2025中考数学-题型归纳讲练(通用版)热点题型·专题07三角形中的证明与计算问题(原卷版+解析)

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TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc673" 热点题型归纳 PAGEREF _Tc673 \h 1
\l "_Tc673" 题型01 三角形全等的判定及性质应用 PAGEREF _Tc673 \h 1
\l "_Tc16382" 题型02 相似三角形的判定及性质应用 PAGEREF _Tc16382 \h 4
\l "_Tc31231" 题型03 结合全等与相似进行三角形中的线段的计算 PAGEREF _Tc31231 \h 8
\l "_Tc21926" 题型04 结合全等与相似进行三角形中的角度的计算 PAGEREF _Tc21926 \h 13
\l "_Tc17889" 中考练场 PAGEREF _Tc17889 \h 14
题型01 三角形全等的判定及性质应用
三角形全等的判定及性质应用是初中数学几何领域的核心内容，是解决三角形相关问题、推导几何结论的关键工具，在中考数学中分值占比约 5%-10%。
1.考查重点：重点考查依据不同几何情境，精准选择全等三角形的判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）证明三角形全等，并熟练运用全等三角形对应边相等、对应角相等的性质，进行线段和角度的证明与计算。
2.高频题型：高频题型包含直接给定三角形的部分条件，要求证明两个三角形全等；利用全等三角形性质，证明线段相等、角相等或计算线段长度、角度大小；在复杂图形中，通过添加辅助线构造全等三角形，解决几何问题。
3.高频考点：考点集中在全等三角形判定定理的灵活运用，全等三角形性质在证明线段、角度关系及计算中的应用，全等三角形与其他几何图形（如四边形、圆）的综合考查，以及全等三角形在实际问题（如测量距离）中的运用。
4.能力要求：要求学生具备较强的逻辑推理能力，能够根据已知条件合理规划全等证明路径；拥有敏锐的图形观察能力，从复杂图形中识别全等三角形；掌握辅助线添加技巧，通过构造全等三角形突破解题难点；同时具备将实际问题转化为数学模型的能力。
5.易错点：易错点在于判定三角形全等时，错用判定条件，如误将 “SSA” 当作判定依据；在运用全等三角形性质时，对应关系混淆，导致线段、角度计算错误；添加辅助线时缺乏针对性，无法有效构造全等三角形；在综合问题中，不能充分挖掘隐含条件，影响全等证明及后续计算。
【提分秘籍】
【典例分析】
例1．（2024·云南·中考真题）如图，在和中，，，．
求证：．
例2．（2024·江苏南通·中考真题）如图，点D在的边上，经过边的中点E，且．求证．
例3．（2024·福建·中考真题）如图，在菱形中，点E、F分别在、边上，，求证：．
例4．（2024·四川乐山·中考真题）知：如图，平分，．求证：．
例5．（2024·江苏盐城·中考真题）已知：如图，点A、B、C、D在同一条直线上，，．
若________，则．
请从①；②；③这3个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并说明理由．
【变式演练】
1．（2025·陕西西安·二模）如图，是上一点，，，平分，求证：．
2．（2025·福建泉州·一模）如图，在矩形中，点是上一点，连接，，点是上一点，．求证：．
3．（2025·广东广州·模拟预测）如图，点在一条直线上，，求证：．
4．（2025·陕西西安·二模）如图，在中，点是上一点，过点作，点在上方，连接，，与互补，求证：．
5．（2024·山东泰安·模拟预测）如图，在中，，，为边的中点，过点作交的延长线于点，平分交于点，为边上一点，连接，且．求证：

(1)；
(2)．
题型02 相似三角形的判定及性质应用
相似三角形的判定及性质是初中数学几何领域中极为重要的内容，它主要研究三角形之间的相似关系，通过判定定理确定相似性，并利用性质解决线段比例、角度关系等几何问题，在中考数学中分值占比约 5%-10%。
