河南省濮阳市2022-2023学年高一下学期期末数学试题（Word版附解析）

这是一份河南省濮阳市2022-2023学年高一下学期期末数学试题（Word版附解析），共17页。

本试卷共6页，22小题，满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．将条形码横贴在答题卡右上角“贴条形码区”．
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回．
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 复数纯虚数，则实数（ ）.
A. 0B. C. 1D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】根据纯虚数的定义列方程求即可.
【详解】∵复数为纯虚数，
，，
.
故选：B.
2. 下列说法正确是（ ）
A. 若，则
B. 若 ， ，则
C. 长度不相等而方向相反的两个向量是平行向量
D. 单位向量都相等
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量的相关性质逐项分析.
【详解】对于A，若，只能说明两个向量的模长相等，但是方向不确定，所以A错误；
对于B，如果，结论B不正确；
对于C，根据平行向量的定义，C正确；
对于D，单位向量长度相等，但是方向不确定，所以D错误；
故选：C.
3. 直线与平面不平行，则（ ）
A. 与相交B.
C. 与相交或l⊂αD. 以上结论都不对
【答案】C
【解析】
【分析】根据直线与平面的位置关系的概念，结合题意，即可得到答案.
【详解】由直线与平面的位置关系概念，可得直线在平面内、直线与平面平行、直线与平面相交三种位置关系，
因为直线与平面不平行，所以与相交或.
故选：C.
4. 在中，若，则边的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用正弦定理即可.
【详解】因为，
所以由正弦定理得：
，
故选：B.
5. 某射击运动员连续射击5次，命中的环数（环数为整数）形成的一组数据中，中位数为8，唯一的众数为9，极差为3，则该组数据的平均数为（ ）
A. B. C. 8D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先分析数据的情况，再根据平均数公式计算可得.
【详解】依题意这组数据一共有个数，中位数为，则从小到大排列前面有个数，后面也有个数，
又唯一的众数为，则有两个，其余数字均只出现一次，则最大数字为，
又极差为，所以最小数字为，
所以这组数据为、、、、，
所以平均数为.
故选：B
6. 已知三内角，，的对边分别为，，，若，则的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由已知得，利用余弦定理求得，得到角，从而由求出结果.
【详解】，整理可得，
，
，，
，
故选：A．
7. 某同学进行投篮训练，在甲、乙、丙三个不同的位置投中的概率分别p，，，该同学站在这三个不同的位置各投篮一次，恰好投中两次的概率为，则p的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意结合独立事件概率的乘法公式求恰好投中两次的概率，列方程求解即可得结果.
【详解】在甲、乙、丙处投中分别记为事件A，B，C，则，
可知恰好投中两次为事件，
故恰好投中两次的概率，解得．
故选：A.
8. 点为所在平面内的点，且有，，，则点分别为的（ ）
A. 垂心，重心，外心B. 垂心，重心，内心
C. 外心，重心，垂心D. 外心，垂心，重心
【答案】A
【解析】
【分析】由题中向量的关系，根据数量积转化为位置上的关系，进而可判断.
【详解】由，得，
即，
则，
得
所以，则，同理可得，，
即是三边上高的交点，则为的垂心；
由，得，
