2025中考数学-题型归纳讲练(通用版)热点必刷题04图形的变化综合选填压轴55题(5类题型55题)(原卷版+解析)

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目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc1133" 一、几何翻折综合 PAGEREF _Tc1133 \h 2
\l "_Tc17024" 二、几何旋转综合 PAGEREF _Tc17024 \h 12
\l "_Tc16021" 三、几何平移综合 PAGEREF _Tc16021 \h 44
\l "_Tc14368" 四、动点轨迹的图像问题 PAGEREF _Tc14368 \h 53
\l "_Tc4110" 五、其他类综合（含全等与相似） PAGEREF _Tc4110 \h 65
一、几何翻折综合
1．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，正方形纸片的边长为，点，分别在，上，以为折痕折叠正方形，使顶点落在边上的点处，的对应边交于点，当时，的周长是 ．
【答案】
【分析】根据折叠的性质得到，，，，，根据勾股定理列出方程，解方程求出、，证明，根据相似三角形的性质求出、，根据三角形周长公式计算即可．
【详解】解：∵正方形纸片的边长为，以为折痕折叠正方形，使顶点落在边上的点处，，
∴，，，，，，
设，则，，
在中，，即，
解得：，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得：，，
∴，，
∴
的周长是．
故答案为：．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、正方形的性质、翻转变换、勾股定理，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
2．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，在矩形中，已知，，E为边上一动点，将沿翻折到的位置，点A与点F重合，连接，则的最小值为（ ）
A．B．C．4D．
【答案】D
【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，找到最小距离是解题的关键．在上取点G，使，连接FG，DG，证明，可得出，则，当、、三点共线时，最小，在中，利用勾股定理求出即可．
【详解】解：如图，在上取点G，使，连接，．
沿边翻折到，
，
又，
，，
，
又，
，
，
，
，
当、、三点共线时，最小，
在中，，
，，
，
即的最小值为．
故选：D．
3．（2024·湖南永州·三模）如图，在中，D是边上的中点，连接，把沿翻折，得到与交于点E，连接，若，则下列结论中错误的是（ ）
A．B．
C．D．的面积为
【答案】D
【分析】本题主要考查了等边三角形的判定及性质、折叠的性质等知识点，熟练掌握性质定理是解题的关键．根据折叠的性质可得、可判断B选项，再结合中点定义以及已知条件可得可判断A选项，易证为等腰三角形可判定C选项；如图：连接交于，根据折叠的性质以及可得，再解直角三角形可得，最后运用三角形的面积公式即可解答．
【详解】解：∵把沿翻折，得到与交于点E，
∴，，即B选项正确，不符合题意；
∵D是边上的中点，
∴，
∵，
∴，即A选项正确，不符合题意；
∴为等边三角形，
∴，即C选项正确，不符合题意；
如图：连接交于，
∵把沿翻折，得到与交于点E，
∴，，,
∴,
∴,
∴的面积为，即D错误，符合题意．
故选D．
4．（2024·浙江温州·模拟预测）如图，把一张长方形纸片沿，折叠，顶点，，，的对应点分别为，，，，点与重合，点恰与，的交点重合．若，，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】过点作于点，由折叠及矩形的性质得：，，，再证，得，又证四边形是矩形，得，进而利用勾股定理求得于是利用得求解即可得解。
【详解】解：过点作于点，
由题意得：，，，
，
，
∴
，
∴，
∵四边形是长方形，
∴，
∴四边形是矩形，，
∴
由折叠可得
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴
故选．
【点睛】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，等腰三角形的判定，熟练掌握这些知识是解题的关键．
5．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，在矩形中，，点在上，将沿直线折叠，使点A恰好落在上的点处，连接，分别与矩形的两条对角线交于点和点，则下列结论错误的是（ ）．
A．是等腰直角三角形B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了折叠的性质、矩形的性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、正弦的定义等知识点，灵活运用相关性质和判定成为解题的关键．
根据折叠的性质和矩形的性质可判定A选项；根据折叠的性质以及相似三角形的判定与性质可得判定B选项；根据平行线等分线段定理可判定C选项；如图，过点作于点，再求得、，然后运用正弦的定义即可解答．
【详解】解：将沿直线折叠，
，
，
，
是等腰直角三角形，故选项A正确，不符合题意；
，
，
将沿直线折叠，
，
，
，
，
，故选项B正确，不符合题意；，
，
，
，
，故选项C正确，不符合题意；
如图，过点作于点，
，
．
，
，
，
，
．
故选项D错误．
