CF=CB−BF=4，
∵AB=CB=6,BD⊥AC，
∴AD=CD（等腰三角形的三线合一），
即点D是AC的中点，
∵E为AF的中点，
∴DE是△ACF的中位线，
∴DE=12CF=2，
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的三线合一、三角形中位线定理，熟练掌握等腰三角形的三线合一是解题关键．
8．（2023下·河北承德·八年级校考阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，AD=8，点E，F分别是BD，CD的中点，则EF等于（ ）
A．2B．3C．4D．6
【答案】C
【分析】根据题意知EF为△DBC的中位线，再根据平行四边形的性质求得BC=AD，从而求得EF．
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形
∴ BC=AD=8
∵点E，F分别是BD，CD的中点
∴EF=12BC=4
故选C
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，中位线的判定与性质，理解以上性质是解题的关键．
9．（2022下·山西晋城·八年级统考期末）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠BAC=90°，AC=2，BD=4，则CD的长为（ ）
A．3B．5C．23D．25
【答案】A
【分析】平行四边形的对角线相互平分，故OA、OB的长度可知，且在Rt△AOB中，运用勾股定理可求AB的长度，且平行四边形中对边对应相等，CD长度可求．
【详解】解：∵平行四边形的对角线相互平分，
∴AO=OC=12AC=1，BO=OD=12BD=2，
又∵∠BAC=90°，故△AOB为直角三角形，
∴根据勾股定理可得：AB2+AO2=OB2，
∴AB=22−12=3，
且平行四边形ABCD中，AB=CD，
∴CD=3，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、勾股定理，解题的关键在于掌握平行四边形的对角线相互平分．
10．（2023下·八年级课时练习）如图，在△ABC中，AM是∠CAB的平分线，CN是外角∠GCB的平分线，BE⊥AM于点E，BD⊥CN于点D，连接DE．若AB=4，BC=5，AC=6，则DE的长是（ ）
A．32B．52C．72D．4
【答案】C
【分析】如图，延长BE交AC于点F，延长AC、BD交于点G，利用等腰三角形的判定和性质和直角三角形两锐角互余可得到FG=7，点E是BF的中点，点D是BG的中点，再利用三角形中位线定理即可求解．
【详解】解：如图，延长BE交AC于点F，延长AC、BD交于点G，
∵AM平分∠CAB，BE⊥AM，
∴∠CAM=∠BAM，∠AEF=∠AEB=90°，
∴∠AFE=90°−∠CAM，∠ABE=90°−∠BAM，
∴∠AFE=∠ABE，
∴AF=AB，
∵AB=4，AC=6，BC=5，
∴FC=AC−AF=AC−AB=6−4=2，
∵CN平分∠GCB，BD⊥CN，
∴∠GCN=∠BCN，∠CDB=∠CDG=90°，
∴∠CGD=90°−∠GCN，∠CBD=90°−∠BCN，
∴∠CGD=∠CBD，
∴CG=CB=5，
∴FG=FC+CG=2+5=7，
∵AF=AB，BE⊥AM，
∴AE是BF边上的中线，即点E是BF的中点，
∵CG=CB，BD⊥CN，
∴CD是BG边上的中线，即点D是BG的中点，
∴DE是△BFG的中位线，
∴DE=12FG=72．
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形中位线定理，直角三角形两锐角互余的性质，角平分线的定义．通过作辅助线构造等腰三角形是解题的关键．
二、填空题
11．（2023下·广西河池·八年级统考期中）如图，在平行四边形ABCD中，∠B=110°，则∠D= °．
【答案】110
【分析】直接利用平行四边形的对角相等即可得出答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D=110°．
故答案为：110．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，正确得出对角相等是解题关键．
12．（2023下·八年级单元测试）如图，将平行四边形ABCD沿EF对折，使点A落在点C处，若∠A=60°，AD=4，AB=6，则AE的长为 .
【答案】194
【分析】过点C作CG⊥AB交AB的延长线于点G，易证△D'CF≌△ECBASA，从而可知D'F=EB，CF=CE，设AE=x，在△CEG中，利用勾股定理列出方程即可求出x的值.