设的中点为，则，即，，三点共线，
所以在的中线上，同理可得在的其余两边的中线上，
即是三边中线的交点，故为的重心；
由，得，即，
又是的中点，所以在的垂直平分线上，
同理可得，在，的垂直平分线上，
即是三边垂直平分线的交点，故是的外心，
故选：A
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 下列有关复数的说法中（其中为虚数单位），正确的是（ ）
A.
B. 复数的虚部为
C. 若，则复平面内对应的点位于第二象限
D. 复数为实数的充要条件是
【答案】AD
【解析】
【分析】根据复数的乘方判断A，根据复数的定义判断B，根据复数的几何意义判断C，根据充要条件的定义判断D.
【详解】对于A：，故A正确；
对于B：复数的虚部为，故B错误；
对于C：，所以，
则复平面内对应的点为位于虚轴，故C错误；
对于D：若复数为实数则，
设，，若，即，所以，则复数为实数，
故复数为实数的充要条件是，故D正确；
故选：AD
10. 从一批产品中取出三件产品，设A=“三件产品全不是次品”，B=“三件产品全是次品”，C=“三件产品不全是次品”，则下列结论正确是（ ）
A. A与B对立B. B与C互斥
C. A与C互斥D. B与C对立
【答案】BD
【解析】
【分析】利用互斥事件、对立事件的定义直接判断作答.
【详解】事件A：三件产品都是正品，事件C：三件产品包含一件正品两件次品，两件正品一件次品，三件正品，
事件A与B互斥不对立，事件A与C不互斥，事件B与C互斥，又对立，所以A，C都不正确；B，D都正确.
故选：BD
11. 下列说法中正确的有（ ）
A. 若与是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上
B. 若向量，，则
C. 若平面上不共线的四点O，A，B，C满足，则
D. 若非零向量，满足，则与的夹角是
【答案】BC
【解析】
【分析】对于A，根据向量共线的定义，可得其正误；对于B，利用向量共线定理，可得其正误；
对于C，根据向量减法，结合共线定理，可得其正误；对于D，根据向量模的求解以及夹角公式，可得答案.
【详解】与是共线向量，也可能是，故A错误；
设，∵，，∴解得∴，
又∵，∴，故B正确；
由已知得，∴，∴，故C正确；
由整理可得，设与的夹角是，
则，∴与的夹角是，故D错误．
故选：BC.
12. 已知三棱锥中两两垂直，且，则下列结论正确的是（ ）
A. 二面角 的正切值为
B. 三棱锥的内切球的半径为
C. 是线段上一动点，则面积的最小值为
D. 是三棱锥的外接球上一动点，则点到面距离的最大值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】将三棱锥嵌套在正方体内，对于A：可证，，结合二面角可知：二面角 的平面角为，运算判断；对于B：根据三棱锥内切球的半径公式，运算判断；对于C：根据正方体可证：，结合三角形面积分析可得：当是线段的中点时，面积取到最小值，运算判断；对于D：结合正方体可知：三棱锥的外接球即为正方体的外接球，且为外接球的直径，可证平面，则点到面距离的最大值为，运算判断．
【详解】根据题意将三棱锥嵌套在正方体内，如图所示：
连接交于点，
在正方体中，∴
∵，点为的中点，则
∴二面角 的平面角为，则，A正确；
三棱锥的表面积为，体积为
∴三棱锥的内切球的半径为，B错误；
根据题意可知：平面，则
∴面积为
当是线段的中点时，取到最小值
∴面积的最小值为，C正确；
三棱锥的外接球即为正方体的外接球，显然为外接球的直径，设
∵，
，则平面
∴
同理可证：
，则平面
点到面距离的最大值为
∵且，则为平行四边形
∴，则
∴，D正确；
故选：ACD．
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 某校高一(1)班有50名学生，综合素质评价“运动与健康”方面的等级统计如图所示，则该班“运动与健康”评价等级为A的人数是_____