1.考查重点：重点考查对相似三角形判定定理（如两角对应相等、三边对应成比例、两边对应成比例且夹角相等）的准确运用，以及相似三角形性质（对应角相等、对应边成比例、对应线段成比例、面积比等于相似比的平方）在各类几何情境中的应用。
2.高频题型：高频题型包含给定几何图形，判断三角形是否相似并说明理由；利用相似三角形性质计算线段长度、角度大小、图形面积；通过构造相似三角形解决实际问题，如测量物体高度、距离等。
3.高频考点：考点集中在相似三角形判定条件的灵活选择，相似三角形性质在几何证明和计算中的运用，相似三角形与函数、圆等其他知识的综合考查，以及相似模型（如 “A” 型、“X” 型、母子相似型）的识别与应用。
4.能力要求：要求学生具备较强的逻辑推理能力，能够根据已知条件合理选择相似三角形的判定方法；拥有良好的图形分析能力，从复杂图形中提炼出相似三角形；掌握一定的数学建模思想，能将实际问题转化为相似三角形模型求解。
5.易错点：易错点在于判定相似时错用条件，例如误将两边对应成比例且其中一边的对角相等当作判定依据；在运用相似三角形性质时，对应关系混淆，导致线段比例、面积计算出错；对相似模型的特征把握不准，无法准确识别与应用，在综合问题中不能有效整合相似三角形与其他知识解题。
【提分秘籍】
【典例分析】
例1．（2024·广东广州·中考真题）如图，点，分别在正方形的边，上，，，．求证：．
例2．（2024·新疆·中考真题）如图，在中，是的直径，弦交于点E，．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
例3．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，是的直径，内接于，，的延长线相交于点，且．
(1)求证：；
(2)求的度数．
例4．（2024·四川·中考真题）如图，在四边形中，，连接，过点作，垂足为，交于点，．
(1)求证：；
(2)若．
①请判断线段，的数量关系，并证明你的结论；
②若，，求的长．
【变式演练】
1．（2025·广东广州·模拟预测）如图，中，，是边上的高，求证：．
2．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，将绕点B逆时针旋转得到，连接MA，求证：∽
3．（2024·四川乐山·模拟预测）如图，已知线段，相交于点，，，．求．
4．（2024·广西·模拟预测）如图，在等边三角形中，相交于点F．求证：．
5．（2025·上海虹口·一模）如图，在中，，点在边上，过点作垂直交于点，连接、交于点．
(1)求证：；
(2)如果，求证：．
6．（2025·重庆大渡口·模拟预测）如图，在中，对角线与相交于点，，过点作交于点．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
题型03 结合全等与相似进行三角形中的线段的计算
结合全等与相似进行三角形中的线段的计算是初中数学几何知识综合运用的关键内容，深度融合全等三角形与相似三角形的核心性质，对学生综合分析与解决问题能力要求较高，在中考数学中分值占比约 5%-8%。
1.考查重点：重点考查灵活运用全等三角形对应边相等、相似三角形对应边成比例的性质，在复杂几何情境下，通过寻找、构造全等或相似三角形，实现对三角形中线段长度的精准计算。
2.高频题型：高频题型有在一个图形中，先证明三角形全等得到部分线段相等关系，再借助相似三角形对应边比例，计算其他线段长度；或者先利用相似三角形求出部分线段比例，再通过证明全等三角形，确定关键线段长度，进而计算所求线段。
3.高频考点：考点集中在全等三角形判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）与相似三角形判定定理（两角对应相等、三边对应成比例、两边对应成比例且夹角相等）的准确运用，以及全等与相似三角形性质在串联线段关系、计算线段长度过程中的综合体现。
4.能力要求：要求学生具备敏锐的图形观察能力，能从复杂图形中迅速识别全等与相似三角形的基本模型；拥有强大的逻辑推理能力，依据已知条件合理规划全等与相似的证明顺序，搭建线段计算的桥梁；掌握扎实的运算能力，处理复杂线段比例与长度计算。