【详解】解：过点C作CG⊥AB交AB的延长线于点G，如图所示：
在▱ABCD中，
∠D=∠EBC，AD=BC，∠A=∠DCB，
由于▱ABCD沿EF对折，
∴∠D'=∠D=∠EBC，∠D'CE=∠A=∠DCB，D'C=AD=BC，
∴∠D'CF=∠ECB，
∴△D'CF≌△ECBASA，
∴D'F=EB，CF=CE，
∵DF=D'F，
∴DF=EB，AE=CF，
设AE=x，
则EB=6−x，CF=x，
∵BC=AD=4，∠CBG=∠A=60°，
∴BG=12BC=2，
由勾股定理可知：CG=23，
∴EG=EB+BG=6−x+2=8−x，
在△CEG中，由勾股定理可知：8−x2+232=x2，
解得：x=AE=194，
故答案为：194.
【点睛】本题是平行四边形的综合问题，解题的关键是证明△D'CF≌ △ECB，然后利用勾股定理列出方程，本题属于中等题型.
13．（2023·河北·校联考模拟预测）如图，已知在△ABC中，AB=6．AC=10，D，E分别是AB，AC的中点，连接DE．若DE=4，则△ABC的面积是 ．

【答案】24
【分析】根据三角形中位线定理求出BC，根据勾股定理的逆定理得到△ABC是直角三角形，根据三角形的面积公式计算，即可得到答案．
【详解】解：∵ D，E分别是AB，AC的中点，DE=4，
∴BC=2DE=8，
∵AB2+BC2=62+82=100，AC2=100，
∴AB2+BC2=AC2，
∴ △ABC是直角三角形，
∴S△ABC=12AB⋅BC=12×6×8=24，
故答案为：24．
【点睛】本题考查的是三角形的中位线定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握三角形的中位线定理，勾股定理的逆定理，是解题的关键．
14．（2023下·海南省直辖县级单位·八年级统考期中）在平行四边形ABCD中，AB+BC=10，则平行四边形ABCD的周长是 ．
【答案】20
【分析】平行四边形两组对边相等，以此便可求解其周长．
【详解】在平行四边形ABCD中，AB+BC=10，，
则其周长为2（AB+BC）=2（4+6）=20cm．
所以其周长为20cm．
故答案为20
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质问题，应熟练掌握．
15．（2023·湖北武汉·统考一模）如图，□ABCD中，E是BA的中点，连接DE，将△DAE沿DE折叠，使点A落在□ABCD内部的点F处．若∠CBF＝25°，则∠FDA的度数为 ．
【答案】50°
【分析】延长BF交CD于G，根据折叠的性质和平行四边形的性质，证明△BCG≌△DAE,从而∠7=∠6=25°,进而可求∠FDA得度数.
【详解】延长BF交CD于G
由折叠知，
BE=CF, ∠1=∠2, ∠7=∠8,
∴∠3=∠4.
∵∠1+∠2=∠3+∠4,
∴∠1=∠2=∠3=∠4,
∵CD∥AB,
∴∠3=∠5,
∴∠1=∠5,
在△BCG和△DAE中
∵∠1=∠5,
∠C=∠A,
BC=AD,
∴△BCG≌△DAE,
∴∠7=∠6=25°,
∴∠8=∠7=25°,
∴FDA=50°.
故答案为50°.
【点睛】本题考查了折叠的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质. 证明△BCG≌△DAE是解答本题的关键.
