河南省濮阳市2024-2025学年高一上学期期末数学试题（解析版）

这是一份河南省濮阳市2024-2025学年高一上学期期末数学试题（解析版），共12页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】当时，，故不是不等式的解，
不等式可化为，因为，故，
所以且，所以且，
又，所以.
故选：B.
2. 已知命题，；命题，，则（ ）
A. 和都是真命题B. 和都是真命题
C. 和都是真命题D. 和都是真命题
【答案】B
【解析】取易得命题为假命题，故命题为真命题；
构造函数，其中，
因为函数、在上均为增函数，
所以，函数在上为增函数，
因为，，则，
所以，函数在上有且只有一个零点，命题为真命题.
因此，和都是真命题.
故选：B.
3. 某生命科学研究所通过研究发现，当一个人的肥胖指数大于24但不大于28时，可认定为轻微肥胖；当一个人的肥胖指数大于28时，可认定为严重肥胖，且轻微肥胖和严重肥胖均为肥胖类型的一种，据上述文字叙述可以得知（ ）
A. 严重肥胖是肥胖指数大于24的充分不必要条件
B. 严重肥胖是肥胖指数大于24的必要不充分条件
C. 严重肥胖是肥胖指数大于24的充要条件
D. 严重肥胖既不是肥胖指数大于24的充分条件也不是必要条件
【答案】A
【解析】由题意可得严重肥胖一定能推出肥胖指数大于24，但肥胖指数大于24，不大于28时不能推出严重肥胖，
因此严重肥胖是肥胖指数大于24的充分不必要条件．
故选：A．
4. 已知幂函数的图象分别经过两点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】把两点分别代入可得，
所以，，
对于A，，若，则，
得，此方程无解，所以不成立，所以A错误，
对于B，，所以B正确，
对于C，，
因为在上递减，且，
所以，即，
所以，所以不成立，所以C错误，
对于D，若，则，得，显然不成立，所以，所以D错误.
故选：B．
5. 已知函数，其中，则下列说法中错误的是（ ）
A. 若为偶数，则与的值域相同
B. 若为奇数，则与的值域相同
C. 若为偶数，则与的定义域相同
D. 若为奇数，则与的定义域相同
【答案】C
【解析】（1）当为偶数时，
的定义域为，的定义域为，
所以与的定义域不相同，
为偶函数，当时，，所以与的值域相同．
（2）当为奇数时，与的定义域均为，且，
所以与的定义域与值域均相同．
所以选项C错误.
故选：C．
6. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由，得，
所以，
所以，解得或（舍），
所以．
故选：A．
7. 已知函数，若，且，则方程的根的个数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】因为，，
可知是图象的一个对称中心，是的图象的上顶点，
且点为函数与的交点，
又是图象的一个对称中心，
故关于的对称点也在与的图象上，
结合图象可知：方程的根的个数为3．
故选：C．
8. 已知正数满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由，得，由此可得是方程的根，
则是直线与曲线交点的横坐标；
由，得，则是方程的根，
则是直线与曲线交点的横坐标；
由，得，，
则是方程的根，
则是直线与曲线交点的横坐标．
直线，和交于点，曲线经过点，
由函数图象可得．
故选：D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列所给函数中，不能使用二分法求解其零点所在区间的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】对于A，因为和在上连续且单调递增，
所以在上连续且单调递增，
所以，无零点，不能使用二分法，故A正确；
对于B，，当且仅当时取等号，
又零点左右函数值同号，不能使用二分法，故B正确；
对于C，因为和在上连续且单调递增，所以在上连续且单调递增，
因为，所以可以使用二分法，故C错误；
对于D，，无零点，不能使用二分法，故D正确．
故选：ABD．
10. 已知实数满足，则下列说法正确的有（ ）
A.