【答案】19
【解析】
【分析】高一(1)班的总人数乘以该班“运动与健康”评价等级为A的所占的百分比，即可得该班“运动与健康”评价等级为A的人数．
【详解】该班“运动与健康”评价等级为A的人数是：50×38%=19人．
故答案为19
【点睛】本题主要考查扇形统计图的定义，其中各部分的数量=总体×其所占的百分比．
14. 紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品，其制作始于明朝正德年间．紫砂壶的壶型众多，经典的有西施壶、掇球壶、石瓢壶、潘壶等．其中，石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台（即圆锥用平行于底面的平面截去一个锥体得到的）．下图给出了一个石瓢壶的相关数据，那么该壶的容量为______．（结果用圆周率表示）

【答案】##
【解析】
【分析】利用圆台体积公式可得，也可以看成为两个圆锥体积相减.
【详解】方法1：由题意知，圆台上底面半径为4，下底面半径为5，高为4，
则.
方法2：如图，

设大圆锥的高为h，则，解得：，
所以.
故答案为：.
15. 若，则方程有实根的概率为________．
【答案】##
【解析】
【分析】先利用判别式求出的范围，然后根据可取的值得概率.
【详解】方程有实根,
，解得，
又，
可取的值的集合为，
则方程有实根的概率为.
故答案为：.
16. 如图所示，在三棱柱中，底面，，，，为上的动点，则的最小值为________．
【答案】5
【解析】
【分析】将二面角沿展开成平面图形，得四边形，若要取得最小值，当且仅当、、三点共线，即可求出满足条件的点位置，然后应余弦定理求解.
【详解】由题设可知为等腰直角三角形，且平面，故，
将二面角沿展开成平面图形，得四边形，如图所示，
若要取得最小值，当且仅当、、三点共线，
∵、，，，∴，
∴当最小值时，由余弦定理得，
∴，即的最小值为．
故答案为：5.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知复数（i是虚数单位），为z的共轭复数.
（1）求复数z的模；
（2）若（a，），求a，b的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先利用复数的运算法则化简复数，再根据复数模的定义，直接计算 的模长即可
（2）先利用复数的运算法则化简复数，再根据复数相等即可求解
【小问1详解】
∵，∴
【小问2详解】
∵，∴
∴，∴∴
18. 仓廪实，天下安．习近平总书记强调:“解决好十几亿人口的吃饭问题，始终是我们党治国理政的头等大事”“中国人的饭碗任何时候都要牢牢端在自己手上”．粮食安全是国家安全的重要基础．从某实验农场种植的甲、乙两种玉米苗中各随机抽取5株，分别测量它们的株高如下（单位：cm）：
甲：29，31，30，32，28；
乙：27，44，40，26，43．
请根据平均数和方差的相关知识，解答下列问题：
（1）哪种玉米苗长得高？
（2）哪种玉米苗长得齐？
【答案】（1）乙种玉米苗长得高
（2）甲种玉米苗长得齐
【解析】
【分析】（1）计算甲乙的平均数，再比较大小即可；
（2）计算甲乙是的方差，比较大小即可.
【小问1详解】
，
，
．
乙种玉米苗长得高．
【小问2详解】
，
，
．
甲种玉米苗长得齐．
19. 已知平面向量、，若，，.
（1）求向量、的夹角；
（2）若且，求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）在等式两边平方，结合平面向量数量积的运算性质可求得向量、的夹角的余弦值，结合向量夹角的取值范围即可得解；
（2）由已知可得，利用平面向量数量积的运算性质求出的值，然后利用平面向量数量积的运算性质可求得.
【小问1详解】
解：因，则
，所以，，
又因为，因此，，即向量、的夹角为.
【小问2详解】
解：因为且，则
，解得，
因此.
20. 某校组织全体学生参加“数学以我为傲”知识竞赛，现从中随机抽取了100名学生的成绩组成样本，并将得分分成以下6组：[40，50），[50，60），[60，70），……，[90，100]，统计结果如图所示：
（1）试估计这100名学生得分的平均数（同一组中的数据用该组区间中点值代表）；
（2）现在按分层抽样的方法在[80，90）和[90，100]两组中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人参加这次竞赛的交流会，求两人都在[90，100]的概率．
【答案】（1）70.5
（2）
【解析】
【分析】（1）根据频率分布直方图直接代入平均数的计算公式即可求解；
（2）根据分层抽样在分组中抽取的人数为人，在分组中抽取的人数为2人，利用古典概型的概率计算公式即可求解.
【小问1详解】
由频率分布直方图的数据，可得这100名学生得分的平均数：
分．
【小问2详解】
在和两组中的人数分别为：100×(0.015×10)=15人和100×(0.01×10)=10人，
所以在分组中抽取的人数为人，记为a，b，c，
在分组中抽取人数为2人，记为1，2，
所以这5人中随机抽取2人的情况有：，共10种取法，
其中两人得分都在的情况只有，共有1种，
所以两人得分都在的概率为．
21. 若△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足.
（1）求角A；
（2）若，求△ABC周长的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据正弦定理边角互化，可得，由余弦定理即可求解，
（2）根据正弦定理得，由内角和关系以及和差角公式可得，进而由三角函数的性质即可求解.
【小问1详解】
由正弦定理可得：，
，，
【小问2详解】
因为，，所以，故
由正弦定理得：
所以，
所以周长
因为，则，所以
故
求周长的取值范围为.
22. 如图，在几何体ABCDE中，面，，，．
（1）求证：平面平面DAE；
（2）AB=1，，，求CE与平面DAE所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据线线平行证得，再结合线面垂直的性质定理与面面垂直的判定定理即可得证；
（2）首先确定直线与平面所成角的平面角为，再应用棱锥体积公式求、，即可得解.
【小问1详解】
如图，取的中点M、N，
连接、、，则知，且，
又，且，
所以，且，
则四边形为平行四边形，所以．
∵，M为的中点，∴，
∵平面，平面，∴．
又，平面,平面，∴平面
从而可得平面，由于平面，
所以平面平面，命题得证．
.
【小问2详解】
由（1）知，平面DAE于，则为CE与平面DAE所成角.
且在中，，由且，得，
又已知平面，平面，∴，
∵平面ABCD，∴平面ABCD，
设，则，那么有，
则，解得，即有．
从而易得，在中，；
又在中，，则知；
∴，即CE与平面DAE所成角的正弦值为．