16．（2023下·浙江杭州·八年级校联考期中）如图，E是平行四边形ABCD内任意一点，连接AE，EB，CE，DE，BD，若S△AEB=2，S△BEC=8，则S△BED= ．
【答案】6
【分析】如下图，过E点作EM⊥AB于M，EN⊥CD于N，得到△ABE与△CDE面积之和为平行四边形ABCD面积的一半，再设SΔCDE=x，将△BCD面积用x的代数式表示，再由SΔBED=SΔBCE+SΔCDE−SΔBCD即可求解．
【详解】解：过E点作EM⊥AB于M，EN⊥CD于N，则E、M、N三点共线，如下图所示：
此时，SΔABE+SΔCDE=12AB⋅EM+12CD⋅EN=12AB(EM+EN)=12AB⋅MN=12S平行四边形ABCD，设SΔCDE=x，
则平行四边形ABCD的面积为2(x+2)=2x+4，
SΔBCD=12S平行四边形ABCD=x+2，
故SΔBED=SΔBCE+SΔCDE−SΔBCD=8+x−(x+2)=6，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行四边形内三角形面积问题，本题的关键是得出△ABE与△CDE面积之和为平行四边形ABCD面积的一半．
三、解答题
17．（2023·陕西西安·西安益新中学校考模拟预测）如图，在平行四边形ABCD中，E是BC上一点，点F在线段DE上，DE=AD，且∠AFE=∠ADC，求证：DF=EC．
【答案】见解析
【分析】根据平行四边形的性质得到∠C+∠ADC=180°，∠ADF=∠DEC，根据题意得到∠AFD=∠C，根据全等三角形的判定定理证明即可．
【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠C+∠ADC=180°，∠ADF=∠DEC，
∵∠AFD+∠AFE=180°，∠AFE=∠ADC，
∴∠AFD=∠C，
在△AFD和△DEC中，
∠ADF=∠DEC∠AFD=∠CAD=DE，
∴△AFD≌△DCE（AAS），
∴DF=EC．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定、平行线的性质以及三角形内角和定理，掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
18．（2023下·河南三门峡·八年级统考期中）如图，在等边△ABC中，BC=8cm，射线AG//BC，点E从点A出发沿射线AG以1m/s的速度运动，同时点F从点B出发沿射线BC以2m/s的速度运动，设运动时间为t(s)．
（1）连接EF，当EF经过AC边的中点D时，求证：△ADE≌△CDF；
（2）当t为多少时，以A，F，C，E为顶点的四边形是平行四边形．
【答案】（1）见解析；（2）当t=83或8ｓ时，以A，F，C，E为顶点四边形是平行四边形．
【分析】（1）由题意得到AD=CD，再由AG与BC平行，利用两直线平行内错角相等得到两对角相等，利用AAS即可得证．
（2）分别从当点F在C的左侧时与当点F在C的右侧时去分析，由当AE=CF时，以A，F，C，E为顶点四边形是平行四边形，可得方程，解方程即可求得答案．
【详解】（1）证明：∵AG∥BC，
∴∠EAD=∠DCF，∠AED=∠DFC，
∵D为AC的中点，
∴AD=CD，
∵在△ADE和△CDF中，
∠EAD=∠DCF∠AED=∠DFCAD=CD，
∴△ADE≌△CDF（AAS）；
（2）解：①当点F在C的左侧时，根据题意得：AE=tcm，BF=2tcm，
则CF=BC-BF=8-2t（cm），
∵AG∥BC，
∴当AE=CF时，四边形AECF是平行四边形，
即t=8-2t，
解得：t=83；
当点F在C的右侧时，根据题意得：AE=tcm，BF=2tcm，
则CF=BF-BC=2t-8（cm），
∵AG∥BC，
∴当AE=CF时，四边形AEFC是平行四边形，
即t=2t-8，
解得：t=8；
综上可得：当t=83或8s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题．
19．（2023上·河南洛阳·九年级统考期中）已知：如图，在△ABC中，AD=DB，BE=EC，AF=FC．
求证：AE、DF互相平分．
【答案】证明见解析
【分析】连接DE,EF,由三角形中位线定理可得DE∥AC，EF∥AB，可证四边形ADEF是平行四边形，由平行四边形的性质可得AE，DF互相平分；
【详解】
证明：连接DE,EF,
∵AD＝DB，BE＝EC，
∴DE∥AC，
∵BE＝EC，AF＝FC，
∴EF∥AB，
∴四边形ADEF是平行四边形，
∴AE，DF互相平分．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质判定和性质及三角形中位线定理，灵活运用这些性质是解题的关键．
20．（2023下·江苏徐州·八年级统考期中）如图，在▱ABCD中，点E、F分别在边CB、AD的延长线上，且BE＝DF，EF分别与AB，CD交于点G，H，则BG与DH有怎样数量关系？证明你的结论．
【答案】见解析