故选D．
6．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在矩形中，，动点N从A出发，沿边向点D匀速运动，动点M从B出发，沿边向点C匀速运动，连接．动点N，M同时出发，点N运动速度为，点M的运动速度为，且．当点M到达C时，M，N两点同时停止运动．在运动过程中，将四边形沿翻折，得到四边形．若在某一时刻，点B的对应点恰好与的中点重合，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】如图，设交于点，设，利用勾股定理求出（用表示），再利用相似三角形的性质求出（用表示），可得结论．
【详解】解：如图，设交于点，设，
，
可以假设，，
四边形是矩形，
，，，
点是的中点，
，
由翻折的性质可知，，，，，
在中，，
，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
设，则，
，
，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的性质，折叠的性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
7．（2024·四川乐山·一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边、分别在轴和轴上，，是的中点，将沿直线折叠后得到，延长交于点，连接，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】过点作于点，如图所示．由折叠得，，，进而得，证（），得，设，则，由勾股定理得，，进而求得，．又证明，得，利用相似三角形的性质求得、即可得解。
【详解】解：过点作于点，如图所示．
由折叠得，，，
∵点为的中点，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，．
∴，
在和中，
∵，，
∴（），
∴．
设，则，，，
∵，
∴，解得：，
∴，．
∵，，
∴
∵
∴，
∴，
∴，，
∴点的坐标为．
故选：．
【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），坐标与图形性质，矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，熟练掌握矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定及性质是解题的关键．
二、几何旋转综合
8．（2024·湖北荆州·一模）在中，．将绕点B顺时针旋转得到，点A的对应点为点D，点C的对应点为点E，点E在内，当时，过点A作于点F．若，则的长为 ．
【答案】
【分析】此题重点考查旋转的性质、勾股定理、矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．延长交于点G，作于点H，则，根据勾股定理求得，由旋转得，可证明四边形是矩形，解直角三角形的相关计算求出的长，再证明，得到于是得到问题的答案．
【详解】解：如图，延长交于点G，作于点H，则，
于点F，
，
，
由旋转得，
，
四边形是矩形，
，
，，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
9．（2024·辽宁·模拟预测）如图，，，绕点B顺时针旋转得到．，垂足为E，点M在线段上，垂足为N，O为中点，当取得最大值时，面积的最大值为 ．
【答案】
【分析】由，可知在以为圆心，为直径的圆上运动，如图，作于，证明，则，可知当取得最大值时，最大，此时重合，，，设，则，，，由，可知当时，最大，计算求解即可．
【详解】解：∵，
∴在以为圆心，为直径的圆上运动，如图，作于，
由旋转的性质可知，，，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴当取得最大值时，最大，此时重合，，
∴，
设，则，，
∴，
∵，
∴当时，最大为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了的圆周角所对的弦为直径，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，正切，二次函数的应用，二次函数的最值等知识．熟练掌握的圆周角所对的弦为直径，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，正切，二次函数的应用，二次函数的最值是解题的关键．
10．（2024·辽宁丹东·模拟预测）如图，点E为正方形边上一点，连接，将绕点A逆时针方向旋转得到，点B对应点为F，点E对应点为G，交于点H，连接．下列结论：①；②；③当点E与点C重合时；④当点G落在边上时，；⑤当最短时，，其中正确的是 （填写序号）．
【答案】①②③④⑤
【分析】根据旋转的性质即可判断①，利用正方形性质得到，结合旋转的性质得到，进而得到，即可得到，判断②，当点E与点C重合时，连接，证明为等边三角形，结合正方形性质证明，利用全等三角形性质以及等边三角形性质即可判断③，当点G落在边上时，作的垂直平分线交于点，连接，证明，结合旋转的性质得到，结合垂直平分线性质得到，利用直角三角形性质，以及解直角三角形的应用 表示出，，再根据即可判断④，在过点且垂直于的线段上运动，根据垂线段最短，即当时，最短，过点作于点，证明四边形为矩形，得到，结合直角三角形性质以及正方形性质即可判断⑤．
【详解】解：将绕点A逆时针方向旋转得到，
，
故①正确；
四边形为正方形，
，
由旋转的性质可知，，，
，
，
，
