河南省濮阳市外国语学校2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题（原卷版+解析版）

这是一份河南省濮阳市外国语学校2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题（原卷版+解析版），共12页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
命题人：濮阳外国语学校数学命题中心
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 若命题，，则命题的否定为（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
3. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知是关于x的方程的一个根，则（ ）
A. B. C. D.
5. 已知实数，且，则的最小值为（ ）
A. B. C. 8D. 12
6. 函数的零点所在区间为（ ）
A. B. C. D.
7. 若函数是R上的减函数，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 在中，角所对的边分别为，若，且，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知为三条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题一定正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C 若，则D. 若，则
10. 已知复数z满足，则（ ）
A. B. z的实部是
C. D. 复数z在复平面内对应的点位于第四象限
11. 已知向量数量积（又称向量的点积或内积）：，其中表示向量的夹角；定义向量的向量积（又称向量的叉积或外积）：，其中表示向量的夹角，则下列说法正确的是（ ）
A. 面积为
B. 若为非零向量，且，则
C. 若，则的最小值为
D. 已知点为坐标原点，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12. 如图，是的斜二测直观图，其中，斜边，则的面积是______.
13. 已知球面上三点满足，且球心到平面的距离为6，则球的表面积为.___________.
14. 如图，在中，已知，，为线段上一动点，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知向量，.
（1）若，求；
（2）若向量，，求与夹角的余弦值.
16. 已知复数（是虚数单位），且为纯虚数（是共轭复数）.
（1）求的模；
（2）若在复平面内所对应的点在第四象限，求实数的取值范围
17. 已知函数．
（1）求的最小正周期，对称中心；
（2）求的单调区间，最值以及取得最值时的值．
18. 如图一个圆锥的底面半径为1，高为3，在圆锥中有一个底面半径为x的内接圆柱.
（1）求此圆锥的表面积与体积；
（2）试用x表示圆柱的高h；
（3）当x为何值时，圆柱全面积最大，最大全面积为多少？
19. 已知的内角，，的对边分别为，，，且．
（1）求角的大小；
（2）若，，求的面积.
濮阳外国语学校2024级高一下学期期中考试
数学试题
命题人：濮阳外国语学校数学命题中心
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据交集的定义，运用数轴法求解.
【详解】 ；
故选：A.
2. 若命题，，则命题的否定为（ ）
A. ，B. ，
C ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】根据命题的否定即可求解.
【详解】命题的否定为: ，,
故选：C
3. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由投影向量的定义式和平面向量的坐标运算计算即可.
【详解】因为，，
所以，，，
所以向量在向量上的投影向量为.
故选：B.
4. 已知是关于x的方程的一个根，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，得到，结合复数相等的条件，列出方程组，求得的值，即可求解.
【详解】因为是关于x的方程的一个根，
可得，整理得，
所以，解得，所以.
故选：D.
5. 已知实数，且，则的最小值为（ ）
A. B. C. 8D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】利用“1”的代换，由基本不等式求最小值．
【详解】由，，
则，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为8.
故选：C.
6. 函数的零点所在区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由零点存在性定理逐个判断即可；
【详解】易知单调递增；
，
所以零点所在区间为，
故选：B
7. 若函数是R上的减函数，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题，得，解不等式组即可得到本题答案.
【详解】由时，是减函数，得，由时，函数是减函数，得，由时的函数值应满足，解得，综上，得.
故选：B
【点睛】本题主要考查根据分段函数的单调性确定参数的取值范围.
8. 在中，角所对的边分别为，若，且，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由得，由利用正弦定理边化角结合两角和的正弦求得，进而得，再根据利用两角差的正弦公式结合辅助角公式得到并求值域即可.
【详解】在中，因，
所以，，所以
因为，
由正弦定理得,
所以，即，
所以,
由，解得
所以，
所以的范围是.
故选：B.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知为三条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题一定正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】AD
【解析】
【分析】根据线面、面面关系可判断AD；举反例可判断BC.
【详解】对于A，，，所以或，而，故，故正确；
对于B，如图，长方体中，，则，故B错误；
对于C，如图，长方体中，
，则，故C错误；
对于D，若，，则，而，故，故正确.
故选：AD.
10. 已知复数z满足，则（ ）
A. B. z的实部是
C. D. 复数z在复平面内对应的点位于第四象限
【答案】AC
【解析】
【分析】A选项，根据复数的除法法则计算得到，然后计算模；B选项，根据实部的定义判断；C选项，根据共轭复数的定义和减法法则计算；D选项，根据复数的几何意义判断.
【详解】由题意可得，
则的实部是，复数在复平面内对应的点为，位于第一象限，
故A，C正确，B，D错误.
故选：AC.
