2025年中考数学几何模型归纳训练(全国通用)专题01 双中点（线段）模型与双角平分线（角）模型解读与提分精练（全国通用）（原卷版）

这是一份2025年中考数学几何模型归纳训练(全国通用)专题01 双中点（线段）模型与双角平分线（角）模型解读与提分精练（全国通用）（原卷版），共16页。

TOC \ "1-4" \h \z \u \l "_Tc5118" PAGEREF _Tc5118 \h 2
\l "_Tc3092" 模型1.线段的双中点模型 PAGEREF _Tc3092 \h 2
\l "_Tc23079" 模型2.线段的多中点模型 PAGEREF _Tc23079 \h 4
\l "_Tc22814" 模型3.双角平分线模型与角n等分线模型 PAGEREF _Tc22814 \h 6
\l "_Tc15384" PAGEREF _Tc15384 \h 11
模型1.线段的双中点模型
线段双中点模型：两线段在同一直线上且有一个共同的端点，求这两条线段的中点距离的模型我们称之为线段的双中点模型。
条件：点M、N分别为线段AB、BC的中点，结论：.
证明：①当点B在线段AC上，如图1，

图1
∵M、N分别为AB、BC的中点，∴（中点定义）；（中点定义）；
∵MN=BM+BN，∴；
②当点B在线段AC的延长线上，如图2，

图2
∵M、N分别为AB、BC的中点，∴（中点定义）；（中点定义）；
∵MN=BM-BN，∴；
③当点B在线段CA的延长线上
图3
∵M、N分别为AB、BC的中点，∴（中点定义）；（中点定义）；
∵MN=BN-BM，∴；
例1．（23-24七年级上·江苏扬州·期末）如图，点C在线段上，点M、N分别是的中点．
(1)若，求的长；(2)若，求的长；
例2．（23-24七年级上·江西赣州·期末）如图，点C在线段上，点M，N分别是线段的中点．
(1)若，求线段的长；(2)若，求线段的长度．
例3．（23-24七年级·山东淄博·期末）已知点是线段的中点，点是线段的三等分点．若线段，则线段的长为（ ）
A． B． C．或 D．或
例4．（23-24七年级上·安徽黄山·期末）如图，C，D是线段上两点（点D在点C右侧），E，F分别是线段的中点．下列结论：
①； ②若，则；③； ④．
其中正确的结论是（ ）
A．①②B．②③C．②④D．③④
例5．（23-24七年级上·贵州遵义·期末）已知线段，点C为线段的中点，点D为线段上的三等分点，则线段的长的最大值为（ ）
A．16B．18C．15D．20
例6．（23-24七年级上·辽宁阜新·期末）点、在数轴上所表示的数如图所示，是数轴上一点：
(1)将点在数轴上向左移动2个单位长度，再向右移动7个单位长度，得到点，求出、两点间的距离是多少个单位长度．
(2)若点在数轴上移动了个单位长度到点，且、两点间的距离是4，求的值．
(3)若点为的中点，点为的中点，点在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若发生变化，请你说明理由：若不变，请你画出图形，并求出线段的长度．
模型2.线段的多中点模型
条件：如图，点M在线段的延长线上，且线段，第1次操作：分别取线段和的中点、﹔第2次操作：分别取线段和的中点，﹔第3次操作：分别取线段和的中点，；…连续这样操作n次，结论：．
证明：∵、是和的中点，∴，，
∴，∵、是和的中点，
∴，，∴，
∵，是和的中点，∴，，
∴，……发现规律：，
例1．（23-24七年级上·贵州六盘水·期末）如图，数轴上的点为原点，点表示的数为，动点从点出发，按以下规律跳动：第1次从点跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处，…，第次从点跳动到的中点处，按照这样的规律继续跳动到点，，，…，处，那么点所表示的数为 ．
例2．（23-24七年级上·河南濮阳·期末）已知：如图，点M在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点，； 第二次操作：分别取线段和的中点，；第三次操作：分别取线段和的中点，，连续这样操作4 次，则 ．
例3．（23-24七年级上·湖南张家界·期末）如图，点M在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点、﹔第二次操作：分别取线段和的中点，﹔第三次操作：分别取线段和的中点，；…连续这样操作2024次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和 ．
例4．（23-24七年级上·广东·期中）学习了线段的中点之后，小明利用数学软件做了n次取线段中点实验：如图，设线段，第1次，取的中点；第2次，取的中点；第3次，取的中点，第4次，取的中点；…
(1)请完成下列表格数据．
(2)小明对线段的表达式进行了如下化简：
因为，所以，
两式相加，得，所以．
请你参考小明的化简方法，化简的表达式．
(3)类比猜想：_____，=_____，随着取中点次数n的不断增大，的长最终接近的值是____．
模型3.双角平分线模型与角n等分线模型
双角平分线模型：共顶点的三条射线组成的三个角中（两角共一边），已知任意两个角的平分线，求角平分线夹角。下面是最完整的角平分线模型结论的推导过程，推导过程是需要掌握的，也并不难推，同学们自己尝试着推导一遍，再去记结论，印象会更加深刻。

