2025中考数学-题型归纳讲练(通用版)热点题型·专题05概率与统计综合(原卷版+解析)

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TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc8154" 热点题型归纳 PAGEREF _Tc8154 \h 1
\l "_Tc8154" 题型01 数据的收集与整理（统计与统计图（表）） PAGEREF _Tc8154 \h 1
\l "_Tc19740" 题型02 数据分析（数据的集中趋势与波动程度） PAGEREF _Tc19740 \h 6
\l "_Tc12140" 题型03 概率的计算 PAGEREF _Tc12140 \h 14
\l "_Tc32169" 中考练场 PAGEREF _Tc32169 \h 19
题型01 数据的收集与整理（统计与统计图（表））
数据的收集与整理（统计与统计图（表））是初中数学统计与概率板块的重要内容，它主要围绕如何收集数据、整理数据以及通过图表直观呈现数据信息展开，在中考数学中分值占比约 5%-10% 。
1.考查重点：重点考查数据收集方法的选择，以及对各类统计图表（如条形图、折线图、扇形图、频数分布直方图等）特征和数据的解读。
2.能力要求：要求学生具备数据处理能力，能从图表中准确提取关键信息，进行合理的计算与推理，同时具备数据分析观念和统计意识。
【提分秘籍】
【典例分析】
例1．（2024·山东德州·中考真题）某校随机调查了本学期部分学生读课外书的册数情况，整理得到如下不完整的统计表和扇形图．
(1)本次调查的学生人数为________；
(2) ________；
(3)已知该校共有1800名学生，请估计全校本学期读四册课外书的学生人数________；
(4)学校随后又补查了另外几人读课外书的册数情况，发现这几人读课外书的册数恰好相同．将其与之前的数据合并后，发现册数的众数变成了另外一个数，则补查的人数最少为________．
例2．（2024·江苏宿迁·中考真题）某校为丰富学生的课余生活，开展了多姿多彩的体育活动，开设了五种球类运动项目：A篮球，B足球，C排球，D羽毛球，E乒乓球．为了解学生最喜欢以上哪种球类运动项目，随机抽取部分学生进行调查（每位学生仅选一种），并绘制了统计图：
某同学不小心将图中部分数据丢失，请结合统计图，完成下列问题：
(1)本次调查的样本容量是________，扇形统计图中C对应圆心角的度数为________
(2)请补全条形统计图；
(3)若该校共有2000名学生，请你估计该校最喜欢“E乒乓球”的学生人数．
例3．（2024·湖南长沙·中考真题）中国新能源产业异军突起．中国车企在政策引导和支持下，瞄准纯电、混动和氢燃料等多元技术路线，加大研发投入形成了领先的技术优势，2023年，中国新能源汽车产销量均突破900万辆，连续9年位居全球第一．在某次汽车展览会上，工作人员随机抽取了部分参展人员进行了“我最喜欢的汽车类型”的调查活动（每人限选其中一种类型），并将数据整理后，绘制成下面有待完成的统计表、条形统计图和扇形统计图
请根据以上信息，解答下列问题：
(1)本次调查活动随机抽取了_____人；表中______，______；
(2)请补全条形统计图；
(3)请计算扇形统计图中“混动”类所在扇形的圆心角的度数；
(4)若此次汽车展览会的参展人员共有4000人，请你估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的有多少人？
【变式演练】
1．（2025·山东青岛·模拟预测）设中学生体质健康综合评定成绩为分，满分为100分，规定：为A级，为B级，为C级，为D级．现随机抽取某中学部分学生的综合评定成绩，整理绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，请根据图中的信息，解答下列问题：
(1)在这次调查中，一共抽取了_____________名学生，____________，级对应的扇形的圆心角为_______________度；
(2)这组数据的中位数所在的等级是________________；
(3)若该校共有3000名学生，请你估计该校综合评定成绩为D级的学生有多少名？
2．（2025·河南开封·一模）某校为丰富学生的课余生活，开展了多姿多彩的体育活动，开设了五种球类运动项目：．篮球，．足球，．排球，．羽毛球，．乒乓球．为了解学生最喜欢以上哪种球类运动项目，随机抽取部分学生进行调查（每位学生仅选一种），并绘制了统计图．某同学不小心将图中部分数据丢失，请结合统计图，完成下列问题．
学生最喜欢球类运动情况扇形统计图
(1)本次调查的样本容量是___________，并补全条形统计图．
(2)扇形统计图中所对应的圆心角的度数为___________．
(3)若该校共有名学生，请你估计该校最喜欢“．篮球”的学生人数．