故②正确；
当点E与点C重合时，连接，如图所示：
由旋转的性质可知，，，
为等边三角形，
，
四边形为正方形，
，
，
，
，
故③正确；
当点G落在边上时，作的垂直平分线交于点，连接，
四边形为正方形，
，，
由旋转的性质可知，，
，
，
，
，
的垂直平分线交于点，
，
，
，
，
，
，
，
故④正确；
在过点且垂直于的线段上运动，
根据垂线段最短，即当时，最短，过点作于点，
，，，
四边形为矩形，
，
，
，
，
故⑤正确；
综上所述，正确的有①②③④⑤．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，旋转的性质，全等三角形的性质和判定等，解直角三角形，准确的作出图形并作出辅助线是解题的关键．
11．（2024·河北邢台·模拟预测）如图，是边长为2的等边三角形，点E为中线上的动点．连接，将绕点C顺时针旋转得到．连接，则 ，连接，则周长的最小值是 ．
【答案】
【分析】证明可得，得到点在射线上运动，如图所示，作点关于的对称点，连接，可得当三点共线时，取最小值，即，由得到，即得，进而由勾股定理得，据此即可求解．
【详解】解：∵为等边三角形，为高上的动点，
，
∵将绕点顺时针旋转得到，
，
，
，
，
∴点在射线上运动，
如图所示，作点关于的对称点，连接，
设交于点，则，
在中，，则，
当三点共线时，取最小值，即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴周长的最小值为，
故答案为：；．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，两点之间线段最短，直角三角形的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键．
12．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，在中，已知，D为直线边上一动点，将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，若，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】连接，先证明，得到点E在直线上运动，过点B作于点G，解答即可．
【详解】解：连接，
∵，，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，．
故点E在直线上运动，，
过点B作于点G，
根据垂线段最短，得当点E与点G重合时，取得最小值，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，垂线段最短，三角函数的应用，熟练掌握全等的性质，垂线段最短，三角函数的应用是解题的关键．
13．（2024·江苏徐州·二模）如图，和是以点为直角顶点的等腰直角三角形，且，分别作射线、，它们交于点．以点为旋转中心，将按顺时针方向旋转，若的长为2，则面积的最小值是（ ）
A．4B．8C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、切线的性质、勾股定理、等腰三角形的性质等知识点，灵活运用相关性质成为解题的关键．
先证明，则，推出，由题意知，E在以A为圆心，2为半径的圆上运动，如图，当在下方且与相切时，线段最短，面积的最小；再证明四边形是正方形，则，由勾股定理得，，则，最后根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】解：∵和是以点A为直角顶点的等腰直角三角形，且，
∴，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴，
如图：由题意知，E在以A为圆心，2为半径的圆上运动，
∵，
∴当在下方且与相切时，点M到距离最小，面积的最小
∵，
∴四边形是矩形，
∵
∴四边形是正方形，
∴，
由勾股定理得，，
∴，
∴．
故选：A．
14．（2024·山东德州·二模）如图，在矩形中，点P在线段上运动（含B、C两点），连接，以点A为中心，将线段逆时针旋转60°到，连接，则线段的最小值为（ ）
A．B．5C．3D．1
【答案】A
【分析】本题考查矩形的性质，旋转变换，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，本题的突破点是证明点Q的在射线上运动．
如图，以为边向右作等边，作射线交于点E，过点D作于H．利用全等三角形的性质证明，推出，推出点Q在射线上运动，求出，可得结论．
【详解】解：如图，以为边向右作等边，作射线交于点E，过点D作于H．
∵四边形是矩形，
∴，
∵都是等边三角形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴点Q在射线上运动，
∵，
∴，
∵，
∴．
根据垂线段最短可知，当点Q与H重合时，的值最小，最小值为．
故选A．
15．（2024·四川南充·二模）如图，在等边中，，将绕点C逆时针旋转（），得线段，连接，作的平分线交射线于点E．下列三个结论：①；②当时，；③面积的最大值为．其中正确的结论是（ ）
A．①②③B．①②C．①③D．②③
【答案】C
【分析】①首先利用等边三角形的性质和性质的性质得到，然后利用的等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求解；②如图，过作于，利用等腰三角形的性质得到，然后利用已知条件得到，接着利用勾股定理和三角函数即可求解；③根据①，故点在的外接圆上，当点到的距离最大时，面积有最大值，由此即可求解．
【详解】解：①等边中，，
