2025中考数学-题型归纳讲练(通用版)热点题型·专题06几何作图(含尺规作图、无刻度作图)(原卷版+解析)

这是一份2025中考数学-题型归纳讲练(通用版)热点题型·专题06几何作图(含尺规作图、无刻度作图)(原卷版+解析)，文件包含2025中考数学-题型归纳讲练通用版热点题型·专题06几何作图含尺规作图无刻度作图原卷版docx、2025中考数学-题型归纳讲练通用版热点题型·专题06几何作图含尺规作图无刻度作图解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共123页， 欢迎下载使用。
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc26390" 热点题型归纳 PAGEREF _Tc26390 \h 1
\l "_Tc26390" 题型01 作角平分线 PAGEREF _Tc26390 \h 1
\l "_Tc31080" 题型02 作三角形 PAGEREF _Tc31080 \h 8
\l "_Tc4718" 题型03 作四边形 PAGEREF _Tc4718 \h 16
\l "_Tc4889" 题型04 作垂线（含高） PAGEREF _Tc4889 \h 19
\l "_Tc15053" 题型05 作中线（含中位线） PAGEREF _Tc15053 \h 25
\l "_Tc24516" 题型06 作垂直平分线 PAGEREF _Tc24516 \h 28
\l "_Tc4376" 题型07 作切线 PAGEREF _Tc4376 \h 32
\l "_Tc32546" 题型08 作平行线 PAGEREF _Tc32546 \h 39
\l "_Tc18149" 题型09 作圆 PAGEREF _Tc18149 \h 44
\l "_Tc12841" 题型10 格点作图综合 PAGEREF _Tc12841 \h 54
\l "_Tc32" 题型11 无刻度直尺作图综合 PAGEREF _Tc32 \h 65
\l "_Tc8355" 中考练场 PAGEREF _Tc8355 \h 75
题型01 作角平分线
几何作图作角平分线是初中数学几何领域中极为重要的基础实践内容，它紧密关联几何图形性质，要求学生凭借特定工具与方法精准构建角平分线，借此深化对几何原理的理解与运用，在中考数学中分值占比大致处于 2% - 4%。
1.考查重点：着重考查学生对尺规作图及借助特殊几何图形性质作角平分线的核心原理的深度理解，能否严格依照规范流程，运用圆规、直尺等工具精确完成作图，并灵活运用角平分线的相关性质开展逻辑推理。
2.能力要求：学生需具备过硬的动手实操能力，熟练且精准地操控圆规与直尺完成尺规作图；拥有敏锐的图形洞察与分析能力，在无刻度作图情境下，快速挖掘图形隐含条件；同时，掌握扎实的逻辑推导能力，透彻理解作图原理并能将角平分线知识灵活融入解题过程。
【提分秘籍】
作已知角的角平分线．
具体步骤：
①以角的顶点O为圆心，一定长度为半径画圆弧，圆弧与角的两边分别交于两点M、N。如图①。
②分别以点M与点N为圆心，大于MN长度的一半为半径画圆弧，两圆弧交于点P。如图②。
③连接OP，OP即为角的平分线。
【典例分析】
例1．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，在中，．
(1)尺规作图：作的角平分线，在角平分线上确定点，使得；（不写作法，保留痕迹）
(2)在（1）的条件下，若，，，则的长是多少？（请直接写出的值）
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】（1）作的角平分线和线段的垂直平分线相交于点D，即为所求．
（2）过点D作交与点E，过点D作交与点F，先利用角平分线的性质定理证明四边形为正方形，设，则，，以为等量关系利用勾股定理解出x，在利用勾股定理即可求出．
【详解】（1）解：如下图：即为所求．
（2）过点D作交与点E，过点D作交与点F，
则，
又∵
∴四边形为矩形，
∵是的平分线，
∴，
∴四边形为正方形，
∴，
设，
∴，，
在中，，
在中，，
∵
∴
∴
解得：，
∴．
【点睛】本题主要考查了作角平分线以及垂直平分线，角平分线的性质定理，正方形的判定以及勾股定理的应用，作出图形以及辅助线是解题的关键．
例2．（2024·广东·中考真题）如图，在中，．

(1)实践与操作：用尺规作图法作的平分线交于点D；（保留作图痕迹，不要求写作法）
(2)应用与证明：在（1）的条件下，以点D为圆心，长为半径作．求证：与相切．
【答案】(1)见解析
(2)证明见解析
【分析】本题考查了尺规作角平分线，角平分线的性质定理，切线的判定等知识．熟练上述知识是解题的关键．
（1）利用尺规作角平分线的方法解答即可；
（2）如图2，作于，由角平分线的性质定理可得，由是半径，，可证与相切．
【详解】（1）解：如图1，即为所作；

（2）证明：如图2，作于，

∵是的平分线，，，
∴，
∵是半径，，
∴与相切．
例3．（2024·山东青岛·中考真题）已知：如图，四边形，E为边上一点．
求作：四边形内一点P，使，且点P到的距离相等．
【答案】见解析
【分析】本题考查作图-复杂作图，角平分线的性质，解题的关键是掌握作角平分线和作一个角等于已知角的尺规作图方法．作的平分线，以E为顶点，为一边作，交于P，点P即为所求．
【详解】解：作的平分线，以E为顶点，为一边作，交于P，如图，点P即为所求．
【变式演练】
1．（2025·河南·一模）如图，点A，B，C在上，点E在的延长线上，连接，．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作的平分线交于点D（保留作图痕迹，不写作法）．
(2)在（1）的条件下，连接，，求证：是等腰三角形．
【答案】(1)图见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）按照作角平分线的方法作出射线即可；
（2）连接，，并标记，，，，由（1）得是的平分线，由角平分线的定义可得，由圆内接四边形的性质可得，由同弧或等弧所对的圆周角相等可得，进而可得，由等角对等边可得，于是结论得证．
【详解】（1）解：如图，射线即为所求作；
（2）证明：如图，连接，，并标记，，，，
由（1）得：是的平分线，
，
四边形是的内接四边形，
，
又，
，
，
是等腰三角形．
【点睛】本题主要考查了作角平分线（尺规作图），圆内接四边形的性质，同弧或等弧所对的圆周角相等，等角对等边，角平分线的有关计算等知识点，熟练掌握尺规作图的基本方法和技巧及圆内接四边形的性质是解题的关键．
2．（2025·河南郑州·一模）如图，已知平行四边形．
(1)尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线．（要求：不写作法，保留作图痕迹）
(2)E为上一点，设（1）中的平分线交于点F，连接，若，判断四边形的形状，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)菱形，理由见解析
【分析】（1）按照作角平分线的步骤即可作图；
（2）先证明四边形是平行四边形，然后证明，即可证明为菱形．
【详解】（1）解：如图：即为所作：
（2）解：四边形是菱形，理由如下，
证明：如图，∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴四边形是平行四边形，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是菱形．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定，尺规作图，等腰三角形的判定，熟练掌握各知识点是解题的关键．
3．（2025·山东威海·模拟预测）如图，已知中，在上有一点，连接，并延长至点E，使．
(1)画图：作的平分线交于点（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）的条件下，连接，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查尺规作角平分线，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
（1）根据尺规作角平分线即可；
（2）根据题意证明，即可求解．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）证明：∵，
∴，
由（1）知：平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
题型02 作三角形
几何作图作三角形是初中数学几何板块中培养学生动手实践与逻辑思维能力的核心内容，借助尺规等工具，依据三角形全等的判定条件，精确构建满足特定条件的三角形，深化学生对三角形构成要素及性质的认知，在中考数学中分值占比约 3%-5%。
考查重点：重点考查学生能否依据给定的条件，像三边长度、两边及其夹角、两角及其夹边等，熟练运用尺规作图方法，准确作出相应三角形，同时理解三角形全等判定定理在作图过程中的运用原理，并能基于所作三角形进行简单的性质推导。
【典例分析】
例1．（2024·广东中山·模拟预测）已知：线段a和，求作：，使，且，．
【答案】见详解
【分析】本题主要考查作图，涉及作已知角的角平分线、坐一个角等于已知角和作垂线，首先作的角平分线，其次，以已知线段的一个端点为点作，再次过点B作已知角的另一边的垂线，垂足为C，此时即为所求．
【详解】解：如图，
例2．（2024·广东·模拟预测）如图，在等边中，为边上的高．
(1)实践与操作：利用尺规，以为边在下方作等边，延长交于点；（要求：尺规作图并保留作图痕迹、不写作法，标明字母）
(2)应用与证明：在（1）的条件下，证明．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了作线段，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识．熟练掌握作线段，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）如图，分别以为圆心，的长为半径画弧，交点为，连接，则等边即为所作，延长交于点，点即为所作；
（2）证明，进而可证．
【详解】（1）解：如图，分别以为圆心，的长为半径画弧，交点为，连接，则，等边即为所作，延长交于点，点即为所作；
（2）证明：∵为等边三角形，为边上的高，
∴，
∵等边，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
例3．（2024·福建龙岩·模拟预测）如图，线段，点C在线段上．
(1)在线段同侧，作等边和等边；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）条件下，连结和，分别交于点M，N．
①求证：；
②若，求．
【答案】(1)见解析；
(2)①见解析；②
【分析】（1）根据等边三角形的作图方法作图即可；
（2）①先证明，再证明即可；
②根据等边三角形的性质得到，，进步得到，，再根据，得到，即可求解．
本题考查了作图-基本作图，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】（1）解：分别以B、C为圆心，的长为半径画圆，交于点A，连接，分别以C、D为圆心，的长为半径画圆，交于点A，连接，则和即为所求作的等边三角形，如图： ，
（2）①证明：，
，
在和中，
，
，
，
在和中，