3．（2025·陕西西安·二模）为积极落实“双减”政策，让作业布置更加精准高效，我校现对八年级部分学生每天完成作业所用的时间进行调查，并用得到的数据绘制了如下不完整的统计图，根据图中信息完成下列问题：
(1)本次共调查了___________名学生，并补全上面条形统计图；
(2)本次抽查学生每天完成作业所用时间的中位数为___________小时；众数为___________小时；
(3)我校八年级有名学生，请你估计八年级学生中，每天完成作业所用时间为小时的学生有多少人？
4．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）某数学小组将课外书大概分四类：“文学名著”“科普”“人文社科”和“猎奇类”，在校内对你喜欢读的一类书进行调查，随机调查了若干人（每名学生必选一种且只能从这四项中选择一项），并将调查结果绘制成如下不完整的统计图．
(1)求本次共抽查了多少名学生；
(2)请补全条形统计图；
(3)若该学校共有2000名学生，请你估计最喜欢读“猎奇类”书的学生有多少名？
5．（2025·山东济南·一模）某学校为了解学生对“航空航天知识”的掌握情况，从七年级随机抽取部分同学进行测试，并对成绩（百分制）进行整理、描述和分析，下面给出部分信息：
a.学生成绩的统计图如图（数据分为五组：，，，，）
b.在这一组成绩的是80 80 80 81 81 82 83 84 84 85 85 87 88 89 89 89
c.成绩不低于90分为优秀
根据以上信息，回答下列问题：
(1)本次调查采用的方式是 （选填“全面调查”或“抽样调查”），样本容量是 ；
(2)这组有 名同学，这组学生人数所占的百分比为 ；
(3)补全频数分布直方图；
(4)若七年级有400名学生，请估计该校七年级学生达到优秀的人数．
题型02 数据分析（数据的集中趋势与波动程度）
数据分析（数据的集中趋势与波动程度）是初中数学统计与概率领域的核心内容，旨在通过对数据的深入剖析，揭示数据分布的特征，在中考数学中分值占比通常在 5%-8%。
1.考查重点：重点考查对平均数、中位数、众数等反映数据集中趋势的统计量，以及方差、标准差等体现数据波动程度指标的理解与计算。
2.高频题型：高频题型包括根据给定数据计算集中趋势和波动程度的统计量；依据统计量对数据特征进行描述与分析；通过比较不同数据组的统计量作出合理决策。
3.高频考点：考点聚焦于平均数（算术平均数、加权平均数）、中位数、众数的计算与应用，方差、标准差的概念及计算，以及利用这些统计量解决实际问题。
4.能力要求：要求学生具备较强的运算能力，能够准确计算各类统计量；具备数据分析和逻辑推理能力，能依据统计量对数据进行合理评价与解读。
5.易错点：易错点在于加权平均数中权重的确定失误；计算中位数时数据排序错误；对众数可能不唯一的情况考虑不周全；计算方差时公式运用出错，以及在利用统计量进行决策时，忽略实际背景导致错误判断。
【提分秘籍】
【典例分析】
例1．（2024·湖北·中考真题）为促进学生全面发展，学校开展了丰富多彩的体育活动．为了解学生引体向上的训练成果，调查了七年级部分学生，根据成绩，分成了四组，制成了不完整的统计图．分组：，，，．
(1)组的人数为______：
(2)七年级400人中，估计引体向上每分钟不低于10个的有多少人？
(3)从众数、中位数、平均数中任选一个，说明其意义．
例2．（2024·山东潍坊·中考真题）在某购物电商平台上，客户购买商家的商品后，可从“产品质量”“商家服务”“发货速度”“快递服务”等方面给予商家分值评价（分值为分、分、分、分和分）．该平台上甲、乙两个商家以相同价格分别销售同款T恤衫，平台为了了解他们的客户对其“商家服务”的评价情况，从甲、乙两个商家各随机抽取了一部分“商家服务”的评价分值进行统计分析．
【数据描述】
下图是根据样本数据制作的不完整的统计图，请回答问题（）（）．
（）平台从甲、乙两个商家分别抽取了多少个评价分值？请补全条形统计图；
（）求甲商家的“商家服务”评价分值的扇形统计图中圆心角的度数．
【分析与应用】
样本数据的统计量如下表，请回答问题（）（）．
（）直接写出表中和的值，并求的值；
（）小亮打算从甲、乙两个商家中选择“商家服务”好的一家购买此款T恤衫．你认为小亮应该选择哪一家？说明你的观点．
例3．（2024·河南·中考真题）为提升学生体质健康水平，促进学生全面发展，学校开展了丰富多彩的课外体育活动．在八年级组织的篮球联赛中，甲、乙两名队员表现优异，他们在近六场比赛中关于得分、篮板和失误三个方面的统计结果如下．
技术统计表
根据以上信息，回答下列问题．
(1)这六场比赛中，得分更稳定的队员是_________（填“甲”或“乙”）；甲队员得分的中位数为27.5分，乙队员得分的中位数为________分．
(2)请从得分方面分析：这六场比赛中，甲、乙两名队员谁的表现更好．
(3)规定“综合得分”为：平均每场得分×1+平均每场篮板×1.5+平均每场失误，且综合得分越高表现越好．请利用这种评价方法，比较这六场比赛中甲、乙两名队员谁的表现更好．