由旋转的性质可得：，
，
∴，故①正确；
②如图，过作于F，
∵平分线，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴，
当时，，
在中，，
而，
，
在中，，
，
∴，故②错误；
③根据①，故点在的外接圆上，
当点到的距离最大时，面积有最大值，
此时点与重合，
∴面积的最大值为，故③正确，
故选：C．
【点睛】此题主要考查旋转的性质，同时也利用了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、三角函数及勾股定理，有一定的综合性，对于学生的能力要求比较高．
16．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，已知是矩形的对角线，以点为旋转中心将逆时针旋转90°，得到，三点恰好在同一条直线上，设与相交于点，连结．有以下结论：①；②；③是线段的黄金分割点；④，其中正确的是（ ）
A．①B．①③C．②④D．①③④
【答案】D
【分析】本题考查旋转的性质，相似三角形的判定和性质以及黄金分割点的性质，全等三角形的判定和性质等综合知识，由是绕点逆时针旋转得到的，得到再由矩形的性质得出， 从而判断①；由可得从而判断②；由及得出可判断③；在线段上作连接通过得出是等腰直角三角形，可以判断④，关键是根据已知比例式确定两个三角形相似．
【详解】解：∵是绕点逆时针旋转得到的，
∴，
∴，
又∵四边形是矩形，
∴，
∴，
即，
∴，
即，故①符合题意；
∵，
∴，
即是直角三角形， 而显然不是直角三角形，故②不符合题意；
在和中，
即
∴点是线段的黄金分割点，故③符合题意；
在线段上取并连接 如图，

在和中，
，
，

是等腰直角三角形，
，
，故④符合题意；
故选：D．
17．（2024·河南周口·一模）如图，平行四边形中，，，，是边上一点，且，是边上的一个动点，将线段绕点逆时针旋转，得到，连接、，则的最小值是（ ）.
A．4B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查旋转变换，轨迹，菱形的性质，勾股定理解直角三角形，全等三角形的判定和性质等知识．取的中点．连接，，，作交的延长线于．利用全等三角形的性质证明，点的运动轨迹是射线，由“”可证，可得，推出，求出即可解决问题．
【详解】解：如图，取的中点．连接，，，作交的延长线于，
，，
，
点是的中点，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，，
，
，
，
，
点的运动轨迹是射线，
，，，
，
，
，
在中，，，，
，，
在中，，
，
的最小值为，
故选：C．
18．（2024·北京·模拟预测）如图，在矩形中，，，点在线段上运动（含两点），连接，以点为中心，将线段逆时针旋转到，连接，则线段的最小值为（ ）
A．B．C．D．3
【答案】D
【分析】如图，以为边向右作等边，作射线交于点E，过点D作于H．利用全等三角形的性质证明，推出，推出点Q在射线上运动，求出，可得结论．
【详解】解：如图，以为边向右作等边，作射线交于点E，过点D作于H．
∵四边形是矩形，
∴，
∵都是等边三角形，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴点Q在与过点F且与垂直的射线上运动，
∵，
∴，
∵，，
∴点Q在射线上运动，
∵，
∴，
∵，
∴．
根据垂线段最短可知，当点Q与H重合时，的值最小，最小值为3．
故选D．
【点睛】本题考查矩形的性质，旋转变换，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，本题的突破点是证明点Q的在射线上运动．
19．（2024·湖南长沙·一模）如图，在中，，．点是边上的中点，连接，将绕点逆时针旋转，得到，延长交于点，连接，过点作，交于点．现有如下四个结论：①；②；③；④中正确的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】根据题意条件可证得，结合全等三角形的性质得到是等腰直角三角形，则，故①正确；过点A作，垂足为点H，通过条件证得，，再通过条件证得，结合对应边相等可得到，从而说明②③正确；通过边长的等量关系能推出，最后说明，故能说明④错误．
【详解】解：∵由题可知，，，
∴，，，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
在与中，
∵，
∴，
∴，，，
∴是等腰直角三角形，
即，故①正确；
如图，过点A作，垂足为点H，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∵点是边上的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，故②正确；
∴，故③正确；
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
则，故④错误；
故选C
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、旋转的性质、等腰直角三角形性质与判定，锐角三角函数的应用等知识，综合运用相关知识，采用数形结合的方法是解题关键．
20．（2024·江苏常州·二模）如图，在中，，，．将绕点A顺时针旋转得到，边上的一点P旋转后的对应点为Q，连接，，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查的是旋转的性质，勾股定理的应用，轴对称的性质，化为最简二次根式，作出适当的辅助线是解本题的关键．