【分析】由平行四边形的性质得AD∥BC，根据平行线的性质证明∠E＝∠F，角边角证明△AFG≌△CEH，其性质得AG＝CH，进而可证明BG＝DH．
【详解】BG＝DH，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，∠A＝∠C，AB＝DC，
∴∠E＝∠F，
又∵BE＝DF，AF＝AD+DF，CE＝CB+BE，
∴AF＝CE，
在△CEH和△AFG中，
∠A=∠CAF=CE∠F=∠E
∴△AFG≌△CEH（ASA），
∴AG＝CH，
∴BG＝DH．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等，熟练掌握相关知识是解题的关键．
21．（2023下·浙江杭州·八年级期末）如图，平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交CD于点F，交BC的延长线于点E，连结BF．

（1）求证：BE=CD；
（2）若点F是CD的中点．
①求证BF⊥AE；
②若∠BEA=60°， AB=4，求平行四边形ABCD的面积．
【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②43
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得AD∥BC，AB＝CD，进而可根据平行线的性质和角平分线的定义得出∠BAE＝∠E，进一步即可推出结论；
（2）①根据AAS易证△ADF≌△ECF，进而可得AF＝EF，然后根据等腰三角形的性质即可得出结论；
②先判断出△ABE是等边三角形，进而可求出△ABE的面积，易得平行四边形ABCD的面积＝S△ABE，于是可得结果．
【详解】解：（1）∵ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB＝CD．
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠EAD＝∠E，
∴BA＝BE．
又∵AB＝CD，
∴BE＝CD；

（2）①∵点F是CD的中点，
∴CF＝DF，
在△ADF和△ECF中，
∵∠DAF=∠CEF，∠AFD=∠EFC，DF=CF，
∴△ADF≌△ECF（AAS），
∴AF＝EF，
又∵BE＝BA，
∴BF⊥AE；
②∵∠BEA＝60°，BE＝BA，
∴△ABE是等边三角形，
又∵AB＝4，
∴S△ABE＝34×AB2＝43，
∵△ADF≌△ECF，
∴S△ADF＝S△ECF，
∴平行四边形ABCD的面积＝S△ADF+S四边形ABCF＝S△CEF+S四边形ABCF＝S△ABE＝43．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质、角平分线的定义、全等三角形的判定和性质以及等边三角形的判定和性质，属于常考题型，判断出△ADF≌△ECF是解本题的关键．
22．（2023上·山西大同·八年级统考期末）已知△ABC，AB=BC=6，AC=4．
(1)作∠ABC的平分线（尺规作图）交AC于点D；
(2)在（1）的基础上，过点D作DE∥BC交AB于点E，求△ADE的周长．
【答案】(1)见详解
(2)8
【分析】（1）利用基本作图作∠ABC的平分线即可；
（2）根据题意AB=BC=6，AC=4，BD平分∠ABC，由等腰三角形“三线合一”的性质可得AD=12AC=2；再结合DE∥BC，可知DE为△ABC中位线，易得DE=12BC=3，AE=12AB=3，然后计算△ADE的周长即可．
【详解】（1）解：如下图，以点B为圆心，以任意长度为半径作弧，交BA、BC于点M、N，然后分别以点M、N为圆心，以大于12MN的长度为半径作弧，交于点K，连接BK并延长，交AC于点D，射线BD即为∠ABC的平分线．
（2）过点D作DE∥BC交AB于点E，如下图，
∵AB=BC=6，AC=4，且BD平分∠ABC，
∴AD=12AC=2，∠EBD=∠CBD，
∵DE∥BC，
∴∠EDB=∠CBD，
∴∠EBD=∠EDB，
∴DE=EB，
∵∠EDB+∠ADE=90°，∠EBD+∠A=90°，
∴∠ADE=∠A，
∴DE=AE，
∴AE=EB，
∴DE=12BC=3，AE=12AB=3，
∴△ADE的周长为：AD+DE+AE=2+3+3=8．
【点睛】本题主要考查了尺规作图-基本作图、等腰三角形的性质、中位线的性质等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键．
23．（2023下·广东佛山·八年级统考期末）如图，已知E是平行四边形ABCD中BC边的中点，AC是对角线，连结AE并延长AE交DC的延长线于点F，连结BF．求证：四边形ABFC是平行四边形．
【答案】见解析
【分析】先证明△ABE与△FCE全等，根据全等三角形的对应边相等得到AB=CF；再由AB与CF平行，根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形得到ABFC为平行四边形．