【变式演练】
1．（2025·河北唐山·一模）某中学为了解初三同学的体育中考准备情况，随机抽取该年级某班学生进行体育模拟测试（满分分），根据测试成绩（单位：分）绘制成两幅不完整的统计图（如图1和图2），已知图2中得分的人数所对圆心角为，回答下列问题：
(1)条形统计图有一部分污损了，求得分分的人数；直接写出所调查学生测试成绩中位数和众数；
(2)一同学因病错过考试，补测后与之前成绩汇总，发现中位数变大了，求该名同学的补测成绩．
2．（2025·广东清远·一模）某校七年级在体育运动周的花样跳绳比赛中，25名参赛选手的初赛成绩如下：
(1)学校要求取前7名参加决赛，小芳同学的成绩为6.5分，她分析初赛成绩统计图，认为自己一定会落选．你认为小芳同学的分析正确吗？并说明理由．
(2)评委发现成绩第7名有王丽和李英两人，提出让这两名同学进行加赛来决定由哪位同学进入决赛，下表是五位评委对两名同学加赛的打分情况及分析后的数据：
①表格中_______，_______；
②根据表中数据，你认为选择哪位同学参加决赛更合适？
3．（2025·陕西咸阳·一模）某中学在“世界读书日”知识竞赛活动中，七年级800名学生全部参赛，从中随机抽取名学生的竞赛成绩按以下五组进行整理（每名学生的得分为）：
A．；B．；C．；D．；E．．
并绘制了七年级竞赛成绩频数分布直方图，如图．
已知C组的全部数据为：71，72，70，75，74，78，76，77，76，77，79．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)________，抽取的名学生竞赛成绩的中位数是________；
(2)C组学生竞赛成绩的平均分是________；
(3)学校将对80分以上（含80分）的学生授予“读书新星”称号，请根据以上统计信息估计该校七年级被授予“读书新星”称号的学生人数．
4．（2025·山东泰安·模拟预测）自2024年1月1日起，《未成年人网络保护条例》正式施行，这是我国出台的第一部专门性的未成年人网络保护综合立法．某校政教处组织七、八年级学生学习《未成年人网络保护条例》，并进行了相关知识测试．从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的成绩（满分：100分．成绩用x表示，共分为五组：A组，；B组，；C组，；D组，；E组，）进行整理、描述和分析，信息如下：
a．b．七年级测试成绩在C组的数据分别是：73，75，75，75，77，78，79，79．
c．七、八年级测试成绩的平均数、中位数、众数如表：
根据以上信息，解答下列问题：
(1)表中m的值为 ；
(2)通过以上数据分析，你认为哪个年级学生的测试成绩更好？请说明理由；
(3)若该校七年级学生有400名，八年级学生有600名，估计这两个年级本次测试成绩不低于80分的学生人数．
5．（2025·河南郑州·一模）发生火灾时，逃生时间通常仅有几分钟，采取有效的自救与逃生措施能够显著降低人员伤亡．某中学针对八年级学生进行了逃生技能掌握情况的调查，随机抽取了班和班各名学生进行问卷调查，分数越高表明学生掌握的逃生技能越好，根据调查结果绘制了相应的统计图．请根据信息，解答下列问题：
数据分析结果详见下表：
(1) ， ；
(2)补全条形统计图；
(3)小颖的得分是分，其分数高于她所在班级半数同学的个人得分，则小颖在 班（填“”或“”）；
(4)在逃生技能的掌握方面，你认为哪个班级的学生表现更优异？请说明理由．
6．（2025·甘肃·模拟预测）黄河之滨万物竞茂、豪情满怀．来自世界各地的数万名选手相聚金城，用奔跑释放生命活力，用激情演绎“兰马”精彩．某单位组织甲乙两个代表队参加半马比赛，成绩(精确到分)如下：
(1)已知该单位12位选手成绩平均数是，其中甲队6名选手成绩平均数是，求m，n的值；
(2)求乙队选手成绩的众数及中位数；
(3)从队员发挥的稳定程度考虑哪队选手更加优秀？
题型03 概率的计算
概率的计算是初中数学统计与概率部分的核心内容，主要研究随机事件发生可能性的量化，在中考数学中分值占比约 5%-10%。
1.考查重点：重点考查对古典概型（有限等可能事件）、几何概型等不同类型概率模型的理解，以及相应概率计算公式的运用。
2.高频题型：高频题型包含利用列举法（列表法、树状图法）计算简单事件的概率；结合实际情境判断概率模型并计算概率；根据概率大小进行决策或设计游戏规则。
3.高频考点：考点集中在简单事件概率的定义与计算，通过列举所有等可能结果求概率，概率与频率的关系，以及利用概率知识解决实际生活中的各类问题。
4.能力要求：要求学生具备清晰的逻辑思维能力，能准确分析事件的等可能性；具备良好的阅读理解能力，能从实际问题中抽象出概率模型并求解；还要有一定的创新思维，能依据概率设计合理方案。
5.易错点：易错点在于列举等可能结果时出现遗漏或重复；混淆不同概率模型，错误套用公式；对复杂事件中各事件间关系把握不准，导致概率计算错误；在实际问题中，对隐含条件挖掘不足，影响概率求解。