图1 图2 图3 图4
1）双角平分线模型（两个角无公共部分）
条件：如图1，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC；结论：。
证明：∵OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC，∴，，
∴，∴。
2）双角平分线模型（两个角有公共部分）
条件：如图1，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC；结论：。
证明：∵OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC，∴，，
∴，∴。
3）拓展模型：双角平分线模型（三个角围成一个周角）
条件：如图3，已知∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，OP1平分∠AOC、OP2平分∠BOC；
结论：。
证明：∵OP1平分∠AOC、OP2平分∠BOC，∴，，
∵∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，∴∠BOC+∠AOC=360°-∠AOB，
∴。
4）角n等分线模型
条件：如图4，分别是和的平分线，分别是和的平分线，分别是和的平分线…，分别是和的平分线；结论：．
证明：，、分别是和的平分线，
，，
、分别是和的平分线，，
，
、分别是和的平分线，，
，…，
由此规律得：。
例1．（2023·河南周口·校联考一模）如图，点O为直线上一点，平分，平分，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
例2．（2023春·辽宁辽阳·七年级统考期末）如图，射线平分，射线平分，则下列等式中成立的有（ ）
①；②；③；④．
A．①②B．①③C．②③D．②④
例3．（2023春·黑龙江·七年级校考阶段练习）如图，射线是的角平分线，射线是的角半分线，射线是的角平分线，则下列结论成立的有（ ）个．

①；②；③；④；
A．0个B．1个C．2个D．3个
例4．（2023·河南·七年级校联考期末）如图，分别是和的平分线，分别是和的平分线，分别是和的平分线，…，分别是和的平分线，则的度数是 ．

例5．（2022秋·山西太原·七年级统考期末）图，∠AOC=∠BOD=90°，OB在∠AOC的内部，OC在∠BOD的内部，OE是∠AOB的一条三等分线．请从A，B两题中任选一题作答．
A．当∠BOC＝30°时，∠EOD的度数为 ．
B．当∠BOC＝α°时，∠EOD的度数为 （用含α的代数式表示）．
例6．（2023秋·辽宁沈阳·七年级统考期末）如图，点，，在同一条直线上，，分别平分和．(1)求的度数；(2)如果．①求的度数；②若，直接写出的度数．
例7．（2023秋·江苏无锡·七年级校考期末）解答题：(1)如图，若， ，、分别平分、，求的度数；
(2)若，是平面内两个角，， ，、分别平分、，求的度数．（用含、的代数式表示）
例8．（2023春·山东济南·七年级统考期末）解答下列问题
如图1，射线在的内部，图中共有3个角：和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“巧分线”．(1)一个角的平分线 这个角的“巧分线”，（填“是”或“不是”）．(2)如图2，若，且射线是的“巧分线”，则 （表示出所有可能的结果探索新知）．(3)如图3，若，且射线是的“巧分线”，则 （用含α的代数式表示出所有可能的结果）．

1．（2023秋·福建泉州·七年级统考期末）在直线上任取一点A，截取，再截取，则的中点与的中点之间的距离为（ ）
A．B．C．或D．或
2．（2023秋·江西上饶·七年级统考期末）如图，C、D是线段上两点，M、N分别是线段的中点，下列结论：①若，则；②若，则；③；④．
其中正确的结论是（ ）
A．①②③B．③④C．①②④D．①②③④
3．（2023秋·江苏徐州·七年级校考期末）如图，点M在线段AN的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点、；第二次操作：分别取线段和的中点，；第三次操作：分别取线段和的中点，；…连续这样操作2023次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和（ ）
A．B．C．D．
4．（2023秋·河南驻马店·七年级统考期末）如图，已知，以点为顶点作直角，以点为端点作一条射线．通过折叠的方法，使与重合，点落在点处，所在的直线为折痕，若，则（ ）．

A．B．C．D．
5．（2023秋·山西大同·七年级统考期末）在的内部作射线，射线把分成两个角，分别为和，若或，则称射线为的三等分线．若，射线为的三等分线，则的度数为（ ）
A．B．C．或D．或
6．（2023春·山东青岛·七年级统考开学考试）如图，有两根木条，一根长为，另一根长为，在它们的中点处各有一个小圆孔（圆孔直径忽略不计，抽象成两个点），将它们的一端重合，放置在同一条直线上，此时两根木条的小圆孔之间的距离是 ．