如图，作关于直线的对称点，连接，过作于，由，当三点共线时，最小，再进一步利用勾股定理可得答案．
【详解】解：如图，作关于直线的对称点，连接，过作于，
∴，共线，，
由旋转可得：，，
∴，
当三点共线时，最小，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
∴；
∴的最小值是；
故选B
21．（2024·安徽淮南·二模）如图，在中，，，，点D是斜边上的动点，将线段绕点B旋转至，连接，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了解直角三角形、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，正确找出当的值最小时，点的位置是解题关键．
过点作于点，过点作于点，先确定出当点三点共线时，最小，再根据等边三角形的判定与性质、勾股定理可得，根据线段垂直平分线的性质可得，然后解直角三角形可得，从而可得，利用勾股定理可得，则，最后根据三角形的面积公式可得，由此即可得出答案．
【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点，
∵，
则当点三点共线时，，此时最小，
由旋转的性质得：，
∴是等边三角形，
∴点是的中点，，
∴，
又∵，点是的中点，，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
即的最小值为，
故选：C．
22．（2024·浙江绍兴·二模）如图，在中，，，点是的中点，将绕着点顺时针旋转至，连接，交于点，交于点，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质，全等三形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数的计算方法，掌握全等三角形的判定和性质，锐角三角函数的计算方法，合理构造三角形全等是解题的关键．
过点作于点，过点作于点，可证，可得，再证，可得，设，则，，，，
，在中，运用勾股定理可得，根据等面积法，可求出的值，在中，可求出的值，再根据正切值的计算方法即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作于点，过点作于点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵点是中点，
∴，
∴
∴，
∵，，
∴，且，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴设，则，，
∴，，
在中，，
∴，
在中，，
∵，
∴，
在中，，
∴．
故选：D ．
23．（2024·河南商丘·模拟预测）如图，的顶点B，C都在坐标轴上，已知，，，且轴，将绕点C顺时针旋转，每次旋转，第2025次旋转后，点A的对应点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查坐标与图形变化旋转、等腰三角形的性质及点的坐标变化规律，熟知图形的性质及根据所给旋转方式发现每旋转四次，点对应点的坐标循环出现是解题的关键．先求出点的坐标，再由旋转可知，每旋转四次，点对应点的坐标循环出现，据此可解决问题．
【详解】解：，，
，．
在中，
．
，且轴，
点的坐标为．
，
每旋转四次，点对应点的坐标循环出现．
余1，
点的坐标与点的坐标相同．
将绕点顺时针旋转，如图所示，
分别过点和点作轴的垂线，垂足分别为和，
由旋转可知，
，，
，
．
在和中，
，
，
，．
，，
，，
，
点的坐标为，
即点的坐标为．
故选：A
24．（2024·安徽宣城·模拟预测）如图，在中，，为边上的一点，当时，连接，将线段绕点按逆时针方向旋转，得到线段，连接，．若，则的面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】在上截取，连接，过B作交延长线于H，由旋转性质和等边三角形的判定与性质证明是等边三角形得到，，进而证明得到，则有，设，利用直角三角形的性质得到则，进而得到，然后利用二次函数的性质求解即可．
【详解】解：在上截取，连接，过B作交延长线于H，则，
由旋转性质得，，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，设，则，，
∵，，，
∴，，
∴，
∵，
∴当时，最大，最大值为，
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的性质，旋转的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角的判定与性质、直角三角形的性质、三角形的外角性质等知识，熟练掌握等边三角形的性质和二次函数的性质，添加合适的辅助线构造全等三角形，利用二次函数性质求解几何最值问题是解答的关键．
25．（2024·安徽池州·一模）如图，在等边三角形中，为边上的高，是直线上的一个动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．若，则在点的运动过程中，线段的长的最小值是（ ）
A．2B．C．D．
【答案】B
【分析】连接，因为是直线上的一个动点，所以将线段绕点逆时针旋转得到线段，在点M运动过程中，点N在线段上运动，再根据垂线段最短可得当时，最短，再证明，即可由等边三角形与直角三角形的性质求解．
【详解】解：如图，当点M在点D处时，线段绕点逆时针旋转得到线段，当点M在点C处时，线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，
∵是直线上的一个动点，
