河南省郑州外国语学校2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题（原卷版+解析版）

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（120分钟 150分）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知复数（为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2. 下列说法正确的是（ ）
A. 底面是正多边形的棱锥是正棱锥
B. 长方体是平行六面体
C. 用一个平面去截圆柱，所得截面一定是圆形或矩形
D. 用一个平面去截圆锥，截面与底面之间的部分是圆台
3. 在中，角所对边分别为，若，则（ ）
A. B. 2C. 1或2D. 2或
4. 已知直线、，平面、，满足且，则“”是“”的（ ）条件
A. 充分非必要B. 必要非充分条C. 充要D. 既非充分又非必要
5. 埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知直角三角形ABC中，，AB=2，AC=4，点P在以A为圆心且与边BC相切的圆上，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
7. 在中，内角A，B，C所对的边分别为，，，，将该三角形绕AC边旋转得一个旋转体，则该旋转体体积为（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，固定容器底面一边于地面上，再将容器倾斜．随着倾斜度的不同，有下面五个命题：
①有水的部分始终呈棱柱形；
②没有水的部分始终呈棱柱形；
③水面所在四边形面积为定值；
④棱始终与水面所在平面平行；
⑤当容器倾斜如图3所示时，是定值．
其中正确命题的个数为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知，，则下列结论正确的是（ ）
A.
B.
C. 与的夹角为
D. 在方向上的投影向量是
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 若、互为共轭复数，则为实数
B. 若为虚数单位，为正整数，则
C. 已知是关于的方程的一个根，则
D. 复数满足，则最大值为
11. 在三棱锥中，已知，点M，N分别是AD，BC中点，则（ ）
A.
B. 异面直线AN，CM所成的角的余弦值是
C. 三棱锥的体积为
D. 三棱锥的外接球的表面积为
12. 在锐角中，角的对边分别为，且满足，，则下列说法正确的有（ ）
A. 外接圆面积是B. 面积最大值是
C. 周长的取值可以是D. 内切圆半径的取值范围是
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则此圆锥的母线长为______．
14. 已知向量和满足：，，，则向量与向量的夹角为______.
15. 四棱锥的底面是边长为1的正方形，如图所示，点是棱上一点，，若且满足平面，则_________

16. 在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为的面积，且，则的取值范围为______.
四、解答题：本题共5小题，共70分．其中第17题12分，第18， 19题每题13分，第20题15分，第21题17分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知复数，，其中.
（1）若，求的值；
（2）若是纯虚数，求的值.
18. （1）已知向量，点，若向量，且，求点的坐标；
（2）已知向量，若与夹角为钝角，求的取值范围.
19. 如图，在三棱柱中，侧棱底面，，为的中点，，．

（1）求三棱柱的表面积；
（2）求证：平面．
20. 已知的内角的对边分别为，且，______
（1）求的面积；
（2）求角的平分线的长.
在①；②；③.这三个条件中任选一个，补充在上面问题的横线中，并作答.
21. 如图，在三棱柱中，已知侧面，，
（1）求证：平面；
（2）是线段上的动点，当平面 平面时，求线段的长；
（3）若为的中点，求二面角平面角的余弦值．