B. 若且，则最大值为2
C. 对于任意的，总有
D. 存在，使得
【答案】AC
【解析】对于A，因为，所以，所以，故A正确；
对于B，若，则，故，当且仅当时等号成立，但，故等号无法成立，故B错误；
对于C，对于任意的，所以，故恒成立，故C正确；
对于D，因为，故的最大值在时取到，此时取值为，
因为，所以的最小值在时取到，此时取值为，
故的最大值小于的最小值，不存在，使得，故D错误．
故选：AC．
11. 在天文观测中，某恒星的亮度随时间，单位：百年）的变化曲线可以用函数来描述．观测发现在和时，该恒星的亮度均为，而在时，恒星处于最亮状态，则下列说法正确的有（ ）
A. 在区间内，恒星亮度变化曲线的对称轴一定是奇数条
B. 在区间内，恒星的亮度为的次数一定是偶数次
C. 在区间内，恒星达到最暗的次数一定是奇数次
D. 在区间内，恒星达到最暗的次数一定是偶数次
【答案】BC
【解析】当时，在区间内恒星亮度变化曲线有2条对称轴，故A错误；
由于时，恒星处于最亮状态，即函数取最大值，
可解得，故，则是函数的对称轴，
区间关于对称，故恒星的亮度为的次数一定是偶数次，B正确；
因为当和时，该恒星的亮度均为，且时恒星处于最亮状态，
，
故，则，即时取最小值，
在内，恒星达到最暗的次数一定是偶数次，
在内，由于区间关于对称，且时取最小值，故恒星达到最暗的次数一定是奇数次，
故在区间内，恒星达到最暗的次数一定是奇数次，故C正确；
当时，，在区间内恒星达到最暗的次数只有1次，故D错误．
故选：BC．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 一个扇形的弧长和面积都为1，则此扇形的圆心角的弧度数为________.
【答案】
【解析】设此扇形的圆心角的弧度数为，半径为，弧长为，则，
解得.
13. 已知函数在上有且仅有三个零点，则正数的取值范围是______．
【答案】
【解析】为使函数满足有且仅有三个零点，
根据余弦函数的图象可得，
解得，故的取值范围是．
14. 已知函数的图象是中心对称图形，则其对称中心的坐标为______．
【答案】
【解析】已知图象关于原点对称，故的图象关于点对称，
令，解得，
故对称中心横坐标为2，故设其对称中心的坐标为，
则，可知，解得，
故其对称中心的坐标为．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 按要求完成下列各题．
（1）求值：；
（2）已知点为角终边上一点，求的值．
解：（1），，，
故原式．
（2）由三角函数的概念可得，
故．
16. 设集合．
（1）当时，求集合的非空真子集的个数；
（2）若，求整数的所有可能取值．
解：（1）当时，，则，
所以非空真子集的个数为.
（2）依题意，，由，得，解得，
所以整数的所有可能取值为1和2．
17. 已知函数．
（1）求的最小值；
（2）若，求实数的取值范围．
解：（1），
当且仅当即时取等号，故的最小值为2.
（2）易知在上单调递增，
因为，故，
整理得，即，解得，
故所求为．
18. 为探究与的关系，研究人员提出了用的函数模型刻画数据．其中与的几组对应数据如下表：
（1）运用上述函数模型，求当时的值；
（2）若当时，恒成立，求的最小值．
解：（1）将表格数据代入，得，解得
故该函数模型的表达式为，
把代入，得．
（2）由题意得当时，恒成立，即，
故两边同时除以，得到，
不妨设，故原式化为，整理得，
由于在上单调递减，在上单调递增，
故只需当时，成立即可，把代入得，
解得，故的最小值为．
19. 已知函数，给定，定义的“－关联跟踪函数”为．
（1）求的取值范围；
（2）已知当时，恒成立．若对于任意的都有，求的取值集合；
（3）若，证明：轴为函数图象的对称轴．
解：（1），
其中，
故的取值范围为．
（2）由题意可得，
则
，
又因为当时，恒成立，故只需满足即可，
故满足题意的的取值集合为．
（3）证明：由，得．
①当即时，，
因为，所以为偶函数，
所以其图象关于轴对称．
②当即时，
，
则，所以为偶函数，
故其图象关于轴对称．
综上所述，轴为函数图象的对称轴．