∴将线段绕点逆时针旋转得到线段，在点M运动过程中，点N在线段上运动，
根据垂线段最短可得，当时，最短，
由旋转可知：，，
连接，
∴是等边三角形，
∴，，
∵等边三角形中，为边上的高，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，垂线段最短的性质，点N在线段上运动是解题的关键，也是本题的难点．
26．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，在正方形中，，M为边上一动点，连接，将线段绕点M顺时针旋转得到线段，连接．当的长最小时，的长为（ ）

A．1B．C．D．
【答案】A
【分析】如图所示，将绕点M顺时针旋转得到，连接并延长交于G，连接，由正方形的性质可得，，由旋转的性质可得，证明得到，；证明，得到；如图所示，延长到T，使得，连接，则四边形是平行四边形，可得，，则点E在射线上运动，故当时，有最小值；如图所示，过点G作于K，求出，则，根据，得到，则，，解直角三角形得到，；再证明，得到，则，解直角三角形得到，，则；如图所示，过点M作于H，则，解直角三角形求出即可得到答案．
【详解】解：如图所示，将绕点M顺时针旋转得到，连接并延长交于G，连接，
由正方形的性质可得，，
∴，
由旋转的性质可得，
∴，
∴，
∴，；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
如图所示，延长到T，使得，连接，则四边形是平行四边形，
∴，，
∴点E在射线上运动，
∴当时，有最小值；
如图所示，过点G作于K，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
；
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
在中，，
∴；
如图所示，过点M作于H，
∴，
在中，
，
∴，
故选：A．

【点睛】本题主要考查了正方形的性质，解直角三角形，旋转的性质，平行四边形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，角平分线的性质等等，正确作出辅助线确定点E的运动轨迹是解题的关键．
三、几何平移综合
27．（2024·河南周口·二模）如图，在矩形中，，点为上一点，将沿折叠，点的对应点恰好落在对角线上，再将沿射线平移得到，当在区域内的线段的长度为时，平移的距离为 ．

【答案】或
【分析】根据矩形的性质及折叠的性质得到，，再根据相似三角形的判定与性质得到分两种情况即可解答．
【详解】解：∵在矩形中，，
∴在中，，
∵，
∴，
由折叠得：，，
∴，
设，则，，
∴在中，,
∴，
∴解得：，
∴，，
①如图1，当在区域内的线段的交点在的下方时，
过点作于点，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，
∵，
∴，，，，
∴，
∵由平移的性质得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴平移的距离；

②如图2，当在区域内的线段的交点与点重合时，过点作于点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴在中，，，
由平移的性质得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
综上，平移的距离为或，
故答案为或.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，折叠的性质，平移的性质，矩形的性质，一元一次方程与几何问题，掌握相似三角形的性质是解题的关键．
28．（2024·贵州贵阳·一模）如图，是边长为2的等边三角形，将沿直线翻折，得到，再将在直线上平移，得到．连接，则的周长的最小值是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了翻折，平移的性质，等边三角形的性质以及菱形的判定与性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．作关于点的对称点，交于点，连接，利用勾股定理求出即可得到答案．
【详解】解：作关于点的对称点，交于点，连接，
由题意可知，将沿直线翻折，得到，再将在直线上平移，得到，
的周长的最小值转化为周长的最小值，
当三点共线时，最小为的长，
均为等边三角形，
，
四边形是菱形，
，
，
，
在中，，
周长的最小值为，
故的周长的最小值为．
故答案为：．
29．（2024·江苏无锡·一模）如图，四边形是边长为4的菱形，，将沿着对角线平移到，在移动过程中，与交于点，连接、、．则下列结论：
①；
②当时，；
③当时，的长为；
④的面积最大值为．
其中正确的为（ ）
A．①③B．②③C．①②③D．①②④
【答案】D
【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质，解直角三角形，解一元二次方程．证明四边形是平行四边形，都是等边三角形，即可判断①；利用三角形内角和定理，通过计算即可判断②；设，证明，得到关于的一元二次方程，解方程即可判断③；设，利用，得到关于的二次函数，利用二次函数的性质即可判断④．
【详解】解：连接，
∵四边形是边长为4的菱形，，
∴和都是等边三角形，
∴，
由平移的性质得，四边形是平行四边形，
∴，，，，
∴都是等边三角形，
∴，
∴，①正确；
∵，
∴，
∴，
∵，即，
∴，②正确；
设，则，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