②由①可知，
为等边三角形，
，
，
，
【变式演练】
1．（2024·广西梧州·一模）如图，已知线段a、b．求作，并使两直角边，．
【答案】见详解
【分析】本题主要考查了尺规作图-作三角形．先画一条直线，在直线上任取一点B，截取,然后过点C作已知直线的垂线 ，截取,连接, 则为所求作的三角形．
【详解】解：如图：
如图所求为所求作的三角形.
2．（2024·山东青岛·模拟预测）已知：如图，线段a，，
求作：，使，且边上的高．
【答案】见解析．
【分析】本题考查尺规作三角形，根据尺规作角，角平分线以及垂线的方法，先作 ，然后作的角平分线，截取，过点作的垂线，交角的两边于点，即为所求．
【详解】解：如图，即为所求作三角形，其中．
3．（2023·福建泉州·模拟预测）如图，，．

(1)求作及，满足为等边三角形，，其中，点，与点在的同侧；（要求：尺规作图，不写作法，保留痕迹）
(2)在（1）的条件下，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）先由三边相等的三角形为等边三角形作，再由题中条件，根据邻补角定义作即可得到答案；
（2）根据等腰三角形的性质求解．
【详解】（1）解：如图所示：
，，
，
延长，尺规作图，
及即为所求；
（2）解：连接，，，如图所示：
，
，，，
，
，，三点共线，
．
【点睛】本题考查了复杂作图-作相等线段及作相等角，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
4．（2024·广西桂林·一模）如图，在中，，E为边的中点．
(1)尺规作图：以为边在外部作等边，连接，；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)判断的形状并给予证明．
【答案】(1)见解析
(2)等边三角形，见解析
【分析】本题考查了作图-作三角形、等边三角形的判定性质、全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线性质，含30度角的直角三角形的特征，熟练掌握这些知识点是解题的关键．
（1）分别以A、E为圆心，长为半径画弧，两弧在上方交于点D，连接即可；
（2）由是等边三角形，结合，E为边的中点，得到，，利用得到，利用全等三角形的性质即可得证．
【详解】（1）解：如图所示，等边为所求；
（2）证明：等边三角形
在中，，
，，
是等边三角形，
，，
，
E为边的中点，
，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形．
题型03 作四边形
几何作图作四边形是初中数学几何板块中提升学生综合几何素养与实践能力的重要内容，借助尺规等工具，依据四边形的判定定理和性质，通过确定顶点位置来构建满足特定条件的四边形，深化学生对四边形结构和性质的理解，在中考数学中分值占比约 2%-4%。
考查重点：重点考查学生依据给定条件，如四边形的边、角关系（如平行四边形的对边平行且相等、菱形的四条边相等、矩形的四个角为直角等），熟练运用尺规作图方法准确作出四边形，理解四边形判定定理在作图过程中的运用原理，并能对所作四边形的性质进行简单推导。
【典例分析】
例1．（2024·山西太原·三模）如图示，已知等边，．请解答下列问题：
(1)尺规作图：请将补成一个菱形（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)求菱形对角线的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）分别以A，C为圆心，以长为半径，画弧，二弧交于点D，则点D即为所求；
（2）根据菱形的性质，选择适当的三角函数解答即可．
本题考查了基本作图，菱形性质，解直角三角形，
【详解】（1）分别以A，C为圆心，以长为半径，画弧，二弧交于点D，如图，
则点D即为所求．
（2）设菱形的对角线，交于点O．
∵四边形是菱形，
∴，．
∵是等边三角形，
∴．
在中，
∵，，
∴．
∴．
【变式演练】
1．（2024·江苏无锡·一模）尺规作图：
(1)请在图①中以矩形的边为边作菱形，使得点E在上；
(2)请在图②中以矩形的边为直径作，并在上确定点P，使得的面积与矩形的面积相等.
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）结合菱形的判定，以点D为圆心，的长为半径画弧，交为点E，再分别以点E、点A为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点F，连接、、即可；
（2）作线段的垂直平分线，交于点O，以点O为圆心，的长为半径画圆，即可得，以点O为圆心，的长为半径画弧，在的上方交于点E，再作，作直线，分别交于点、，即可求解．
【详解】（1）解：如图，菱形即为所求，
（2）解：如图，点、即为所求，
【点睛】本题考查作图−复杂作图、菱形的判定、矩形的性质、垂直平分线的性质，理解题意、灵活运用相关知识是解题的关键．
2．（2024·江苏淮安·模拟预测）如图，C为线段外一点．
(1)在图1中，求作四边形，使得，且；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)若在（1）的四边形中，相交于点O，则与的面积比为 ．（可用图2作图分析，不要破坏（1）中作图）
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查作图—复杂作图，相似三角形的判定和性质，关键是掌握基本作图：作一个角等于已知角；相似三角形面积的比等于相似比的平方．
（1）由基本作图：作一个角等于已知角，即可作出，在上截取，即可得到所要作的四边形．
（2）由相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可计算．
【详解】（1）解：如图1，四边形即为所求作的四边形，
（2）解：如图2，
，
，
，
，
与的面积比为．
故答案为：．．
题型04 作垂线（含高）
几何作图作垂线（含高）是初中数学几何板块里培养学生基础几何操作与理解图形性质能力的关键内容，通过尺规等工具，依据垂直的定义与性质，在各类几何图形中构建垂直关系，尤其在确定三角形等高线时发挥重要作用，加深学生对图形中垂直要素的认知，在中考数学中分值占比约 2%-4%。
考查重点：重点考查学生依据尺规作图规则，针对给定直线、线段或几何图形（如三角形），准确作出垂线（或高），深刻理解垂线的基本性质（如过一点有且只有一条直线与已知直线垂直）在作图过程中的运用，并能基于所作垂线进行简单的几何推理与计算。
【典例分析】
例1．（2024·广东清远·模拟预测）如图，在中，
(1)实践与操作：用尺规作图法作边的高（保留作图痕迹，不用写作法）；
(2)在（1）的条件下，若，，，求的长．
【答案】(1)图见解析
(2)
【分析】本题考查尺规作图—作垂线及解直角三角形，熟练掌握三角函数的定义并熟记特殊角的三角函数值是解题关键．
（1）过点作边的垂线，垂足为，即为所求；
（2）利用、的正切值分别求出、的长即可得答案．
【详解】（1）解：如图所示：为所要求作的高．
（2）∵为边上的高，
∴，
∴，
在中，，即，
∴，
在中，，即，
∴，
∴．
例2．（2024·四川达州·中考真题）如图，线段、相交于点．且，于点．
(1)尺规作图：过点作的垂线，垂足为点、连接、；（不写作法，保留作图痕迹，并标明相应的字母）
(2)若，请判断四边形的形状，并说明理由．（若前问未完成，可画草图完成此问）
【答案】(1)见解析
(2)四边形是平行四边形，理由见解析
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，垂线的尺规作图，全等三角形的性质与判定：
（1）先根据垂线的尺规作图方法作出点F，再连接、即可；
（2）先证明，得到，再证明，进而证明，得到，即可证明四边形是平行四边形．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：四边形是平行四边形，理由如下：
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
【变式演练】
1．（2024·广东清远·模拟预测）如图，在菱形中，，．
(1)实践操作：用尺规作图法过点B作边上的高；（保留作图痕迹，不要求写作法）
(2)应用与证明：在（1）的条件下，在线段上截取线段，使，连接，求证四边形是矩形，并求出它的周长．
【答案】(1)图见解析
(2)图与证明见解析，周长为
【分析】（1）根据垂线作法直接作垂线即可；
（2）截取线段，连接，根据菱形的性质结合可证得四边形是平行四边形，再结合（1）作法可得，从而证得平行四边形是矩形，再根据锐角三角函数和菱形的性质即可求得矩形的长与宽，从而求得四边形的周长．
【详解】（1）解：如图所示，线段即为所求作的高．
（2）证明：如图所示，截取线段，连接．
∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
∴四边形是平行四边形．
由（1）作法知：，
∴，
∴平行四边形是矩形，
∴，
∴，
∴．
∵四边形是菱形，，
∴．
在中，
∵，，
∴，
，
∴，
∴矩形的周长为：．
【点睛】本题考查了作垂线，作线段等于已知线段，矩形的性质与判定，菱形的性质，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识．
2．（2024·河南商丘·模拟预测）如图，在中，是的中点．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作出边上的高．(保留作图痕迹，不写作法)
(2)在（1）的条件下，连接交于点，若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查尺规作图，作垂线和全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，判定是解题的关键．
（1）根据过直线外一点作已知直线的垂线的方法作图即可；
（2）证明得出，先求得，再求得，从而的得解．
【详解】（1）解：如解图所示，线段即为所求．
（2）解：是的中点，
．
，
．
又
．
．
．
．
．
．
3．（2024·广西贵港·模拟预测）如图，在中，平分，交于点．
(1)实践与操作：过点A作的垂线，分别交，于点，；（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
(2)猜想与证明：试猜想线段与的数量关系，并加以证明．
【答案】(1)见解析
(2)，证明见解析
【分析】本题考查了基本作图，平行四边形的性质，等腰三角形的判定．
（1）根据“过直线外一点作已知直线的垂线的基本作法”作图；
（2）根据平行四边形的性质和等腰三角形的性质证明．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：，证明如下：
平分，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
．
题型05 作中线（含中位线）