【提分秘籍】
【典例分析】
例1．（2024·山东青岛·中考真题）学校拟举办庆祝“建国75周年”文艺汇演，每班选派一名志愿者，九年级一班的小明和小红都想参加，于是两人决定一起做“摸牌”游戏，获胜者参加．规则如下：将牌面数字分别为1，2，3的三张纸牌（除牌面数字外，其余都相同）背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明先从中随机摸出一张，记下数字后放回并洗匀，小红再从中随机摸出一张．若两次摸到的数字之和大于4，则小明胜；若和小于4，则小红胜；若和等于4，则重复上述过程．
(1)小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是______；
(2)请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平．
例2．（2024·山东东营·中考真题）为贯彻教育部《大中小学劳动教育指导纲要（试行）》文件精神，东营市某学校举办“我参与，我劳动，我快乐，我光荣”活动．为了解学生周末在家劳动情况，学校随机调查了八年级部分学生在家劳动时间（单位：小时），并进行整理和分析（劳动时间分成五档：A档：；B档：；C档：；D档：；E档：）．调查的八年级男生、女生劳动时间的不完整统计图如下：
根据以上信息，回答下列问题：
(1)本次调查中，共调查了_______名学生，补全条形统计图；
(2)调查的男生劳动时间在C档的数据是：2，2.2，2.4，2.5，2.7，2.8，2.9．则调查的全部男生劳动时间的中位数为_______小时．
(3)学校为了提高学生的劳动意识，现从E档中选两名学生作劳动经验交流，请用列表法或画树状图的方法求所选两名学生恰好都是女生的概率．
例3．（2024·四川广元·中考真题）广元市开展“蜀道少年”选拔活动，旨在让更多的青少年关注蜀道、了解蜀道、热爱蜀道、宣传蜀道，进一步挖掘和传承古蜀道文化、普及蜀道知识．为此某校开展了“蜀道文化知识竞赛”活动，并从全校学生中抽取了若干学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析（竞赛成绩用x表示，总分为100分，共分成五个等级：A：；B：；C：；D：；E：）．并绘制了如下尚不完整的统计图．
抽取学生成绩等级人数统计表
其中扇形图中C等级区域所对应的扇形的圆心角的度数是．
(1)样本容量为______，______；
(2)全校1200名学生中，请估计A等级的人数；
(3)全校有5名学生得满分，七年级1人，八年级2人，九年级2人，从这5名学生中任意选择两人在国旗下分享自己与蜀道的故事，请你用画树状图或列表的方法，求这两人来自同一个年级的概率．
【变式演练】
1．（2025·广东梅州·一模）在一次郊游中，小张与小李两位同学发现一个圆桌旁有4个座位，如图所示，两位同学想坐下休息一会（选择每一个座位的机会是均等的，两人不能坐同一个座位）．
(1)小张恰好坐在①号座位的概率为_________；
(2)用画树状图或列表的方法求小张与小李恰好相邻而坐的概率．
2．（2025·陕西西安·一模）有三部影片在春节档上映，分别是《哪吒2》，《唐探》，《熊出没重启未来》．小西和小名同学分别从三部电影中随机选择一部观看，将《哪吒2》表示为，《唐探》表示为．《熊出没重启未来》表示为．假设这两名同学选择观看哪部电影不受任何因素影响，且每一部电影被选到的可能性相等．记小西同学的选择为，小安同学的选择为．
(1)请用列表或画树状图法求所有可能出现的结果总数；
(2)求小西和小安两名同学恰好选择观看同一部电影的概率．
3．（2025·湖南长沙·一模）春节期间，人工智能题材新闻密集发酵，广受关注，相关话题讨论持续火热，海内外模型、机器人都已获得显著的技术突破．目前人工智能市场分为：决策类人工智能；：人工智能机器人；：语音类人工智能；：视觉类人工智能四大类型．为了解人们对以上四类人工智能的兴趣，某公司就“你最关注的人工智能类型”进行了一次调查，并将调查结果绘制成如图统计图（不完整）．请根据图中提供的信息，解答下列问题：
(1)①此次共调查了___________人，扇形统计图中C类对应的圆心角度数为___________；
②请将条形统计图补充完整；
(2)将四个类型的图标依次制成、、、四张卡片（卡片背面完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上．从中随机抽取一张，记录卡片的内容后放回洗匀，再随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求抽取到的两张卡片内容一致的概率．