整理得，解得，
∴，③错误；
作于点，于点，
设，则，，
∴，，
∴等边、、的高都是，
∴，，
，
，
，，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为，
④正确．
综上，①②④正确，
故选：D．
30．（2024·江苏徐州·一模）如图，在平面内，线段，为线段上的动点，三角板的边所在的直线与线段垂直相交于点，且满足．若点沿方向从点运动到点，则点运动的路径长为（ ）
A．9B．6C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了平移的性质，根据三角板的边所在的直线与线段垂直相交于点，且满足，判断出三角板平移的角度，要求的路径长，只需要转化为求的路径长，而，主动点的运动路径即是线段，由此可求出从动点的路径长．
【详解】解： 三角板的边所在的直线与线段垂直相交于点，且满足，
，
，
当点沿方向从点运动到点，点的运动轨迹必须保证，因此三角板的运动轨迹如图所示，
要求点运动的路径，根据平移的性质，，
，
在中，
，又，
．
点运动的路径长为．
故选：D．
31．（2024·河北邯郸·三模）如图，在边长为1的菱形中，，将沿射线的方向平移得到，分别连接，，，则的最小值为（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】C
【分析】根据菱形的性质得到，，根据平移的性质得到，，推出四边形是平行四边形，得到，于是得到的最小值的最小值，根据平移的性质得到点在过点且平行于的定直线上，作点关于定直线的对称点，连接交定直线于，则的长度即为的最小值，求得，得到，于是得到结论
【详解】解：在边长为1的菱形中，，
，，
将沿射线的方向平移得到，
，，
四边形是菱形，
，，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
的最小值的最小值，
点在过点且平行于的定直线上，
作点关于定直线的对称点，连接交定直线于，
则的长度即为的最小值，
在中，
，，
，，
，
，
，
，
作，
过点D作垂足为G
在中，
．
故选：．
【点睛】本题考查了轴对称最短路线问题，菱形的性质，矩形的判定和性质，解直角三角形，平移的性质，求得的最小值的最小值是解题的关键．
四、动点轨迹的图像问题
32．（2024·湖南·模拟预测）如图，在矩形中，分别是上的点（点分别不与点重合），且，则的最小值为 ．
【答案】/
【分析】分别以为边作平行四边形，连接，过点E作交于点G，根据相似三角形的判定和性质求出为定值，证明，在中，利用勾股定理求出，再利用三角形三边关系求出的最小值为，即可求解．
【详解】解：分别以为边作平行四边形，连接，过点E作交于点G，
，
四边形是矩形，
，
矩形中，，
，
，
，，，
，
，
，
，即，
解得：，
四边形是平行四边形，
，
，
，
在中，由勾股定理得：
，
的最小值为，
的最小值为，
故答案为：．
【点睛】此题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形性质，矩形的判定与性质，勾股定理，三角形三边关系的应用，正确作出辅助线构造相似三角形，及平行四边形是解题的关键．
33．（2024·河南周口·模拟预测）把两个全等的等腰直角三角形透明纸片如图1放置（点与点重合），若将绕点在平面内旋转，分别交边于点（点均不与点重合）．设，在旋转过程中，与的函数关系图象如图2所示，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了三角形中的动点与函数图象，勾股定理和旋转根据题意若点与点重合，则， ，确定的值，判断选项；证明，判断选项和，由，，，则，，，从而判断，解题的关键是通过函数图象获取信息及熟练掌握知识点的应用．
【详解】由题意可知，若点与点重合，则， ，
∴，故选项中的结论不正确，
由可得，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，故选项中的结论不正确，选项中的结论正确，
∵，，，
∴，，，
∵，，
∴，故选项中的结论不正确，
故选：．
34．（2024·广东珠海·三模）如图1，E为矩形的边上一点，动点P，Q同时从点B出发，点P沿折线运动到点C时停止，点Q沿运动到点C时停止，它们运动的速度都是，设P，Q同时出发时，的面积为．已知y与t的函数关系如图2所示（曲线为抛物线的一部分），则下列结论错误的是（ ）
A． B．当时，的面积是
C．当时，D．当时，
【答案】C
【分析】本题考查动点的函数图象，从图象中有效的获取信息，是解题的关键；由函数图象得，当时，点到达点，点到达点，进而得到当时，点在上运动，，判断B，求出的长，勾股定理求出的长，判断A，过点作于点，证明，求出，判断C，求出时，的长，判断D即可．
【详解】解：由函数图象得，当时，点到达点，点到达点，
当时，点在上运动，，
当时，点到达点，故选项B正确；
∵，时，，
解得，
∴，故选项正确；
当时，点在线段上，则，
过点作于点，则：，
∴，
∴，
，
∴，
，故选项错误；
，
当时，点在线段上，此时，，
，故选项D正确．
故选：C．
35．（2024·黑龙江大庆·三模）如图①，在平行四边形中，，点从点出发，以的速度沿匀速运动，点从点出发，以的速度沿匀速运动，其中一点到终点时，另一点随之停止运动，图②是的面积（单位：）随时间（单位：）变化的函数图象，当的面积为时，运动时间为（ ）
A．B．或C．D．或
【答案】C
【分析】由题意和图可知，当时，点在上运动，而点继续在上运动，可求得，，由勾股定理得，然后分当时和当时两种情况求解即可．
【详解】解：由图、图可知，当时，点与点重合，当时，点在上运动，而点继续在上运动，