几何作图作中线（含中位线）是初中数学几何板块中培养学生几何操作技能与深化图形性质理解的重要内容，借助尺规工具，依据线段中点及三角形中位线的定义与性质，在三角形、四边形等图形中构建特殊线段，助力学生理解图形结构与数量关系，在中考数学中分值占比约 2%-4%。
考查重点：重点考查学生依据尺规作图方法，针对给定三角形或四边形，精准确定线段中点从而作出中线（三角形顶点与对边中点连线）与中位线（连接三角形两边中点的线段），深刻理解中线与中位线的性质（如三角形中线平分对边、三角形中位线平行且等于第三边一半）在作图及后续几何推理中的运用。
【典例分析】
例1．（2024·广东广州·中考真题）如图，中，．
(1)尺规作图：作边上的中线（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）所作的图中，将中线绕点逆时针旋转得到，连接，．求证：四边形是矩形．
【答案】(1)作图见解析
(2)证明见解析
【分析】本题考查的是作线段的垂直平分线，矩形的判定，平行四边形的判定与性质,旋转的性质；
（1）作出线段的垂直平分线EF，交于点O，连接，则线段即为所求；
（2）先证明四边形为平行四边形，再结合矩形的判定可得结论．
【详解】（1）解：如图，线段即为所求；
（2）证明：如图，
∵由作图可得：，由旋转可得：，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为矩形．
【变式演练】
1．（2024·广东中山·三模）如图，已知中，为的中点．
(1)请用尺规作图法作边的中点，并连接保留作图痕迹，不要求写作法
(2)在（1）的条件下，若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)6
【分析】本题主要考查了垂直平分线的作法、三角形中位线的应用等知识点，掌握运用尺规作图作线段的垂直平分线成为解题的关键．
（1）先尺规作图作出的中点，然后连接即可；
（2）先说明是的中位线，然后根据中位线的性质即可解答．
【详解】（1）解：如图：即为所求．
（2）解：∵点为的中点，点为的中点，
是的中位线，
，
．
2．（2024·江苏南京·一模）如图，已知线段，，用直尺和圆规按下列要求分别作一个等腰三角形（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）．
(1)的底边长为，底边上的中线为；
(2)的底边长为，腰上的中线为．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）先在射线截取，再作的垂直平分线，垂足为点，然后在直线上截取，则为所作．
（2）先在射线截取，再作的垂直平分线，垂足为点，接着作的垂直平分线，然后以点为圆心，为半径画弧交直线于点，于是延长交直线于点，连接，则为所作．
本题考查了基本作图，熟练掌握常见基本作图是解题的关键．
【详解】（1）根据题意，作图如图1所示：
则为所作．
（2）根据题意，作图如图2所示：
则为所作．
题型06 作垂直平分线
几何作图作垂直平分线是初中数学几何板块中锻炼学生几何操作与推理能力的基础内容，它通过尺规等工具，依据线段垂直平分线的性质，精准构建垂直且平分已知线段的直线，加深学生对线段性质及图形对称关系的理解，在中考数学中分值占比约 2%-4%。​
1.考查重点：重点考查学生依据尺规作图的基本规则，以给定线段为对象，准确作出其垂直平分线，深刻理解垂直平分线的性质（线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等）在作图原理中的体现，并能运用该性质进行简单的几何推理。​
2.高频题型：高频题型有给定一条线段，运用尺规作出其垂直平分线；在三角形、四边形等几何图形中，通过作出边的垂直平分线，确定图形的对称中心、外接圆圆心等关键要素；在实际问题情境，如确定道路中点位置、规划对称建筑布局等，抽象出作垂直平分线的需求并完成作图，进而解决相关问题。
【提分秘籍】
作已知线段的垂直平分线．
具体步骤：
①以线段两个端点为圆心，大于线段长度的一半为半径画圆弧，两圆弧在线段的两侧别分交于M、N。如图①
②连接MN，过MN的直线即为线段的垂直平分线。如图②
【典例分析】
例1．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，在中，D是中点．
(1)求作：的垂直平分线l（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)若l交于点E，连接并延长至点F，使，连接．补全图形，并证明四边形是平行四边形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了尺规作图，中位线的性质，平行四边形的判定．
（1）利用尺规作图作出线段的垂直平分线l即可；
（2）由D，E分别为，的中点，根据中位线的性质，得到，，结合，得到，即可证明结论成立．
【详解】（1）解：直线l如图所示，
；
（2）证明：补全图形，如图，
由（1）作图知，E为的中点，
∵D，E分别为，的中点，
∴，，
∵，即：，
∴，
∵，
∴ 四边形是平行四边形．
【变式演练】
1．（2024·广西·中考真题）如图，在中，，．
(1)尺规作图：作线段的垂直平分线l，分别交，于点D，E：（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
(2)在（1）所作的图中，连接，若，求的长．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】（1）分别以A、B为圆心，大于为半径画弧，分别交，于点D，E，作直线，则直线l即为所求．
（2）连接，由线段垂直平分线的性质可得出，由等边对等角可得出，由三角形内角和得出，则得出为等腰直角三角形，再根据正弦的定义即可求出的长．
【详解】（1）解：如下直线l即为所求．
（2）连接如下图：
∵为线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴
【点睛】本题主要考查了作线段的垂线平分线，线段的垂线平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及正弦的定义．掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键．
2．（2024·广东·模拟预测）如图，在中，，且．
(1)作的垂直平分线，交于点D，交于点E，连接，延长，交直线于点F；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）所作的图中，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了垂直平分线的作图，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，证明是等腰三角形是解题的关键．
（1）作图：分别以为圆心，大于为半径作圆弧相交于两点，过两点作直线，交于点D，交于点，即可求解；
（2）根据和（1）的结论，证明是等腰三角形，且，即可证明．
【详解】（1）解：如图，为所作；
（2）如（1）中所作的图
，且
是的垂直平分线
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等腰三角形，
又，
．
题型07 作切线
几何作图作切线是初中数学几何板块中结合圆的性质与几何操作的关键内容，借助尺规等工具，依据切线与圆的位置关系及判定定理，在圆的相关图形中构建切线，深化学生对圆与直线特殊位置关系的理解，在中考数学中分值占比约 2%-4%。
考查重点：重点考查学生依据尺规作图规则，针对给定的圆及圆外一点或圆上一点，准确作出圆的切线，深刻理解切线的判定定理（经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）在作图过程中的运用，并能基于所作切线进行简单的几何推理与计算。
【典例分析】
例1．（2024·广东东莞·一模）如图，点为外一点．
(1)过点作两条切线、(尺规作图，保留痕迹，不写作法)；
(2)证明：平分．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）连接，作的垂直平分线，以的中点为圆心，长为半径作圆，交于点，作直线，则即为所求；
（2）根据切线的性质，证明，根据全等三角形的性质即可得证．
【详解】（1）解：如图，、为所求，
理由：为直径，
，，
，是的切线；
（2）证明：连接、，
、为两条切线，
，，
在与中，
，
，
，
平分．
【点睛】本题考查了作垂线，作圆的切线，直径所对的圆周角是直角，切线的性质与判定，全等三角形的性质与判定，掌握切线的性质与判定是解题的关键．
例2．（2024·广东广州·一模）如图，为经过圆心的一条线段，且与交于点．
(1)过在的上方作的切线，切点为，过作，垂足为，与交于点． 请尺规作图，不用写作图的详细步骤．
(2)求证：平分；
(3)若，，求的半径．
【答案】(1)作图见解析；
(2)证明见解析；
(3)．
【分析】（）作线段的垂直平分线，交于点，以点为圆心，为半径画圆，交于点，作射线，由直径所对的圆周角是直角可得，即为的切线，再根据过直线外一点作已知直线的垂线的方法可作出；
（）证明可得，又由，得到，进而得到，即可求证；
（）连接，证明，得到，由根据，得到，求出即可求解；
本题考查了过圆外一点作圆的切线，过直线外一点作已知直线的垂线，圆周角定理，平行线的判定和性质，等腰三角形的性质，切线的性质，相似三角形的判定和性质，三角函数，正确画出图形是解题的关键．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）证明：如图，
∵是的切线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分
（3）解：连接，
∵是直径，
∴，
∴，
∵是切线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，，
∴，
∴的半径为．
【变式演练】
1．（2024·广东东莞·三模）已知：点是外一点．
(1)尺规作图：如图，过点作出的两条切线，，切点分别为点、点．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）
(2)在（1）的条件下，证明切线长定理（，平分）．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析．
【分析】（1）①连接，分别以点为圆心，大于的长为半径画圆，两圆交于点两点，作直线交于点，②以点为圆心，为半径画圆，与交于两点，作直线，
（2）根据切线的性质得出，根据四边形内角和得出，进而根据圆周角定理以及圆内接四边形对角互补即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，，即为所求，
证明：连接，，
∵是圆的直径，
∴，
∴，，
∵、是的半径，
∴、是的切线；
（2）证明：连接，，
∵、是的切线，
∴，，
在和中，
，
∴
∴，，
∴平分．
【点睛】本题考查了切线的性质与判定，直径所对的圆周角是直角，角平分线的定义，三角形全等的判定及性质，尺规作线段的垂直平分线，熟练掌握以上知识是解题的关键．
2．（2023·黑龙江绥化·中考真题）已知：点是外一点．