4．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）2024年4月25日20时58分57秒神舟十八号载人飞船成功发射，这不仅是神舟十八号载人飞船任务的成功，更是中国航天事业雄心勃勃的豪情壮志，展现了我们大国崛起的力量．为激发学生弘扬爱国奋斗精神，以航天英雄为榜样，不断攀登新的科学高峰，某校举办以“相约浩瀚太空，逐梦航天强国”为主题的演讲比赛．九（1）班的小希和小辰都想参加比赛，她们演讲水平相当，但名额只有一个．为了公平起见，班委决定通过转动转盘来决定人选．如图给出A，B两个均分且标有数字的转盘，规则：分别转动两个转盘，将A盘转出的数字作为被减数，B盘转出的数字作为减数，若差为负数，则小希胜；若差为正数，则小辰胜．（若指针恰好指在分割线上，则重转，直到指针指向某一区域为止．）
(1)小希转动一次A盘，指针指向数字5的概率是 ___________；
(2)这个游戏规则对双方公平吗？请用列表或画树状图的方法说明你的理由．
5．（2025·河北沧州·模拟预测）为了解中考体育科目训练情况．某校从九年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次中考体育科目测试（把测试结果分为四个等级：A级：优秀；B级：良好；C级：及格；D级：不及格），并将测试结果绘成了两幅不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题：
(1)求本次抽样测试的学生人数；
(2)求图1中的度数，并把图2条形统计图补充完整；
(3)测试老师想从4位同学（分别记为、、、，其中为小明）中随机选择两位同学了解平时训练情况，请用列表或画树状图的方法求出选不中小明的概率．
6．（2025·河北·模拟预测）图1是一款游戏的棋盘，每一个格代表一步游戏，随机投掷一枚如图2所示的质地均匀的正四面体的骰子（每个面上分别写有1，2，3，4），记录朝下一面上的数字，并使棋子前进相应的步数，可连续投掷骰子，棋子可连续前进，直至达到或超过“游戏结束”．
(1)投掷一次该骰子，求朝下一面上的数字是偶数的概率；
(2)用列表法或画树状图法，求连续投掷该骰子两次可以达到或超过“游戏结束”的概率．
1．（2025·江西赣州·一模）六张大小、质地均相同的卡片上分别标有以下植物名称：银杏、苏铁、牡丹、云杉、菊花、玫瑰（其中银杏、苏铁、云杉是裸子植物，牡丹、菊花、玫瑰是被子植物），现将标有银杏A、苏铁B、牡丹C植物名称的卡片放在不透明的甲盒子中，将标有云杉D、菊花E、玫瑰F植物名称的卡片放在不透明的乙盒子中．
(1)从甲盒子中随机抽取一张卡片，卡片上的植物名称是裸子植物的概率是多少？（请直接写出结果）
(2)分别从这两个盒子中随机抽取一张卡片，请你用列表法或画树状图法（可用相应字母表示植物名称），求抽取的这两张卡片上的植物名称一个是裸子植物，另一个是被子植物的概率．
2．（2025·河北·一模）打造文旅融合、全域全季的旅游强省是河北省委、省政府谋划提出的中国式现代化河北场景的重要内容之一．某学校征集河北美景视频，视频获奖等级按照学生投票数，依次分为一等奖、二等奖、三等奖和参与奖．将A，B，C，D四个视频的投票数绘制成如下不完整的统计表和扇形统计图，已知投票数的极差和视频C的投票数一样．
作品投票数统计表
视频投票数扇形统计图
根据以上信息，解答下列问题：
(1) __________；
(2)求投票数的中位数；
(3)若统计票数时，因特殊原因，将视频C的票数少计算了总票数的，票数多加在了视频D的投票数上，请通过计算说明视频C和视频D的获奖等级是否有变化．
3．（2025·湖北恩施·一模）某校初一（6）班部分同学接受一次内容为“最喜欢的电视节目”的调查活动，收集整理数据后，老师将电视节目分为五类，并绘制了图1、图2两个不完整的统计图，请根据图中的信息解答下列问题．
(1)统计表中m的值为______，统计图中n的值为______，A类对应扇形的圆心角为_____度；
(2)该校共有1200名学生，根据调查结果，估计该校最喜爱体育节目的学生人数；
(3)样本数据中最喜爱戏曲节目的有4人，小强是其中一名．从这4人中任选2名同学去观赏戏曲表演，请用树状图或列表求所选2名同学中有小强的概率．
4．（2025·广东清远·模拟预测）为了增强学生的防溺水安全意识，某校举办了“防溺水安全主题系列活动”，要求每个班派一名代表参加本次活动．八（1）班陈老师从全班学生中经过层层筛选，决定从以下两名同学中选一名学生代表八（1）班参加比赛．下表是班上两名同学参加各项活动的测试成绩（单位：分）
(1)如果根据三项测试的平均成绩确定人选，那么谁将被选中？
(2)如果将在线学习、知识竞赛、演讲比赛三项测试成绩得分按的比例确定两人的测试成绩，那么谁将被选中？
(3)如果将在线学习、知识竞赛、演讲比赛三项测试成绩得分按的比例确定两人的测试成绩，那么谁将被选中？
5．（2025·四川泸州·一模）无核柑橘是我省西南山区特产，该地区某村有甲、乙两块成龄无核柑橘园．在柑橘收获节，某班同学前往该村开展综合实践活动，其中一个项目是：在日照、土质、空气湿度等外部环境基本一致的条件下，对两块柑橘园的优质柑橘情况进行调查统计，为柑橘园的发展规划提供一些参考．