11. 已知向量数量积（又称向量的点积或内积）：，其中表示向量的夹角；定义向量的向量积（又称向量的叉积或外积）：，其中表示向量的夹角，则下列说法正确的是（ ）
A. 的面积为
B. 若为非零向量，且，则
C. 若，则的最小值为
D. 已知点为坐标原点，则
【答案】BC
【解析】
【分析】对于A，直接由新定义结合三角形面积公式即可验证；对于B，建立关于方程，从而即可判断；对于C，由已知得出，结合模的公式以及基本不等式即可判断；对于D，由新定义结合向量数量积、模的坐标公式即可验算.
【详解】A：，选项A错误；
B：若为非零向量，，则，选项B正确；
C：，
则当且仅当时取到“”，选项C正确；
D：已知点为坐标原点，则，选项D错误.
故选：BC.
【点睛】关键点点睛：解题的关键在于充分理解新定义和原理数量积的联系与区别，由此即可顺利得解.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12. 如图，是的斜二测直观图，其中，斜边，则的面积是______.
【答案】
【解析】
【分析】根据斜二测画法的规则复原原图，确定相关线段长，即可求得答案.
【详解】由题意可知，，斜边，，∴，
由斜二测画法的规则可知，在中，，，，
∴的面积是，
故答案为：
13. 已知球面上三点满足，且球心到平面的距离为6，则球的表面积为.___________.
【答案】
【解析】
【分析】由题意可知三角形为直角三角形，球心到平面的距离即为球心到中点的距离，可求出球的半径，然后求球的表面积
【详解】由题意，，可知
因为球心到平面的距离为6，
所以球心到中点的距离为6，
所以球的半径为：
球的表面积为：
故答案为：
【点睛】本题考查了球的内接体问题，考查了学生空间想象，数学运算能力，属于中档题
14. 如图，在中，已知，，为线段上一动点，则最小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】设，得， ，利用向量的数量积公式结合二次函数的性质即可求解.
【详解】设，则，由图可得，
所以，
则，所以当时，的最小值为，
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知向量，.
（1）若，求；
（2）若向量，，求与夹角的余弦值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由条件结合向量垂直的表示及向量坐标运算公式列方程求，再由向量的模的坐标公式求结论；
（2）由条件，结合向量平行的坐标表示列方程求，由此可得，再求，，，再由向量夹角坐标公式求结论.
【小问1详解】
因为，
所以，
所以，又，，
所以，
所以，
所以，
所以，
即；
【小问2详解】
因为，，，
所以，又，
所以，
所以，所以，
所以，，，
设与夹角为，
所以，
所以与夹角余弦值为.
16. 已知复数（是虚数单位），且为纯虚数（是的共轭复数）.
（1）求的模；
（2）若在复平面内所对应的点在第四象限，求实数的取值范围
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求出，利用复数的乘法化简复数，根据复数的概念求出的值，再利用复数的模长公式可求得的值；
（2）利用复数的除法化简复数，利用复数的几何意义可得出关于的不等式组，解之即可.
【小问1详解】
解：因为，则，所以，为纯虚数，
则，解得，则，故.
【小问2详解】
解：因为，
且复数在复平面内所对应的点在第四象限，则，解得.
17. 已知函数．
（1）求的最小正周期，对称中心；
（2）求的单调区间，最值以及取得最值时的值．
【答案】（1），；
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）利用二倍角公式以及两角和的余弦公式化简可得，利用余弦函数的周期公式以及对称性即可求解；
（2）利用余弦函数的性质即可求解．
【小问1详解】
因为，
所以的最小正周期，
令，解得，
所以的对称中心为；
【小问2详解】
令，解得，
令，解得，
所以的严格增区间为，严格减区间，
当，即时，取得最大值，
当，即时，取得最小值，
18. 如图一个圆锥的底面半径为1，高为3，在圆锥中有一个底面半径为x的内接圆柱.
（1）求此圆锥的表面积与体积；
（2）试用x表示圆柱的高h；
（3）当x为何值时，圆柱的全面积最大，最大全面积为多少？
【答案】（1）表面积，体积
（2），
（3）当时，.
【解析】
【分析】（1）根据圆锥的表面积及体积公式计算即可；
（2）根据相似计算即可得出关系式；
（3）先写出全面积公式再结合二次函数得出最大值.
【小问1详解】
由，，得，
所以，，
故 ，
；
【小问2详解】
由相似可得，得，；
【小问3详解】
记圆柱得全面积为S，
，
∵，∴当时，.
19. 已知的内角，，的对边分别为，，，且．
（1）求角的大小；
（2）若，，求的面积.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式可求的值，进而求角.
（2）利用余弦定理求边，再利用三角形的面积公式求面积.
【小问1详解】
因为，
由正弦定理可得：，
所以，
因为，所以.
又，所以.
【小问2详解】
由余弦定理得：，
又，所以.
所以.