(1)尺规作图：如图，过点作出的两条切线，，切点分别为点、点．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）
(2)在（1）的条件下，若点在上（点不与，两点重合），且．求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)或
【分析】（1）①连接，分别以点为圆心，大于的长为半径画圆，两圆交于点两点，作直线交于点，②以点为圆心，为半径画圆，与交于两点，作直线，
（2）根据切线的性质得出，根据四边形内角和得出，进而根据圆周角定理以及圆内接四边形对角互补即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，

①连接，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点两点，作直线交于点，
②以点为圆心，为半径画圆，与交于两点，作直线，
则直线即为所求；
（2）如图所示，点在上（点不与，两点重合），且，
∵是的切线，
∴，
∴，
当点在优弧上时，，
当点在劣弧上时，，
∴或．
【点睛】本题考查了切线的性质与判定，直径所对的圆周角是直角，圆内接四边形对角互补，圆周角定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
题型08 作平行线
几何作图作平行线是初中数学几何板块中培养学生基本几何操作与空间观念的重要内容，通过尺规等工具，依据平行线的判定定理，在平面图形中构建平行关系，助力学生理解图形间的位置联系，在中考数学中分值占比约 2%-3%。
1.考查重点：重点考查学生依据尺规作图方法，针对给定直线及直线外一点，准确作出与已知直线平行的直线，深刻理解平行线判定定理（如同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行等）在作图过程中的运用，并能基于所作平行线进行简单的几何推理。
2.高频题型：高频题型有给定一条直线和直线外一点，运用尺规作出过该点与已知直线平行的直线；在三角形、四边形等几何图形中，根据已知条件作出满足特定条件的平行线，如在梯形中作一腰的平行线，将梯形转化为平行四边形和三角形，用于求解图形的角度、边长、面积等问题；在实际问题情境，如道路规划、图案设计等，抽象出作平行线的需求，完成作图并解决相关几何问题。
【典例分析】
例1．（2024·江苏盐城·三模）如图，四边形是平行四边形，点E为边上一点，连接．
(1)请在图中用无刻度的直尺和圆规，在边上找一点F，连接，使得．（要求：保留作图痕迹，不写作法）
(2)（1）的条件下，连接分别交、于点M、N．求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）以点D为圆心，以为半径画弧，交于点F，连接，得到得到平行四边形，继而得到．
（2）根据平行四边形的性质，证明证明．
本题考查了基本作图，平行四边形的判定和性质，熟练掌握作图和平行四边形的判定和性质是解题的关键．
【详解】（1）以点D为圆心，以为半径画弧，交于点F，连接，得到得到平行四边形，继而得到．
则点F即为所求．
（2）∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∵
∴
∴．
例2．（2024·河南周口·二模）如图，在平行四边形中，E是边上一点．
(1)过点E作的平行线，交于点F（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．
(2)在（1）的条件下，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）在上截取，结合可得四边形是平行四边形，则；
（2）根据平行线的性质得出，，即可证明．
【详解】（1）解：如图，即为所求．
（2）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
又∵，
∴．
在和中，
，
∴．
【点睛】本题考查了尺规作图，平行四边形的判定和性质，平行线的性质，全等三角形的判定，熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题的关键．
【变式演练】
1．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，点在的边上，请用尺规作图法作射线，使得，且点在的平分线上．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【分析】本题考查作图—复杂作图、平行线的判定，熟练掌握平行线的判定、基本尺规作图的方法是解答本题的关键．作的平分线，再结合平行线的判定，在的右侧作，与的平分线交于点，则射线即为所求．
【详解】解：如图，作的平分线，再在的右侧作，与的平分线交于点，则射线即为所求．
2．（2024·广东广州·三模）如图，内接于，，直线l与相切于点C．
(1)尺规作图：过点O作直线m，使得直线交劣弧于点D，交弦于点E，交直线l于点；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的基础上，①求证：；②若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②
【分析】本题考查作图复杂作图，切线的性质，垂径定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．
（1）根据尺规作平行线，即尺规作角等于已知角，作出图形即可；
（2）①连接，利用切线的性质和圆周角定理，进行角度的转换，即可解答；②证明，利用相似三角形的性质求解．
【详解】（1）解：图形如图所示：
（2）证明：①如图，连接．
直线l与相切于点C，
，
是直径，
，
，
即，
，
；
②，
，
，
，
直线是切线，
，
，，
，
∴，
，
，
．
题型09 作圆
几何作图作圆是初中数学几何板块中培养学生对圆的概念理解与实践操作能力的关键内容，借助圆规等工具，依据圆的定义（平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形），在平面内构建圆形，加深学生对圆的性质及与其他几何图形关系的认知，在中考数学中分值占比约 2%-4%。
1.考查重点：重点考查学生依据给定条件（如圆心位置与半径长度、圆经过的点、圆与其他图形的位置关系等），运用圆规精准作出圆，深刻理解圆的定义及相关性质（如圆心确定圆的位置、半径确定圆的大小，同圆半径相等）在作图过程中的运用，并能基于所作圆进行简单的几何推理。
2.高频题型：高频题型有已知圆心和半径，运用圆规作出圆；给定三点，作出经过这三点的圆（即三角形的外接圆）；在几何图形中，根据圆与直线相切、圆与圆相交等位置关系，作出满足条件的圆，用于解决角度计算、线段长度关系、图形面积求解等问题
【典例分析】
例1．（2024·山东青岛·三模）用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
如图，已知，求作，使它经过点和点，并且圆心在的平分线上．
【答案】见解析
【分析】本题考查了作图复杂作图．也考查了角平分线的性质．分别作的垂直平分线和的平分线，它们相交于点，然后以点为圆心，为半径作圆即可．
【详解】解：如图，为所作．
．
例2．（2024·江苏常州·模拟预测）在中，，，，点在斜边上．
(1)作出经过点，且与边相切于点的（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）；
(2)若（1）中所作的的圆心落在边上，则的半径长为 ；
(3)设（1）中所作的与交于点，与交于点，线段的最小值为 ．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）连接，作的垂直平分线，再过点作交于点，最后以点为圆心，线段的长为半径作圆，就是所求的图形；
（2）当圆心在上时，连接，则，由切线的性质可得，根据勾股定理得到，证明得到，求出，即可求解；
（3）作于点，连接、、，根据等面积法求出，由可知是的直径，得到，当，且的值最小时，则的值最小，再根据即可求解．
【详解】（1）解：作法：连接，作的垂直平分线，再过点作交于点，最后以点为圆心，线段的长为半径作圆，就是所求的图形；
证明：连接，
点在的垂直平分线上，
，
经过点，
是的半径，且，
与相切于点，
就是所求的图形；
（2）如图2，当圆心在上时，连接，则，
与相切于点，
，
，
∠ACB＝90°，AC＝3，，
，
，
，
，
＝，
，
解得:，
的半径长为，
故答案为：．
（3）如图3，作于点，连接、、，
，
，
解得:，
，
是的直径，
，
，
，
当，且的值最小时，则的值最小，
，
，
的最小值为，
的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了尺规作图，切线的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是掌握相关的知识．
例3．（2024·广西钦州·二模）如图，在中，的角平分线交于点．
(1)尺规作图：以上一点为圆心，过，两点作（不写作法，保留作图痕迹，提示：若不会尺规作图，请用圆规自行作出“以上一点为圆心，且过，两点的，以便解决第（2）（3）问”）；
(2)判断直线与的位置关系，并说明理由；
(3)若（1）中的与边的另一个交点为，，求弧的弧长（结果保留根号和）
【答案】(1)见解析
(2)相切，见解析
(3)
【分析】本题主要考查了作垂直平分线、切线的判定、勾股定理的应用以及弧长的计算，
（1）作出的垂直平分线交于点O，以O为圆心，为半径作圆即可；
（2）利用等腰三角形的性质和角的平分线的性质求得，进而求出，从而得出为的切线；
（3）设的半径为r，则，在中，根据勾股定理求得r的值，进而根据已知求得，然后根据弧长公式求得即可；
【详解】（1）如图所求，作出的垂直平分线交于点O，以O为圆心，为半径作圆；
（2）直线与相切．
理由如下：
连接，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴ ，
∵，
∴，
即，
∴为的切线．
（3）设的半径为r，则，
在中，，
∴，即，
解得，
∴，
∴，
∴，
∴弧的弧长．
【变式演练】
1．（2024·河南商丘·二模）如图，在中，．
(1)尺规作图：作出经过，，三点的．(不写作法，保留作图痕迹)
(2)连接并延长，交于点，连接，．求证：
【答案】(1)作图见解析
(2)证明见解析
【分析】本题考查了作三角形的外接圆；圆的性质，平行四边形的性质与判定；全等三角形的性质与判定；
（1）作的垂直平分线交于点，以为圆心，以为半径作，就是所求作的圆；
（2）根据题意可得，，则四边形为平行四边形，得出，，进而根据证明，即可．
【详解】（1）解：如图，作的垂直平分线交于点，以为圆心，以为半径作，就是所求作的圆；
（2）证明：如图，
，，
四边形为平行四边形，
，，
在和中，
，
．
2．（2024·福建厦门·模拟预测）如图，已知经过A，C，D三点，点D在边上，，．
(1)求作；（请保留尺规作图痕迹，不写作法）
(2)求证：是的切线．
【答案】(1)图见解析；
(2)证明见解析．
【分析】（1）结合圆周角定理可知，为的直径．作线段的垂直平分线，交于点，再以点为圆心，的长为半径画圆即可．
（2）连接，由题意可得，进而可得．结合切线的判定可知，是的切线．
【详解】（1）解：经过，，三点，，
为的直径．
如图，作线段的垂直平分线，交于点，再以点为圆心，的长为半径画圆，
则即为所求．
由作图可知：点O为的中点，
∵
∴
∴
∴经过A，C，D三点．
（2）证明：连接，
，
，
，
，
．
，
，
即．
为的半径，
是的切线．
【点睛】本题考查尺规作图：作线段 垂直平分线，作圆，圆周角定理，三角形的外接圆与外心，切线的判定，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键．
3．（2024·江苏常州·模拟预测）在△ABC中，，点D在斜边上．
(1)作出经过点C，且与边相切于点D的（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）；
(2)若（1）中所作的的圆心O落在边上，则的半径长为 ；
(3)设（1）中所作的与交于点E，与交于点F，当点D在斜边上移动时，线段的最小值为 ．
【答案】(1)详见解析
(2)
(3)
【分析】（1）经过点C，且与边相切于点D的，圆心O为线段的垂直平分线与过点D的的垂线的交点，所以，作的垂直平分线；再过点D作，交于点O，即得到所求的圆的圆心，半径为的长，即可作出所求的圆；
（2）当圆心O在上，连接，则，由切线的性质得，由，求得，再证明，得，求得，则，所以，于是得到问题的答案；
（3）作于点G，连接，由，求得，由，可知是的直径，则，因为，所以，当，且的值最小时，则的值最小，即可求得的最小值为，于是得到问题的答案．
【详解】（1）解：作法：1．连接，作的垂直平分线MN；
2．过点D作，交于点O；
3．以点O为圆心，线段长为半径作圆，
就是所求的图形．
证明：连接，
∵点O在的垂直平分线上，
∴，
∴经过点C，
∵是的半径，且，
∴与相切于点D，
∴就是所求的图形．
（2）解：如图2，圆心O在上，连接，则，
∵与相切于点D，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴的半径长为，
故答案为：．
（3）如图3，作于点G，连接，
∵，
∴，
解得，
∵，
∴是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴当，且的值最小时，则的值最小，
∵，
∴，
∴的最小值为，
∴的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题重点考查尺规作图、切线的性质、线段的垂直平分线的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、两点之间线段最短、垂线段最短、根据面积等式求线段的长度等知识与方法．
题型10 格点作图综合
几何作图格点作图综合是初中数学几何板块里提升学生综合几何素养与创新思维的特色内容，依托网格这一特殊背景，借助格点间的距离关系与几何图形性质，运用直尺等工具完成各类几何图形的构建，加深学生对几何图形结构及数量关系的理解，在中考数学中分值占比约 2%-3%。
1.考查重点：重点考查学生利用格点间的特殊距离（如水平、垂直方向格点间距为单位长度，借助勾股定理确定斜向格点间距离），依据几何图形性质（如三角形三边关系、平行四边形对边平行且相等），在网格中精准作出满足条件的几何图形，并能对图形的性质及相关数量关系进行推理与计算。
2.高频题型：高频题型有在给定网格中，根据线段长度、角度要求作出特定三角形；以格点为顶点构建平行四边形、矩形、菱形等特殊四边形；利用格点作圆，如确定圆心在格点上且半径符合要求的圆；在网格情境下，结合图形变换（平移、旋转、对称），作出变换后的图形，并解决相关角度、线段长度、图形面积等问题。
【典例分析】
例1．（2024·吉林长春·中考真题）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作四边形，使其是轴对称图形且点、均在格点上．
(1)在图①中，四边形面积为2；
(2)在图②中，四边形面积为3；
(3)在图③中，四边形面积为4．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查网格作图、设计图案、轴对称的性质、平移的性质等知识点，根据轴对称的性质、平移的性质作图是解题的关键．
（1）根据轴对称的性质、平移的性质作出面积为2四边形即可．
（2）根据轴对称的性质、平移的性质作出面积为3四边形即可．
（3）根据轴对称的性质、平移的性质作出面积为4四边形即可．
【详解】（1）解：如图①：四边形即为所求；
（不唯一）．
（2）解：如图②：四边形即为所求；
（不唯一）．
（3）解：如图③：四边形即为所求；
（不唯一）．
例2．（2023·吉林长春·中考真题）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作，点C在格点上．

(1)在图①中，的面积为；
(2)在图②中，的面积为5
(3)在图③中，是面积为的钝角三角形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）以为底，设边上的高为，依题意得，解得，即点在上方且到距离为个单位的线段上的格点即可；
（2）由网格可知，，以为底，设边上的高为，依题意得，解得，将绕或旋转，过线段的另一个端点作的平行线，与网格格点的交点即为点；
（3）作，过点作，交于格点，连接A、B、C即可．
【详解】（1）解：如图所示，
以为底，设边上的高为，
依题意得：
解得：
即点在上方且到距离为个单位的线段上的格点即可，
答案不唯一；
（2）由网格可知，
以为底，设边上的高为，
依题意得：
解得：
将绕或旋转，过线段的另一个端点作的平行线，与网格格点的交点即为点，
答案不唯一，
（3）如图所示，
作，过点作，交于格点，

由网格可知，
，，
∴是直角三角形，且
∵
∴．
【点睛】本题考查了网格作图，勾股定理求线段长度，与三角形的高的有关计算；解题的关键是熟练利用网格作平行线或垂直．
例3．（2023·江西·中考真题）如图是的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．

(1)在图1中作锐角，使点C在格点上；
(2)在图2中的线段上作点Q，使最短．
【答案】(1)作图见解析
(2)作图见解析
【分析】（1）如图，取格点，使，在的左上方的格点满足条件，再画三角形即可；
（2）利用小正方形的性质取格点，连接交于，从而可得答案．
【详解】（1）解：如图，即为所求作的三角形；