收集数据：
同学们从两块柑橘园采摘的柑橘中各随机选取200个．在技术人员指导下，测量每个柑橘的直径，作为样本数据．柑橘直径用x（单位：）表示．
将所收集的样本数据进行如下分组：
整理数据：
同学们绘制了甲、乙两园样本数据的频数分布直方图，部分信息如下：
(1)求图1中的值；
(2)求甲园样本数据的中位数在哪一组？
(3)结合市场情况，将，两组的柑橘认定为二级，若乙园共采摘的柑橘共2400个，请你估计乙园二级柑橘共有多少个？
6．（2025·贵州·一模）教育部印发《教育部办公厅关于开展第二批全国学校急救教育试点工作的通知》提出要普及急救知识，提高师生急救技能，提升校园应急救护能力．某校积极响应号召，在全校范围内开展了急救知识普及，并在普及前和普及后进行急救知识问卷调查（满分：分，打分成绩均为整数），该校“综合与实践”小组为了解急救知识普及情况，随机抽取部分学生的成绩，制成了如下调查报告（不完整）．
××中学急救知识普及情况调查报告
根据以上调查报告，解答下列问题：
(1)参与本次调查的学生共有____人，抽取的学生普及后成绩的中位数为_____分；
(2)为了更好的表示出普及前、后学生成绩对应人数的多少，你认为应选择 （填“条形”或“折线”）统计图更好，该校 （填写“普及前”或“普及后”）学生的成绩更稳定；
(3)分析普及前、后的相关数据，从一个方面评价学校开展急救知识普及的效果．
7．（2025·河北邯郸·一模）甲、乙、丙三张卡片正面分别写有，，，除正面的代数式不同外，其余均相同．
(1)将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，当，时，求取出的卡片上代数式的值为负数的概率；
(2)将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，放回后重新洗匀，再随机抽取一张．请在表格中补全两次取出的卡片上代数式之和的所有可能结果（化为最简），并求出和为单项式的概率．
8．（2025·陕西西安·一模）湖滨学校组织全体1500名学生参加“强国有我”读书活动，要求每人必读1～4本书，活动结束后从各年级学生中随机抽查了若干名学生了解读书数量情况，并根据A：1本：B：2本；C：3本；D．4本四种类型的人教绘制了不完整的条形统计图（图1）和扇形统计图（图2）．请根据统计图解答下列问题：
(1)补全条形统计图，本次调查抽取学生数：______；
(2)被调查学生读书数量的众数______和中位数______；
(3)求被调查学生读书数量的平均数？
9．（2025·河南郑州·一模）偃师二里头遗址、偃师商城遗址、洛阳东周王城遗址、汉魏洛阳故城遗址、隋唐洛阳城遗 址……在河南洛阳，洛河沿岸50千米范围内密集分布着五大都城遗址，勾勒出神州大地上早期王朝的起源．某校团委举办“名城洛阳，文化古都”作文写作大赛，满分100分，学生得分均为整数，成绩达60分及以上为合格，达到90分及以上为优秀．这次大赛中八、九年级各有10名学生参加，成绩分布的条形统计图如图所示．
根据以上信息完成下列问题．
(1)补充完成如下的成绩统计分析表．
(2)小明同学对小刚同学说：“虽然这次大赛我俩都得了70分，但我在我们年级中的排名比你在你 们年级的排名靠前！”观察上表可知，小明是 学生． （填“八年级”或“九 年级"）
(3)结合以上信息，你认为哪个年级成绩较好．请你给出两条支持自己观点的理由．
10．（2025·安徽·一模）“低碳生活，绿色出行”是我们倡导的一种生活方式，有关部门抽样调查了某单位员工上下班的交通方式，绘制了两幅统计图：
(1)样本中的总人数为_______人；扇形统计图中“骑车”所在扇形的圆心角为________度；
(2)补全条形统计图；
(3)该单位共有1000人，积极践行这种生活方式，越来越多的人上下班由开小车改为骑车．若步行和坐公交车上下班的人数都保持不变，问原来开小车的人中有多少人改为骑车，才能使骑车的人数等于开小车的人数？
11．（2025·湖南长沙·一模）为了弘扬科学创新精神，某中学开展了科学知识竞答活动，学校随机抽取了七年级部分同学的成绩进行整理．数据分成五组，组：；组：；组：；组：；组：．已知组的数据为：70，71，72，72，72，74，75，76，76，77，77，79，根据以上数据，我们绘制了频数分布直方图和扇形统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)本次随机抽查的样本容量为____________，并补全频数分布直方图；
(2)抽取的七年级部分同学的成绩的中位数为____________；
(3)该校要对成绩为E组的学生进行奖励，按成绩从高分到低分设一、二等奖，并且一、二等奖的人数比例为，请你估计该校七年级1000名学生中获得一等奖的学生人数．