【详解】证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥DC，
∴∠ABE=∠ECF，
又∵E为BC的中点，
∴BE=CE，
在△ABE和△FCE中，
∵∠ABE=∠ECFBE=CE∠AEB=∠FEC，
∴△ABE≌△FCE（ASA），
∴AB=CF，
又∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CF，
∴四边形ABFC为平行四边形．
【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握基本判定与性质是解本题的关键．
24．（2023下·四川成都·八年级统考期末）如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，过点B作BE⊥AC于点E，过点D作DF⊥AC于点F，连接DE、BF．
（1）求证：四边形BEDF为平行四边形；
（2）若BE＝8，EF＝6，求BD的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）273
【分析】（1）利用平行四边形的性质证明△ABE≅△CDF(AAS)，即可得出BE=DF,即可证明；
（2）由平行四边形的性质得OB=OD,OE=OF=12EF=3，再由勾股定理即可求出OB的长，即可求得BD的长．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD,
∴∠BAE=∠DCF,
∵BE⊥AC,DF⊥AC,
∴BE∥DF，∠AEB=∠CFD=90°,
在△ABE和△CDF中
∠BAE=∠DCF∠AEB=∠CFDAB=CD
∴△ABE≅△CDF(AAS),
∴BE=DF,
∴四边形BEDF为平行四边形；
（2）由（1）得：四边形BEDF为平行四边形，
∴OB=OD,OE=OF=12EF=3,
∵BE⊥AC，
∴∠BEO=90°,
∴OB=BE2+OE2=82+32=73,
∴BD=2OB=273．
【点睛】本题考查平行四边形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，平行线的性质以及勾股定理，解题关键是熟练掌握平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理．
25．（2023下·山西运城·八年级山西省运城市实验中学校考期末）如图1，已知点E、F、G、H分别是四边形ABCD各边AB、BC、CD、AD的中点，根据以下思路可以证明四边形EFGH是平行四边形．
解答下列问题：
（1）如图2，将图1中的点C移动至与点E重合的位置，F、G、H仍是BC、CD、AD的中点，求证四边形CFGH是平行四边形．
（2）如图3，在边长为1的小正方形组成的5×5网格中，点A、C、B都在格点上，在格点上找一点D，使点C与BC、CD、AD的中点F、G、H组成的四边形是平行四边形，且四条边相等，并求出▱CFGH的面积．
【答案】（1）见解析；（2）见解析，54
【分析】（1）连接BD，由C、H是AB、AD的中点，CH为中位线，得到CH//BD，且CD=12BD，同理得到FG//BD．且FD=12BD，由此证明即可；
（2）由C点位置可知C是AB的中点，同（1）原理可以得到四边形CFGH是平行四边形，要让四边形CFGH四边相等，因此只需要BC=BD即可．
【详解】解：（1）证明：连接BD，
∵C、H是AB、AD的中点，
CH为中位线，
∴CH//BD，且CD=12BD，
同理，FG//BD．且FD=12BD，
∴FG//CH且FG=CH，
∴四边形CFGH是平行四边形．
（2）解：点D的位置如图所示
如图，∵FG是△CBD的中位线，BD=5，
∴FG=12BD=52，
又AB=25，AD=5，
∴AB2+BD2=AD2，
∴AB⊥BD，
∵FG//BD．
∴FD⊥FC，
∴▱CFGH的面积=52×52=54．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，三角形中位线定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
平行四边形的性质：
因为ABCD是平行四边形
几何表达式举例：
(1) ∵ABCD是平行四边形
∴AB∥CD AD∥BC
(2) ∵ABCD是平行四边形
∴AB=CD AD=BC
(3) ∵ABCD是平行四边形
∴∠ABC=∠ADC
∠DAB=∠BCD
(4) ∵ABCD是平行四边形
∴OA=OC OB=OD
(5) ∵ABCD是平行四边形
∴∠CDA+∠BAD=180°
平行四边形的判定：
几何表达式举例：
(1) ∵AB∥CD AD∥BC
∴四边形ABCD是平行四边形
(2) ∵AB=CD AD=BC
∴四边形ABCD是平行四边形
(3)∵∠A=∠B ∠C=∠D
∴四边形ABCD是平行四边形
（4）∵AB=CD AB∥CD
∴四边形ABCD是平行四边形
（5）∵OA=OC OB=OD
∴四边形ABCD是平行四边形