（2）如图，即为所求作的点；

【点睛】本题考查的是复杂作图，同时考查了三角形的外角的性质，正方形的性质，垂线段最短，熟记基本几何图形的性质再灵活应用是解本题的关键．
【变式演练】
1．（2024·吉林长春·模拟预测）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形边长为1个单位，小正方形的顶点称为格点，点、、均在格点上．要求只用无刻度直尺画图，并保留画图痕迹．
(1)在图①中画边上的高线．
(2)在图②中的线段上画出点，使得．
(3)在图③中，画出，使得，且E、A、B三点不共线．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）如图①，取格点、、，连接、、、、，与、的交点分别为、，于的交点为，利用全等三角形的性质证明垂直，线段即为所求作；
（2）如图②，取格点、，连接交于点，则四边形是矩形，利用全等三角形的性质，可得点在的垂直平分线上，连接并延长，交于点，则垂直平分，则，可得；
（3）如图③，取格点、、，连接、、、、、，利用全等三角形的性质，可得、、三点共线，将线段向右平移2个单位，再向上平移4个单位，得到线段，再根据平移的性质即可证明．
【详解】（1）解：如图①，取格点、、，连接、、、、，与、的交点分别为、，于的交点为，
，，，
，
，
，
，
，
即是边上的高线；
（2）解：如图②，取格点、，连接交于点，则四边形是矩形，
，即点是中点，
取格点、、，连接、、、、，
，，，
，
，
点在的垂直平分线上，
连接并延长，交于点，则垂直平分，
，
，
即点为所求作；
（3）解：如图③，取格点、、，连接、、、、、，
，，，
，
，，
，
，
，即、、三点共线，
，
，
将线段向右平移2个单位，再向上平移4个单位，得到线段，
则，
，
．
【点睛】本题考查了格点作图，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，垂直平分线的判定和性质，平移的性质等知识，掌握相关知识点是解题关键．
2．（2024·安徽·模拟预测）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）．
(1)将向右平移1个格，再向下平移3格，画出对应的；
(2)仅用无刻度直尺作出的高．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据平移的性质求解即可；
（2）根据网格线的特点取格点G，连接交于点P，即为所求．
【详解】（1）解：如图所示，为所求；
（2）解：如图所示，为所求．
取格点D，连接交于点P，即为所求；
取格点M，N，与相交于点G，
∵，，
∴
∴
∵，
∴
∴，点P即为所求
3．（2024·安徽·模拟预测）如图，在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）．
(1)请画出将绕点顺时针旋转得到的；
(2)请用无刻度的直尺作出的角平分线（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了作图——旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的性质．
（1）先连接、、，再将、、分别旋转得到、、，最后依次连接、、，即可求解；
（2）根据勾股定可得：，在射线上取格点，使得，连接，取的中点，作射线即可求解．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）如图，射线即为所求．
4．（2024·吉林松原·二模）图、图均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点，点均在格点上．只用无刻度的直尺．在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹．
(1)在图中的线段上找一点，使；
(2)在图中的线段上找一点，使．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析．
【分析】（）取格点，，连接，交于点，即可；
（）取格点，，连接，交格线于点，连接，交于点，即可；
本题主要考查了网格作图，解直角三角形，相似三角形等有关性质，熟练掌握和应用有关知识的性质是解题的关键．
【详解】（1）解：如图所示；
理由：根据题意得：，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点即为所求；
（2）如图所示．
理由：根据题意得：，，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴点即为所求．
题型11 无刻度直尺作图综合
几何作图无刻度直尺作图综合是初中数学几何板块中着重培养学生深度理解图形性质与灵活运用几何原理能力的关键内容。它仅借助无刻度直尺，依托各类几何图形（如三角形、四边形、圆等）本身所具有的性质，通过巧妙连接、延长线段等操作完成复杂几何构图，促使学生对图形内在联系有更深刻认知，在中考数学中分值占比约 2%-4%。
1.考查重点：重点考查学生能否敏锐洞察几何图形中隐含的特殊性质（如等腰三角形三线合一、平行四边形对角线互相平分、圆的直径所对圆周角为直角等），并利用无刻度直尺，基于这些性质在给定图形中精准构建出所需的几何元素（如角平分线、中线、垂线等），同时能够运用所构建图形进行简单的推理和相关数量关系的计算。
2.高频题型：高频题型有在给定三角形中，利用无刻度直尺作出指定边上的中线、高或角平分线；在平行四边形、矩形、菱形等特殊四边形中，借助图形性质，通过无刻度直尺作出对角线交点、对称轴等关键元素；在圆中，运用圆周角定理等性质，使用无刻度直尺确定圆心位置、作出圆的切线等；在复杂图形组合中，结合多种图形性质，利用无刻度直尺完成特定图形的构造，进而解决角度、线段长度、图形面积等相关问题。
【典例分析】
例1．（2024·湖北武汉·中考真题）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务，每个任务的画线不得超过三条．
(1)在图（1）中，画射线交于点D，使平分的面积；
(2)在（1）的基础上，在射线上画点E，使；
(3)在图（2）中，先画点F，使点A绕点F顺时针旋转到点C，再画射线交于点G；
(4)在（3）的基础上，将线段绕点G旋转，画对应线段（点A与点M对应，点B与点N对应）．
【答案】(1)作图见解析
(2)作图见解析
(3)作图见解析
(4)作图见解析
【分析】本题考查了网格作图．熟练掌握全等三角形性质，平行四边形性质，等腰三角形性质，等腰直角三角形性质，是解题的关键．
（1）作矩形，对角线交于点D，做射线，即可；
（2）作,射线于点Q，连接交于点E，即可；
（3）在下方取点F，使，是等腰直角三角形，连接， ，交于点G，即可；
（4）作，交于点M，作，交于点N，连接，即可．
【详解】（1）如图，作线段，使四边形是矩形，交于点D，做射线，点D即为所求作；
（2）如图，作,作于点Q，连接交于点E，点E即为作求作；

（3）如图，在下方取点F，使，连接，连接并延长，交于点G，点F，G即为所求作；
（4）如图，作，交射线于点M，作，交于点N，连接，线段即为所求作．
例2．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图是的网格，每个小正方形的边长均为1，半圆上的点均落在格点上．请按下列要求完成作图：要求一：仅用无刻度的直尺，且不能用直尺中的直角；要求二：保留作图痕迹．
(1)在图中作出弧的中点D．
(2)连结，作出的角平分线．
(3)在上作出点P，使得．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）连与网格线交于一格点，以O为端点，作射线与圆弧交于点D，
（2）作射线，则即是的角平分线，
（3）连结并延长，交的延长线于点与交于点F，连结并延长交于点P，则．
本题考查了无刻度直尺作图，垂径定理，圆周角定理，角平分线的性质定理，解题的关键是：熟练掌握无刻度直尺作图，与相关定理的结合．
【详解】（1）解：由格点可知为中点，根据垂径定理可得，点D为弧的中点，点D即为所求，
（2）解：∵点D为弧的中点，
根据圆周角定理，可得，即为所求，
（3）解：∵为直径，
∴，，
∵，，
∴，
∴，，
∴是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，作图如下：
．
例3．（2023·湖北·中考真题）已知正六边形，请仅用无刻度的直尺完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法，用虚线表示作图过程，实线表示作图结果）．

(1)在图1中作出以为对角线的一个菱形；
(2)在图2中作出以为边的一个菱形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据菱形的性质对角线互相垂直平分即可作出图形．
（2）根据菱形的性质四条边平行且相等即可作出图形．
【详解】（1）解：如图，菱形即为所求（点，可以对调位置）：