5.易错点：易错点在于混淆全等与相似三角形的判定条件和性质，导致证明过程出错；在构造全等或相似三角形时，辅助线添加不合理，无法有效建立线段联系；在利用相似三角形对应边成比例计算时，对应关系混乱，造成计算错误；对题目中隐含的全等或相似条件挖掘不充分，影响解题思路。
【典例分析】
例1．（2023·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，，相交于点，，是的中点，，交于点．若，则的长为（ ）

A．2B．4C．6D．8
例2．（2023·辽宁丹东·中考真题）如图，在正方形中，，点E，F分别在边，上，与相交于点G，若，则的长为 ．
例3．（2024·四川眉山·中考真题）如图，内接于，点在上，平分交于，连接．若，，则的长为 ．
例4．（2023·辽宁营口·中考真题）如图，在中，，，将绕着点C按顺时针旋转得到，连接BD交于在E，则 ．

例5．（2024·四川成都·中考真题）如图，在中，，是的一条角平分线，为中点，连接．若，，则 ．

例6．（2024·山东·中考真题）如图，点为的对角线上一点，，，连接并延长至点，使得，连接，则为（ ）
A．B．3C．D．4
【变式演练】
1．（2025·山西朔州·一模）如图，，与相交于点，已知，则的长为 ．
2．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，中，，点是的外心，且，延长交于点，若，则 ．
3．（2025·陕西西安·一模）如图，在中，，，交于E，，，则的长度为 ．
4．（2025·陕西西安·二模）如图，中，M是的中点，平分，于点D，若，则等于（ ）
A．4B．3C．2D．1
5．（2025·广东深圳·模拟预测）在等腰中，，D是上一点，过点D作交延长线于点E，若，，则的值为 ．
6．（2025·重庆·模拟预测）如图，正方形的边长为，连接，则线段的长为（ ）
A．B．C．4D．
7．（2025·重庆·模拟预测）如图，正方形的对角线上有一点E，满足，连接，过D作 于F，连接，则的值为（ ）
A．B．C．D．
题型04 结合全等与相似进行三角形中的角度的计算
结合全等与相似进行三角形中的角度的计算是初中数学几何板块中对知识综合运用能力要求颇高的内容，它紧密关联全等三角形对应角相等和相似三角形对应角相等的特性，旨在培养学生深度分析几何图形中角度关系的能力，在中考数学里分值占比约 5%-8%。
1.考查重点：重点考查学生灵活运用全等三角形对应角相等、相似三角形对应角相等这两大核心性质，在复杂多变的几何图形情境中，精准定位并通过构造全等或相似三角形，实现对三角形中未知角度的准确计算。
2.高频题型：高频题型有在给定图形中，先证明三角形全等获取部分角度相等关系，接着借助相似三角形对应角性质来计算其他角度；或者先利用相似三角形得出一些角度信息，再通过证明三角形全等，确定关键角度数值，从而完成所求角度的计算。
3.高频考点：考点主要集中在全等三角形判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）与相似三角形判定定理（两角对应相等、三边对应成比例、两边对应成比例且夹角相等）的恰当选用，以及全等与相似三角形对应角性质在构建角度关系、求解角度数值过程中的综合运用。
4.能力要求：要求学生具备敏锐的图形感知能力，能快速从复杂图形中识别出全等与相似三角形的基本模型；拥有较强的逻辑推导能力，依据已知条件有条不紊地规划全等与相似的证明流程，以此搭建起角度计算的逻辑链条；同时，还需掌握扎实的角度运算能力，准确处理各类角度的计算问题。
5.易错点：易错点在于混淆全等与相似三角形的判定条件和对应角性质，致使证明过程出现错误；在构造全等或相似三角形时，辅助线添加不当，无法成功建立起有效的角度关联；在利用相似三角形对应角性质计算时，对应关系混乱，造成角度计算失误；对题目中潜藏的全等或相似条件察觉不敏锐，从而阻碍解题思路的顺畅推进。
【典例分析】
例1．（2024·山东济南·中考真题）如图，已知，则的度数为（ ）．
A．B．C．D．
例2．（2024·四川成都·中考真题）如图，，若，，则的度数为 ．
【变式演练】
1．（2025·河南·模拟预测）如图，已知，，，则 ．
