人教版八年级数学下册 专题01 数据的分析【知识串讲+11大考点】(原卷版+解析版）

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专题01 数据分析 考点类型 知识一遍过（一）平均数（1）算术平均数：简称平均数，记作“”，读作“x拔”。公式：平均数==【注意】分析平均数时，容易被数据的极值影响，导致错误的判断。（2）加权平均数概念：若个数，，…，的权分别是，，…，，则，叫做这个数的加权平均数.（二）中位数（1）中位数的概念：将一组数据由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这个数据的中位数，如果数据的个数是偶数，则中间两个数的平均数就是这组数据的中位数。（2）确定中位数的一般步骤：第1步：排序，由大到小或由小到大。第2步：确定是奇数个数据（位的数为中位数）或偶数个数据（位的数和位的数的平均数为中位数）。第3步：如果是奇数个数据，中间的数据就是中位数。如果是偶数个数据，中位数是中间两个数据的平均数。（三）众数（1）众数的概念：一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数。【注意】如果一组数据中有两个数据的频数一样且都是最大，那么这两个数据都是这组数据的众数，所以一组数据中众数的个数可能不唯一。（2）众数的意义：当一组数据有较多的重复数据时，众数往往能更好地反映其集中的趋势。（四）方差（1）方差的概念：在一组数据，，…，中，各个数据与平均数的差的平方的平均数叫做这组数据的方差，记作.计算公式是： （2）方差的意义：方差是用来衡量数据在平均数附近波动大小的量，方差（）越大，数据的波动性越大，方差越小，数据的波动性越小.【扩展】①当一组数据同时加上一个数时，其平均数、中位数、众数也增加,而其方差不变；②当一组数据扩大倍时，其平均数、中位数和众数也扩大倍，其方差扩大倍. 考点一遍过考点1：求数据的平均数典例1：（2024·全国·七年级竞赛）五个有理数排成一列，前三个有理数的平均值为a，后两个有理数的平均值是b，那么这五个有理数的平均值是（    ）A．12a+bB．13a+12bC．35a+25bD．152a+3b【答案】C【分析】本题考查的是平均数的求法．平均数的计算方法是求出所有数据的和，然后除以数据的总个数．先分别求出前三个有理数与后两个有理数的和，除以5即可求出五个有理数的平均值．【详解】解：五个有理数的平均值是3a+2b5=35a+25b．故选：C．【变式1】（2022上·山东烟台·八年级统考期中）某排球队6名上场队员的身高（单位：cm）是：180，184，188，190，192，194，现用一名身高为186cm的队员换下场上身高为192cm的队员，与换人前相比，场上队员的身高平均数（         ）A．变大B．变小C．不变D．都有可能【答案】B【分析】分别计算出原数据和新数据的平均数，然后进行比较即可得出答案．【详解】解：原数据的平均数为：180+184+188+190+192+1946=188(cm)，新数据的平均数为180+184+188+190+186+1946=187(cm)，∵188>187,∴与换人前相比，场上队员的身高平均数变小；故故选：B．【点睛】本题考查平均数的定义：一般地设n个数据x1,x2,…xn的平均数为x=x1+x2+x3+⋯+xnn．【变式2】（2023上·湖南株洲·九年级统考期末）小明随机抽查了九年级（2）班9位同学一周写数学作业的时间，分别为6，4，6，5，6，7，6，6，8（单位：h）．则估计本班大多数同学一周写数学作业的时间约为（     ）A．4hB．5hC．6hD．7h【答案】C【分析】求平均数即可．【详解】解：这9位同学一周写数学作业的时间平均数为6+4+6+5+6+7+6+6+89=6（小时）；故选：C．