（2）解：如图，菱形即为所求．
是菱形，且要求为边，
①当为上底边的时候，作，且，向右下偏移，如图所示，

②当为上底边的时候，作，且，向左下偏移如图所示，

③当为下底边的时候，作，且，向左上偏移如图所示，

④当为下底边的时候，作，且，向右上偏移如图所示，

【点睛】本题考查了作图-复杂作图，复杂作图是结合了几何图形的性质和基本作图的方法，涉及到的知识点有菱形的性质和判定，解题的关键在于熟悉菱形的几何性质和正六边形的几何性质，将复杂作图拆解成基本作图．
【变式演练】
1．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点A，C均落在格点上，点B在网格线上．
(1)线段的长等于______；
(2)半圆O以为直径，仅用无刻度直尺，在如图所示的网格中完成画图：
①画的角平分线；
②在线段上画点P，使．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】本题考查勾股定理，无刻度直尺作图，中位线
（1）利用勾股定理求解；
（2）取中点，连接与圆相交即为，此时由中位线可得，再结合即可得到，即的角平分线；
（3）取与网格线的交点，连接延长交于点，连接交于点，连接，延长交的延长线于，连接延长交于点，点即为所求．
【详解】（1）．
故答案为：；
（2）①如图，即为所求：
；
②如图，点即为所求：
2．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的4个顶点都在格点上，E是边与网格线的交点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
(1)在图1中，先画交于点G，交边于点F，再在上画点H，使得平分；
(2)在图2中，先画的高，再分别在边和上画点M、N，使得，且．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）取边与网格线的交点，连接，即，取格点，连接、，易证，进而证明，则，即与的交点即为点；
（2）取格点、，连接交于点，则点是中点，连接交于点，由网格可知，进而得到，由因为，则点是高线的交点，连接并延长交于点，线段即为的高；由的面积公式，可得，取格点、、、，连接交于，连接交于点，连接即可．（由相似三角形可知，，，则，可得，且，进而得出）
【详解】（1）解：如图1，即为所求作；
（2）解：如图2，即为所求作；
【点睛】本题考查了作图——应用与设计作图，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形三线合一的性质，网格与勾股定理，特殊四边形的性质等知识，熟练掌握相关知识点是解题关键．
3．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图：在的网格中，、、为格点，仅用无刻度直尺完成画图，画图过程用虚线表示，结果用实线表示．
(1)图1，在将线段绕顺时针旋转得线段，再在上找一点，使得；
(2)在图2，先作边高，再在上找一点，使得．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查作图—旋转变换，解直角三角形，轴对称的知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）利用旋转的性质作出线段，取格点、，连接交于点，连接，点即为所求（由得，可得）；
（2）取格点，连接交于点，线段即为所求．取格点，，连接交于点，连接交于点，连接并延长交于点（，关于对称，可得）．
【详解】（1）如图，线段，点即为所求；
（2）如图，线段，点即为所求
4．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在由边长为1的小正方形组成的正方形网格中有格点，请仅用无刻度直尺，在给定的网格中依次完成下列画图，过程线用虚线，结果线用实线，并回答下列问题：

(1)在图1中线段上画点D，使，并画出点A关于的对称点M；
(2)在图1中线段上画点E，使；
(3)如图2，点F为线段上任意一点，在线段上画点G，使．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查作图一应用与设计作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）构造等腰直角三角形，交于点D，点D即为所求，在点B的正下方取点M，使得，点M即为所 求；
（2）如图1中，连接交一点J，连接，延长交于点E，连接即可；
（3）利用网格的特点作的中线，连接交一点O，连接，延长交一点G，连接即可．
【详解】（1）解：如图1，点D，点M为所求；
（2）解：如图1，为所求；