12．（2025·广东茂名·模拟预测）广东省茂名市高州市是一座文化底蕴深厚的城市．高州有三塔，均位于高凉古郡高州市市区内，据《高州史》记载："环城有三塔，北曰艮塔，东曰文光，西南曰宝光"；也就是现在我们说的艮塔、文光塔和宝光塔．
为了了解学生对高州三大古塔的了解程度，某校设计了一个调查问卷，调查问卷分为4个选项：A、都不了解，B、了解其中一、两个，C、都了解，D、非常了解．为此，该校随机抽取了部分学生进行问卷调查，规定被调查学生从四个答案中只能选择一个和自己相符合的情况，根据调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图：

根据统计图提供的信息，解答下列问题：
(1)本次共调查了______名学生；
(2)在扇形统计图中，的值是______，对应的扇形圆心角的度数是______；
(3)请补全条形统计图；
(4)为加深学生对高州三塔的了解，高州市举行了“高州三塔知多少”知识竞赛，我校决定从“非常了解”里面的小明，小红，小彬，小航的4个人选取两个人去参加竞赛，问同时抽到小彬和小航的概率是多少？
13．（2025·陕西西安·一模）2024年国家提出推进中国式现代化，必须坚持不懈夯实农业基础，推进乡村全面振兴后，甲村经济发展进入了快车道．为了解甲村去年下半年经济发展状况，雷莹从该村400户家庭中随机抽取了部分家庭调查其去年下半年的收入情况，整理得到如下不完整的统计表和扇形统计图．
请根据图表中提供的信息，解答下列问题：
(1)表格中 ，雷莹所抽取家庭去年下半年家庭收入的中位数落在 组；
(2)求雷莹所抽取家庭去年下半年家庭收入的平均数；
(3)试估计去年下半年甲村400户家庭中收入不低于8.5万元的户数．
14．（2025·广东深圳·模拟预测）为了从甲、乙两名学生中选择一人参加法律知识竞赛，在相同条件下对他们的法律知识进行了次测验，成绩如下：（单位：分）
(1)请填写下表：
(2)利用以上的信息，请你对甲、乙两名同学的成绩进行分析．
15．（2025·甘肃平凉·一模）习主席说：“国家安全是民族复兴的根基，社会稳定是国家强盛的前提．必须坚定不移贯彻总体国家安全观，把维护国家安全贯穿党和国家工作各方面全过程，确保国家安全和社会稳定．”青年是国家未来的中坚力量，所以我们要坚定地维护国家安全．近日，某中学举行了国家安全知识竞赛，比赛结束后，老师从七、八年级各随机抽取了10名学生进行测试（百分制），测试成绩整理、描述和分析如下：
（成绩得分用表示，共分成四组：A．，B．，C．，D．）．
七年级10名学生的成绩是：96，86，96，86，99，96，90，100，89，82．
八年级10名学生的成绩在C组中的数据是：94，90，92．
七、八年级抽取的学生成绩统计表
根据以上信息，解答下列问题：
(1)上述图表中_____________，_____________，_____________．
(2)该校七、八年级共1000人参加了此次调查活动，估计参加此次调查活动成绩优秀的学生人数是多少？
(3)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握“国家安全知识”较好？请说明理由（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）．
调查数据的方法与过程：
①问卷调查法-----收集数据；②列统计表-----整理数据；③画统计图-----描述数据。
全面调查与抽样调查：
①全面调查：调查全体对象。②抽样调查：调查部分对象。
总体、个体、样本以及样本容量：
①总体：我们把所要考察的对象的全体叫做总体；②个体：把组成总体的每一个考察对象叫做个体；
③样本：从总体中取出的一部分个体叫做这个总体的一个样本；
④样本容量：一个样本包括的个体数量叫做样本容量。
用样本估计总体：
①样本平均数：即抽出的样本中所有个体的平均数。②总体平均数：总体中所有个体的平均数。
通常情况下用一个具有代表性的样本的平均数估算总体平均数。
数据描述的方法：
条形统计图，折线统计图，扇形统计图以及直方图。
频数与频率：
①频数：落在每一个小组的数据个数叫做每一组的频数。②频率：频数与总数的比值叫做频率。
相关计算：
①各部分具体数量等于总体数量乘以各部分所占百分比。
②各部分在扇形中所占圆心角度数等于360°乘以百分比。
画直方图的步骤：
第一步：计算数据的极差。即一组数据中的最大值减去最小值。
第二步：决定组数与组距。①组数：通常自己决定，合理组数即可。②组距：组距≥。
第三步：决定分组分点。第四步：画频数分布表。第五步：画频数分布直方图。
册数
四册
五册
六册
七册
人数
6
a
9
7
类型
人数
百分比
纯电
m
混动
n
氢燃料
3
油车
5
平均数：
①算术平均数：对于个数，则表示这一组数据的平均数。
②加权平均数：对于个数的权重分别是，则表示这一组数数据的加权平均数。权重的表示一般用比的形式或者百分比占比的形式。
中位数：
将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数。