【点睛】本题考查了平均数的计算，解题关键是理解样本可以估计总体，会熟练的运用平均数公式计算．【变式3】（2023上·陕西咸阳·八年级校考阶段练习）在学校举行的团体操比赛中，六位评委给八（1）班的评分分别为：9.5分，9.1分，9.3分，9.4分，8.8分，9.4分，如果去掉一个最高分、一个最低分后得到四个有效评分，这四个有效评分的平均数是（    ）A．9.15分B．9.2分C．9.3分D．9.32分【答案】C【分析】本题考查的是平均数的计算，根据平均数的计算方法对这组数先求和再除以5，便可选出正确答案．掌握“平均数的计算方法”是解本题的关键．【详解】解：去掉一个最高分、一个最低分后得到四个有效评分为： 9.1分，9.3分，9.4分， 9.4分，∴这四个有效评分的平均数=9.1+9.3+9.4+9.44=9.3，故选：C．考点2：由平均数求未知数的值典例2：（2023上·江苏·九年级专题练习）小聪期末语文、数学、英语三科的平均分为122分，已知语文成绩是118分，英语成绩是125分，则他的数学成绩是（    ）A．122分B．123分C．124分D．125分【答案】B【分析】由三科的总成绩减去语文成绩和英语成绩即可得到答案．【详解】解：由题意可得，他的数学成绩为：122×3−118+125=123（分），故选：B．【点睛】本题考查了算术平均数，用三科的总成绩减去语文成绩和英语成绩即可．【变式1】（2023下·河北邢台·八年级校考期末）一组数据为4，2，a，5，1，若这组数据的平均数为3，则a的值为（    ）A．2B．3C．4D．5【答案】B【分析】根据平均数可得这组数据之和为15，即可得．【详解】解：∵一组数据为4，2，a，5，1，这组数据的平均数为3，∴这组数据之和为：5×3=15，∴a=15−4−2−5−1=3，故选：B．【点睛】本题考查了平均数，解题的关键是掌握求平均数的公式．【变式2】（2023上·陕西咸阳·八年级咸阳市实验中学校考阶段练习）某班七个合作学习小组的人数分别如下：4，5，5，x，6，7，8，已知这组数据的平均数是6，则x的值是（    ）A．7B．6C．5.5D．5【答案】A【分析】根据平均数的求法求出这组数据的x即可．【详解】解：∵4，5，5，x，6，7，8的平均数是6，∴4+5+5+x+6+7+8÷7=6，解得：x=7，故选A．【点睛】此题考查了平均数的求法，理解题意是解决本题的关键．【变式3】（2022上·广东佛山·八年级统考期末）某同学参加数学、物理、化学三科竞赛平均成绩是90分，其中数学100分，化学80分，那么物理成绩是（　　）A．92分B．91分C．90分D．89分【答案】C【分析】根据平均数公式计算求解即可．【详解】解：由题意知物理成绩为90×3−100−80=90分故选C．【点睛】本题考查了平均数．解题的关键在于熟练运用求平均数的公式．考点3：数据变化与平均数的关系典例3：（2023上·河北沧州·九年级统考期中）已知x1，x2，…，xn的平均数为2，则3x1−2，3x2−2，…，3xn−2的平均数是（    ）A．9B．4C．3D．2【答案】B【分析】本题考查算术平均数的计算，一般的每个数据扩大n倍后，数据的平均数也扩大n倍．每个数据增加同一个常数，数据的平均数也增加同一个常数，据此解析即可．【详解】解：∵x1，x2，…，xn的平均数为2，∴x1+x2+⋯+xnn=2，∴3x1−2+3x2−2+⋯+3xn−2n=3x1+x2+⋯+xnn−2=3×2−2=4，故选B．【变式1】（2022下·河北保定·八年级统考期末）在2，4，6，8中再添加一个数，使得添加前、后两组数据的平均数相同，则添加的数为（    ）A．3B．4C．5D．6【答案】C【分析】根据平均数的公式求出数据2，4，6，8的平均数，根据题意可知添加的一个数据是平均数，从而求解．【详解】解：∵2+4+6+84=5，∴添加的数为5，故选：C．