（3）解：如图2，点G，线段为所求．

1．（2025·陕西汉中·模拟预测）尺规作图：在外求作一点，使得点围成的四边形是平行四边形（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】图见解析．
【分析】本题考查了作图-复杂作图，平行四边形的判定，分三种情形作出点，，即可，解题的关键是正确作出图形．
【详解】解：分别以为圆心，以为半径画弧，两弧交于点，则四边形为平行四边形；分别以为圆心，以为半径画弧，两弧交于点，则四边形为平行四边形；分别以为圆心，以为半径画弧，两弧交于点，则四边形为平行四边形，则，，即为所求的点，如图：
2．（2025·山东青岛·模拟预测）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
如图，点A为直线外一点，求作，使经过点A且与直线相切于点．
【答案】见解析
【分析】本题考查了尺规作图，熟练掌握尺规作线段垂直平分线的作法、正确理解题意是解题的关键．根据题意画图即可．
【详解】解：①作的垂直平分线．
②过点作直线的垂线交的垂直平分线于点．
③以点为圆心，长为半径作，
即为所求．
3．（2025·陕西咸阳·一模）如图，在中，，．请用尺规作图法，在边上作出D，E两点，使得为等边三角形．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【分析】本题考查了复杂作图，掌握线段的垂直平分线的性质、等边三角形的判定和性质是解题的关键．分别作，的垂直平分线，交于、，结合垂直平分线的性质根据“三个角相等的三角形是等边三角形”即可求解．
【详解】解：作，的垂直平分线，交于、，
∵，，
∴，
∵、分别在，的垂直平分线上，
∴，，
∴，，
∴，同理：，
∴为等边三角形，
如图所示，即为所求．
4．（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，内接于，请用尺规作图法分别在、上找点D、E，连接，使得为的中位线．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析．
【分析】本题考查了作图-作垂线，线段垂直平分线的性质，三角形中位线的判定，分别以点，点为圆心，大于为半径画弧，连接两弧的交点，交于点，分别以点，点为圆心，大于为半径画弧，连接两弧的交点，交于点， 连接，则即为所求，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：分别以点，点为圆心，大于为半径画弧，连接两弧的交点，交于点，分别以点，点为圆心，大于为半径画弧，连接两弧的交点，交于点， 连接，则即为所求，如图：
由作图可知，分别为的中点，
∴是的中位线．
5．（2025·甘肃定西·一模）如图，点A，C分别在的边和上．
(1)尺规作图：在的右侧作（不写做法，保留痕迹）
(2)在射线上取一点B，使，连接，则四边形的形状是_____
【答案】(1)见解析
(2)平行四边形
【分析】本题主要考查了作一个角等于已知角，平行四边形的判定，平行线的判定，解题的关键是熟练掌握作一个角等于已知角的方法．
（1）根据作一个角等于已知的角的方法，作图即可；
（2）根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形，得出四边形为平行四边形．
【详解】（1）解：如图，即为所求作的角；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形．
6．（2025·福建泉州·模拟预测）如图，．
(1)将线段绕点逆时针旋转得到线段，请作出；（要求：尺规作图，不作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，若，过点作于，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）以点A为角的顶点，在上方作，在射线上截取即可；
（2）根据，，求出，根据勾股定理求出，得出答案即可．
【详解】（1）解：如图，线段即为所求作的线段．
（2）解：如图：
∵，
∴，
根据作图可知：，
∴，
∵，
∴，
解得：，
根据勾股定理得：，
∴．
【点睛】本题主要考查了基本作图，作一个角等于已知角，作一条线段等于已知线段，勾股定理，解直角三角形，解题的关键是数形结合，熟练掌握基本作图方法．
7．（2025·河南郑州·一模）尺规作图与圆结合如图，在中 ，，点在上，以点为圆心，长为半径的圆与边相切于点D．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作交于点E（不要求写作法，保留作图痕迹）．
(2)连接并延长交于点F．若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查尺规作图，切线的性质，垂径定理，相似三角形的判定与性质；
（1）以圆心，任意半径画弧，分别交、于点、，再以圆心，长为半径画弧，交于点，以圆心，长为半径画弧，交前弧于点，连接射线交于点E．即可得到，则；
（2）如图，连接过的直径，交于，由切线得到，再由，，得到，，，再由，得到，，，推出，代入后得到，，再由垂径定理得到，最后根据求解即可．
【详解】（1）解：作，如图即为所求：
（2）解：如图，连接过的直径，交于，
∵长为半径的圆与边相切于点D，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，，，
∴，
∴，
解得，，
∵即，
∴，
∴．
8．（2025·广东茂名·模拟预测）如图，已知，．
(1)作的垂直平分线，分别交于点D、E；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明，最后用黑色墨水笔加墨）
(2)在（1）的前提下，求的大小．
【答案】(1)见解析；
(2)．
【分析】本题考查了尺规作图及等腰三角形的性质，垂直平分线的性质；解决此类题目的关键是熟悉基本尺规作图和等腰三角形的性质．
（1）根据垂直平分线的作法画图即可；
（2）根据垂直平分线的性质得到，从而，根据三角形外角的性质即可得到答案．
【详解】（1）解：如图，直线为所求；
（2）证明：是的垂直平分线，
，
，
．
9．（2025·河南新乡·一模）如图，在中，，以为直径的交边于点D，连接过点C作．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作图：过点B作的切线，交于点F（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）；
(2)在（1）的条件下，求证：．
【答案】(1)图见解析；
(2)证明见解析．
【分析】本题考查了作圆的切线，切线的性质，全等三角形判定与性质，解题的关键是掌握基本作图，能熟练运用三角形全等的判定定理．
（1）过B作的垂线即为过点的的切线；
（2）由， ，可得，而点D在以为直径的圆上，为的切线，可得，即可证明，从而．
【详解】（1）解：过B作，交于F，直线即为所求直线，如图：
（2）证明：，
，
，
，
，
∵点在以为直径的圆上，
∴，
∴，
∵为的切线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
10．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在中，连接，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点，，作直线，交于点，连接．
(1)求证：是的平分线；
(2)若，，求的周长．
【答案】(1)证明见解析；
(2)的周长为．
【分析】本题考查了尺规作图——作垂线，平行四边形的性质，垂直平分线的性质，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）由作图可知，垂直平分，由性质得，再根据等边对等角得，又四边形是平行四边形，则，通过平行线的性质可得，所以，从而得证；
（）由四边形是平行四边形，可知，，然后由垂直平分线的性质可得，最后通过周长即可求解．
【详解】（1）证明：由作图可知，垂直平分，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴是的平分线；
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵垂直平分，
∴，
∴的周长
，
∴的周长为．
11．（2025·辽宁沈阳·二模）如图，在中，，，．
(1)在上求作一点P，使；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查的是作线段的垂直平分线，线段的垂直平分线的性质，勾股定理的应用；
（1）作的垂直平分线与相交于P即可；
（2）设，则，可得，再根据勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，
∴，
∴,
∴点P即为所求．
（2）解：设，则，
由（1）中作图知，
在中，
∴，
解得：，
∴．
12．（2025·广东深圳·一模）如图，在中，．
(1)按如下步骤用直尺（不带刻度）和圆规作图．（要求：保留作图痕迹，不写作法．）
①在上取一点，使；②作的平分线交于点；③连接．
(2)若，，求出（1）中所作的四边形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）①以A为圆心，以长为半径画弧，交于点，则；
②根据角的平分线的基本作图，解答即可；
③用直尺连接．
（2）先证明四边形是菱形，再过D作交于G，结合已知，利用菱形的面积公式计算即可．
本题考查了常见的基本作图，菱形的判定和性质，熟练掌握基本作图，菱形的判定是解题的关键．
【详解】（1）解：所求图形，如图所示．
（2）解：∵根据作图，平分，则，
又，,
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，
过D作交于G，
又，，
∴，
，
∴菱形的面积为．
13．（2025·浙江宁波·一模）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点均在格点上．