7．（23-24七年级上·四川成都·阶段练习）如图所示，已知是线段上的一个点，是的中点，为中点，且满足，求 ．
8．（2023秋·福建福州·七年级校考期末）已知线段和线段在同一直线上，线段（A在左，B在右）的长为a，长度小于的线段（D在左，C在右）在直线上移动，M为的中点，N为的中点，线段的长为b，则线段的长为 （用a，b的式子表示）．
9．（2023秋·湖北武汉·七年级统考期末）如图，点C，D在线段上，P，Q分别是的中点，若，则 ．
10．（2023秋·广东梅州·七年级校考阶段练习）已知，由定点引一条射线，使得，、分别是和的平分线，则 度．
11．（2024·山东·七年级专题练习）如图，在∠AOB的内部有3条射线OC、OD、OE，若∠AOC＝70°，∠BOE＝∠BOC，∠BOD＝∠AOB，则∠DOE＝ °．（用含n的代数式表示）
12．（2023秋·福建福州·七年级校考期末）已知有理数a，b满足：．如图，在数轴上，点O是原点，点A所对应的数是a，线段在直线上运动（点B在点C的左侧），．
下列结论：①；②当点B与点O重合时，；
③当点C与点A重合时，若点P是线段BC延长线上的点，则；
④在线段运动过程中，若M为线段的中点，N为线段的中点，则线段的长度不变．
所有结论正确的序号是 ．
13．（2023春·天津滨海新·七年级校考期中）如图，为直线上一点，，平分，平分，平分，下列结论：；与互补；；．请你把所有正确结论的序号填写在横线上 ．

14．（2023春·安徽合肥·七年级校考开学考试）平面内，，为内部一点，射线平分，射线平分，射线平分，当时，的度数是 ．
15．（2023秋·河南新乡·七年级统考期末）小明在学习了比较线段的长短时对下面一道题产生了探究的兴趣：
如图1，点在线段上，，分别是，的中点．若，，求的长．
(1)根据题意，小明求得______．
(2)小明在求解（1）的过程中，发现的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的条件一般化，并开始深入探究．设，是线段上任意一点（不与点，重合），小明提出了如下三个问题，请你帮助小明解答．①如图1，，分别是，的中点，则______．
②如图2，，分别是，的三等分点，即，，求的长．
③若，分别是，的等分点，即，，则______．
16．（2023秋·福建泉州·七年级校考期末）【概念与发现】
当点C在线段AB上，时，我们称n为点C在线段AB上的“点值”，记作．
例如，点C是AB的中点时，即，则；反之，当时，则有．
因此，我们可以这样理解：“”与“”具有相同的含义．
(1)【理解与应用】如图，点C在线段AB上．若，，则________；若，则________．
(2)【拓展与延伸】已知线段，点P以1cm/s的速度从点A出发，向点B运动．同时，点Q以3cm/s的速度从点B出发，先向点A方向运动，到达点A后立即按原速向点B方向返回．当P，Q其中一点先到达终点时，两点均停止运动．设运动时间为t（单位：s）．
①小王同学发现，当点Q从点B向点A方向运动时，的值是个定值，求m的值；
②t为何值时，．
17．（2023秋·河北邢台·七年级校联考期末）已知，平分，平分．

(1)如图1，当，重合时，求的度数；(2)如图2，当在内部时，若，求的度数；(3)当和的位置如图3时，求的度数．
18．（2024·广东广州·七年级校考期末）如图①，已知线段，，线段在线段上运动，E，F分别是，的中点．
(1)若，则___________cm；(2)我们发现角的很多规律和线段一样，如图②，已知在内部转动，，分别平分和，若，，则___________．直接写出，和的数量关系：___________．
19．（2023秋·湖南永州·七年级统考期末）点为直线上一点，在直线同侧任作射线，使得．(1)如图一，过点作射线，使为的角平分线，若时，则________，________；(2)如图二，过点O作射线，当恰好为的角平分线时，另作射线，使得平分．①若，求的度数（写出推理过程）；
②若，则的度数是________（直接填空）．
(3)过点作射线，当恰好为的角平分线时，另作射线，使得平分，当时，则的度数是________．（在稿纸上画图分析，直接填空）

20．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）已知：射线在内部，平分．
(1)如图1，求证：；(2)如图2，作平分，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，当时，作射线的反向延长线，在的下方，且，反向延长射线得到射线，射线在内部，是的平分线，若，，求的度数．
次数

线段的长
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
①______
②________
…
…
…