2．（2025·重庆·模拟预测）如图，在和中，点在边上，交于点．若，，，，则 ．
3．（2025·浙江宁波·一模）如图，长方形沿折叠，使点D落在边上的点F处．如果，那么 ， ， ．
一、单选题
1．（2025·重庆·模拟预测）若两个三角形相似比为，则这两个三角形的周长比为（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·河南安阳·一模）如图，为某农村一古老的捣碎器，已知支撑柱的高为，踏板长为，支撑点A到踏脚D的距离为，现在踏脚着地，则捣头点E离地面的高度为（ ）
A．B．C．D．
3．（2025·重庆·模拟预测）如图，与位似，点O为位似中心，已知，的面积为8，则的面积为（ ）
A．8B．12C．18D．24
4．（2025·陕西咸阳·一模）如图，在中，点在上，连接，的顶点、分别是、的中点，、分别交于点、，若点是的中点，，则的长为（ ）
A．3B．2C．D．
5．（2025·广东·模拟预测）如图，在中，，D为边的中点，点 E，F分别在边上，，则四边形的面积为（ ）
A．18B．C．9D．6
6．（2025·重庆·模拟预测）如图，正方形，连接，点为上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接交于点，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．1
二、填空题
7．（2025·重庆·模拟预测）如图，中，，，平分，，过作于点，则长为 ．
8．（2025·湖南长沙·一模）如图，在中，，分别以点为圆心，大于长为半径画弧，交于点，作直线分别交于点，若，则的度数是 ．
9．（2025·重庆·模拟预测）如图，中，，，若点P的坐标为，点N的坐标为，则点M的坐标为 ．
10．（2025·河北唐山·一模）点，，在同一直线上，点，，在同一条直线上，，部分数据如图所示，将沿虚线剪成三块，其中两块为梯形，一块为三角形，阴影部分的面积记为．将沿虚线剪成三块，三块均为三角形，阴影部分的面积记为，则 ．
三、解答题
11．（2025·陕西西安·二模）如图，是上一点，，，平分，求证：．
12．（2025·江苏宿迁·一模）已知：如图，于点，于点，且是的中点．求证：．
13．（2025·陕西咸阳·一模）如图；在中，延长到点，过点作，连接，，求证：．
14．（2025·海南三亚·模拟预测）如图，点是的中点，且．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
15．（2025·湖南长沙·一模）如图，将平行四边形纸片沿一条直线折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕为．
(1)求证：；
(2)若，，试判断的形状，并说明理由．
全等三角形的判定：
①边边边（SSS）：三条边分别对应性相等的两个三角形全等。
②边角边（SAS）：两边及其这两边的夹角对应相等的两个三角形全等。
③角边角（ASA）：两角及其这两角的夹边对应相等的两个三角形全等。
④角角边（AAS）：两角及其其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
⑤直角三角形判定（HL）：直角三角形中斜边与其中任意一直角边分别对应相等的两个直角三角形全等。
全等三角形的性质：
对应边相等、对应角相等、对应线段（高、中线、角平分线等）相等
相似图形的概念：
把形状相同的图形称为相似图形。
相似三角形的概念：
如果两个三角形的对应边的比相等，对应角相等，那么这两个三角形相似。
相似三角形的判定：
①平行线法判定：
平行于三角形一边的直线与三角形的另两边或另两边的延长线相交所构成的三角形与原三角形相似。
②对应边判定：
三组对应边的比相等的两个三角形相似。
③两边及其夹角判定法：
两组对应边的比相等，且这两组对应边的夹角相等的两个三角形相似。
④两角判定：
有两组角（三组角）对应相等的两个三角形相似。
相似三角形的性质：
①相似三角形的对应角相等，对应边的比相等。对应边的比叫做相似比。
②相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比。