(1)在的边上找到一点D， 连接， 使得的面积与的面积之比为，请仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，并保留作图迹．
(2)在网格中找到一个格点E（E点不同于A、B、C） ， 连接、， 使得 ，请仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，并保留作图痕迹．
【答案】(1)画图见解析
(2)画图见解析
【分析】（1）如图，取格点，连接交于，则即为所求；
（2）取格点，满足，则即为所求，
【详解】（1）解：如图，取格点，连接交于，则即为所求；
理由：∵，
∴，
∴，
∴的面积与的面积之比为．
（2）解：如图，格点即为所求，
理由：连接并延长，为上点，
∵，
∴，，
∵，，
∴．
【点睛】本题考查的是无刻度的直尺作图，勾股定理的应用，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，相似三角形的性质，熟练的作图是解本题的关键．
14．（2025·江苏无锡·模拟预测）请回答下列问题：
(1)已知：和内一点．求作：点，使，且点到的两边，的距离相等．
(2)如图2，已知及点，，求作点，使得到，的距离相等，且．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了线段的垂直平分线和角平分线的性质，掌握线段的垂直平分线和角平分线的作法是解题的关键．
（1）根据点是内一点，使，且点到的两边，的距离相等，即点在的角平分线和线段的线段的垂直平分线的交点处．
（2）根据点，使得到，的距离相等，且，即点在的角平分线和线段的线段的垂直平分线的交点处．
【详解】（1）解：（1）连接，作线段的线段的垂直平分线如图所示，作的角平分线如图所示，则的角平分线和线段的线段的垂直平分线相交，交点为，
（2）解：连接，作的平分线和线段的垂直平分线，它们的交点即为P点，
15．（2025·河南濮阳·一模）如图，为的半径，为的直径，直线与相切于点A．
(1)请用无刻度的直尺和圆规过点作线段的垂线（要求：不写作法，保留作图痕迹）．
(2)连接，若（1）中所作的垂线分别与直线，交于点，．求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据尺规基本作图-作垂线，作出过点，垂直作线段的垂线即可；
（2）由切线的性质得到，根据直角三角形的性质得，然后由等腰三角形的性质得到，又由对顶角性质得，即可由等角的余角相等得出结论．
【详解】（1）解：如图所示，直线即为所求，
（2）证明：如图，
∵直线与相切于点A，
∴，即，
由（1）知：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查尺规基本作图-作垂线，切线的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，对顶角性质，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．
16．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示结果用实线表示．
(1)在图1中，先画出的高，再取中点E；
(2)在图2中，点F为与网格线的交点，先将绕点B顺时针方向旋转得到线段，点H与点F为对应点，再在上取一点P使最小．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查作图—旋转变化，涉及平行四边形的性质与判定，平移的性质，最短路径等知识点，理解题意，灵活运用所学知识是解题的关键．
（1）借助垂直构造高、平移以及平行四边形的性质构造中点即可求解；
（2）利用平移作平行四边形，借助平行四边形的性质作出H关于对称点，即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，取格点G，连接交于点D，即为的高；利用平移作平行四边形，连接，交于点E，则，即点E即为所求．
（2）如图所示，取格点G，连接，与网格线交于点H，取格点S，连接，则，沿平移至过点H，作直线，则，连接，取格点T，作平行四边形，与网格线交于点M，作平行四边形，沿直线平移至过点M交于点，连接，则与H关于对称，连接交于点P，连接，则即为所求．
17．（2024·江苏南京·三模）尺规作图．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）
(1)如图，已知直线同侧有两点，，在直线上确定一点，使得；
(2)如图，已知直线同侧有两点，，在直线上确定一点，使得．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
【分析】（1）根据轴对称的性质，作点关于直线的对称点，连接交直线于，连接，即可获得答案；
（2）作点关于直线的对称点，连接交直线于，以点为圆心，以为半径作圆；连接，作线段的垂直平分线，交于点，以点为圆心，以为半径作圆，和交于点，连接，交于点，连接、，即可获得答案．
【详解】（1）解：如下图，作点关于直线的对称点，连接交直线于，连接，点即为所求；
∵点、关于直线对称，
∴，
又∵，
∴；
（2）如下图，作点关于直线的对称点，连接交直线于，以点为圆心，以为半径作圆；连接，作线段的垂直平分线，交于点，以点为圆心，以为半径作圆，和交于点，连接，交于点，连接、，则点即为所求．
∵点、关于直线对称，
∴，，
∵为直径，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了作图—复杂作图、轴对称的性质、对顶角、全等三角形的判定与性质、圆周角定理等知识，熟练掌握轴对称的性质是解题关键．
18．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，A，B，C均为小正方形的顶点，请仅用无刻度的直尺作图，按要求作图并保留作图痕迹．
(1)在图1中作出边上的高；再在边上找点E，使得；
(2)在图2的边上作点F，使得，再过作的平行线．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）取格点，连接，与交于点，则即为所求．取格点，，连接，交于点，则，可得，即．
（2）取格点，连接，交网格线于点，此时，，，即，再连接，交于点，可得．延长交网格线于点R，连接并延长交网格线于点S，则P是中点，取点T是与网格线的一个交点，连接，交网格线于点Q，即Q是中点，连接，由三角形中位线性质可知.
本题考查了格点作图、涉及了三角形的高、相似三角形的判定与性质、解直角三角形、三角形中位线性质，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键．
【详解】（1）解：如图1，高、点即为所求．
（2）如图2，点，，即为所求．
19．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
(1)在图1中，先将绕点A顺时针旋转，得到线段，再在上画点E，使得；
(2)在图2中，先画平分交于点F，再画线段，使得，且．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析．
【分析】（1）取格点D，连接，交过点B且垂直的直线于E，则；
（2）延长至H，使，连接，取的中点N，连接，交于F，则平分，取格点M，P，连接，，，则四边形是平行四边形，取格点R，Q，连接，交于G，连接，则为所求线段．
【详解】（1）解：如图，为所求线段，为所求角；
∵，，
∴
∴
∴点A，E，B，C四点在同一个圆上
∴；
（2）解：如图，为所求线段，为所求线段．
∵
∴是等腰三角形
由网格可得，
∴平分，即平分，
由网格得，四边形是平行四边形，
∴，
又∵，
∴，．
【点睛】本题考查了作图旋转的变换，圆内接四边形，平行线分线段成比例，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
20．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图是由相同的小正方形组成的 网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都是格点，M为上一点．仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成四个任务．
(1)如图（1），M在网格线上．将线段关于对称，画出对应线段．
(2)在（1）的基础上，在上画点E，使．
(3)如图（2），将线段绕点A顺时针旋转，画出对应线段．
(4)在（3）的基础上，在线段上画点N，使得．
【答案】(1)画图见解析
(2)画图见解析
(3)画图见解析
(4)画图见解析
【分析】（1）如图，取格点，且，，而，可得，可得即为所求；
（2）如图，取与格线的交点，由全等三角形的性质可得所成的角为直角，可得即为所求；
（3）如图，取格点，连接，，结合勾股定理与勾股定理的逆定理可得即为所求；
（4）如图，取格点，连接，交于点，连接并延长交于，则即为所求；
【详解】（1）解：如图，取格点，且，，则即为所求；
理由：∵，，，
∴，
∴；，
∴即为所求；
（2）解：如图，取与格线的交点，则即为所求；
理由：记的交点为，
由网格特点可得：，
∵由（1）得：，而，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：如图，取格点，连接，，则即为所求；
理由：∵，，
∴，
∴；
∴即为所求；
（4）解：如图，取格点，连接，交于点，连接并延长交于，则即为所求；
理由：记的交点为，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是的垂直平分线，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查的是格点作图，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，线段的垂直平分线的性质，熟练的画图是解本题的关键．