【点睛】此题考查了算术平均数，解题的关键是理解平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数，它是反映数据集中趋势的一项指标．【变式2】（2022下·浙江宁波·八年级校联考期末）若x1，x2，…，x10的平均数为a， x11，x12，…，x30的平均数为b，则x1，x2，…，x30的平均数为 （ ）A．12a+bB．130a+bC．13a+2bD．14a+4b【答案】C【分析】根据平均数的定义进行计算即可求解．【详解】因为x1，x2，…，x10的平均数为a，x11，x12，…，x30的平均数为b，根据平均数的定义，x1，x2，…，x30的平均数=10a+20b30 =13a+2b．故选：C．【点睛】本题考查平均数，掌握平均数的定义是解决此题的关键．【变式3】（2023下·福建泉州·八年级统考期末）已知一组数据x1，x2，x3的平均数为7，则3x1+2，3x2+2，3x3+2的平均数为（    ）A．7B．9C．21D．23【答案】D【分析】平均数的计算方法是求出所有数据的和，然后除以数据的总个数．先求数据x1，x2，x3的和，然后再用平均数的定义求新数据的平均数．【详解】解：∵一组数据x1，x2，x3的平均数为7，∴x1+x2+x3=7×3=21，∴数据3x1+2，3x2+2，3x3+2的平均数为：13（3x1+2+3x2+2+3x3+2）=13[3（x1+x2+x3）+6]=23，故选：D．【点睛】此题考查平均数的意义，掌握平均数的计算方法是解决问题的关键．考点4：求数据的加权平均数典例4：（2024上·山东潍坊·八年级统考期末）小明本学期三次数学测试成绩为84分，80分，94分.如果上述成绩按照1:2:2的比例计算得出总成绩，则小明的数学总成绩为（    ）A．86分B．86.4分C．87分D．88分【答案】B【分析】本题考查了加权平均数的计算，根据公式1×84+80×2+94×21+2+2=86.4(分)，选择即可．【详解】根据题意，得1×84+80×2+94×21+2+2=86.4(分)，故选B．【变式1】（2024上·陕西汉中·八年级统考期末）某学校规定学生的音乐成绩由三项组成：乐理知识占20%，演唱技能占40%，乐器演奏占40%，该校的小颖同学乐理知识、演唱技能、乐器演奏三项的得分依次是：95分，90分，85分，则小颖同学的音乐成绩为（    ）A．85分B．89分C．90分D．95分【答案】B【分析】本题考查了加权平均数，直接利用加权平均数的公式进行计算即可得．【详解】解：95×20%+90×40%+85×40%=19+36+34=89（分），故选：B．【变式2】（2024上·江苏盐城·九年级统考期末）为了了解居民的环保意识，社区工作人员在光明小区随机抽取了20名居民开展主题为“共创美好家园”的环保知识有奖问答活动，得分情况如表所示：则抽取的居民得分的平均数为（   ）A．8B．8.15C．8.26D．9【答案】B【分析】本题考查的是加权平均数的求法，根据加权平均数的计算公式列出算式，再进行计算即可得出答案．【详解】解：根据题意得：6×3+7×5+8×3+9×4+10×53+5+3+4+5=8.15（分），所以，抽取的居民得分的平均数为8.15分．故选：B．【变式3】（2023上·山东东营·八年级校考期中）某超市招聘收银员一名，对四名申请人进行了三项素质测试．四名候选人的素质测试成绩如下表．公司根据实际需要，对计算机、语言、商品知识三项测试成绩分别赋予权4，3，2后录用最高分，这四人中将被录用的是（    ）A．小赵B．小钱C．小孙D．小李【答案】B【分析】本题考查加权平均数，利用各项乘以各项权数，除以总权数即可得到答案；【详解】解：由题意可得，小赵：70×4+50×3+80×24+3+2=5909，小钱：90×4+75×3+35×24+3+2=6559，小孙：65×4+55×3+80×24+3+2=5859，小李：80×4+60×3+50×24+3+2=6009，∵5859