众数：
一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的平均数。
极差：
一组数据的最大值减去最小值。
方差：
若一组数是，他们的平均数是，则这组数据的方差为：。方差表示这组数据的波动情况，方差越大，数据越波动，方差越小，数据越稳定。
根据已知数据的平均数与方差求关联数据的平均数与方差：
若一组数据的平均数是，方差是。则：
①数据的平均数为，方差为。
②数据的平均数为，方差为。
③数据的平均数为，方差为。
标准差：
一组数均的方差的算术平方根就是这组数据的标准差。即。
商家
统计量
中位数
众数
平均数
方差
甲商家
乙商家
队员
平均每场得分
平均每场篮板
平均每场失误
甲
26.5
8
2
乙
26
10
3
评委1
评委2
评委3
评委4
评委5
平均分
众数
中位数
方差
王丽
4
8
8
7
8
7
8
8
李英
7
6.9
7
7
7.1
7
7
0.004
平均数
中位数
众数
七年级
75
m
75
八年级
77
76
76
班级
平均数/分
中位数/分
众数/分
方差
班
班
甲队选手
1
2
3
4
5
6
成绩
96
m
118
106
124
110
乙队选手
1
2
3
4
5
6
成绩
98
112
102
n
131
119
事件：
①确定事件：事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定事件。
②随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件。
事件的可能性（概率）大小：
事件的可能性大小用概率来表示。表示为。
必然事件的概率为1；不可能事件的概率为0；随机事件的概率为。
概率的定义与计算公式：
①概率的意义：一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数附近，那么这个常数就叫做事件A的概率，记为=
②概率公式：随机事件A的概率。
几何概率：
在几何中概率的求解皆用部分面积比总面积，或部分长度比总长度，或部分角度比整个大角角度。
古典概型：
①定义：若在一次实验中，可能出现的结果有有限多个，且每一个结果出现的可能性大小相同，那么这样的实验称古典概型。
②概率求法：一般地，在一次实验中，有种可能出现的结果，并且他们发生的可能性大小相同，事件A包含了其中的种结果，那么事件A发生的概率为。
列表法：
当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，不重不漏地列举出所有可能的结果，再求出概率。
树状法：
当试验中存在三个及以上的元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用画树状图的方式，不重不漏地列举出所有可能的结果，再求出概率。
游戏的公平性：
判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平。
用频率估算概率：
大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率。
实验的次数越多，则估算结果越精确。
等级
A
B
C
D
E
人数
m
27
30
12
6
平均数
中位数
极差
575
690
类别
A
B
C
D
E
类型
新闻
体育
动画
娱乐
戏曲
人数
5
10
m
11
4
第一次 第二次
小强
A
B
C
小强
（A，小强）
（B，小强）
（C，小强）
A
（小强，A）
（B，A）
（C，A）
B
（小强，B）
（A，B）
（C，B）
C
（小强，C）
（A，C）
（B，C）
选手
主题活动项目
在线学习
知识竞赛
演讲比赛
甲
89
99
85
乙
84
96
90
组别
A
B
C
D
E
x
调查主题
××中学急救知识普及情况
调查方式
抽样调查
调查对象
××中学学生
数据收集
从全校随机抽取若干名学生普及前及普及后的成绩
数据整理
将抽取的普及前及普及后的成绩分别进行整理
数据分析
普及前、后抽取的学生成绩折线统计图
数据分析
普及前、后抽取的学生成绩条形统计图
调查结论
…
第一次和第二次
组别
平均数
中位数
方差
合格率
优秀率
八年级
68
276
九年级
72
75
196
小明
小红
小彬
小航
小明
（小明，小红）
（小明，小彬）
（小明，小航）
小红
（小红，小航）
小彬
（小彬，小明）
（小彬，小红）
（小彬，小航）
小航
（小航，小明）
（小航，小红）
（小航，小彬）
部分家庭收入统计表
部分家庭收入扇形统计图
组别
分组x（万元）
频数（户）
每组平均收入（万元）
A
4
7
B
5
8.3
C
m
9
D
3
9.5
甲成绩
乙成绩
平均数
中位数
众数
方差
分以上的频率
甲

乙


年级
七年级
八年级
平均数
92
92
中位数
93
众数
100
方差
34.6
50.4