四边形是平行四边形，点、点的速度都是，
∴，，
∵，
∴，
由勾股定理得，，
当时，如图作，交的延长线于点，则，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
解得，，
∴，
令，
解得：；
当时，如图，作，交的延长线于点，
∵，
∴，
解得，，
∴，
令，
，
解得：，不合题意，舍去，
综上所述：．
故选：C．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，平行四边形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、二次函数的性质、一次函数的性质．数形结合并分类讨论求出与之间的函数关系式是解题的关键．
36．（2024·河南周口·模拟预测）如图1，在中，，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发沿线段运动，到点停止．同时动点以每秒4个单位长度的速度从点出发，沿折线运动，到点停止．图2是点、运动时，的面积随运动时间变化关系的图象，则的面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意和图2可推出，，得到，，当在上时，即，此时，过点作于点，再由平行四边形的性质和，可得到，从而推出，得到，可知当时，取最大值；当点Q在上时，即时，根据平行四边形的性质可推出，根据一次函数性质，可知当时，取最大值，综上当时，得到，即的面积的最大值．
【详解】解：根据题图2可知，当时，点停止运动
，
根据题意得，，
当在上时，即，此时
过点作于点，如图1，
四边形是平行四边形
又
在中，
当时，取最大值，最大值为
当点Q在上时，即时，如图2，
四边形是平行四边形
越小，越大
， 取最大值，最大值为
综上所述，， 取最大值，最大值为
的值为，即的面积的最大值为．
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、二次函数的性质、一次函数的性质、解直角三角形、二次函数的最值、一次函数的最值，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
37．（2024·河南·模拟预测）如图1，在 中，是 的平分线，． 点 从 点出发沿 的方向，以每秒1个单位长度匀速运动，到点 停止． 设 点的运动时间为，的面积为图2是 与 的函数关系图象，则下列说法不正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数图象与几何图形的综合，掌握一次函数图象的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，是解题的关键．先求出c的值，再证明，，求出，，，进而即可得到答案
【详解】由题可知当 运动到 时用时3秒，故 ，
，
，
∴
是 的平分线，.
，
∵，
∴.
，
.
，
，
，即 ，
解得 .
连接 ，过 作 .
则 . 解得 ，
，
∴，
故选：C.
38．（2024·河南驻马店·模拟预测）如图，在中，，，．动点P从点A出发，以的速度沿射线匀速运动，到点B停止运动，同时动点Q从点A出发，以的速度沿射线匀速运动．当点P停止运动时，点Q也随之停止运动．在的右侧以为边作菱形，点N在射线上．设点P的运动时间为，菱形与 的重叠部分的面积为，则能大致反映y与x之间函数关系的图象是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先证明菱形是边长为，一个角为的菱形，找到临界点，分情况讨论，即可求解．
【详解】解：作于点，作于点，
由题意得，，
，
，
是线段的垂直平分线，
，
，，
，，
当点运动到直线上时，
此时，是等边三角形，
，；
当点、运动到与点，重合时，
，；
当点运动到与点重合时，
，；
当时，，
当时，如图，作于点，交于点，
则，，，
，
当时，如图，作于点，
则，，
，
综上，与之间函数关系的图象分为三段，当时，是开口向上的一段抛物线，当时，是开口向下的一段抛物线，当时，是开口向上的一段抛物线，
只有选项A符合题意，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了动点问题的函数的图象，二次函数的图象性质，等边三角形的性质，菱形的性质，三角形的面积公式，解直角三角形，利用分类讨论的思想方法解答和熟练掌握抛物线的性质是解题的关键．
五、其他类综合（含全等与相似）
39．（2024·江苏宿迁·二模）如图，在矩形中，，，将矩形沿对角线剪开，得到与，将沿方向平移得到，连接、，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】由，可得，如图，连接，，由平移的性质可知，，，，可知在直线上运动，四边形是平行四边形，则，如图，作关于直线的对称点，连接交于，交于，连接，，，则，，，，由，可知当三点共线时，最小为， ，由，可知，即三点共线，则，，根据，求解作答即可．
【详解】解：∵，
∴，
如图，连接，，
由平移的性质可知，，，，
∴在直线上运动，四边形是平行四边形，
∴，
如图，作关于直线的对称点，连接交于，交于，连接，，，
∴，，，
∴，
∴，
∴当三点共线时，最小为，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴三点共线，
∴，
∴，
由勾股定理得，
∴最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正切，勾股定理，平移的性质，平行四边形的判定与性质，轴对称的性质等知识．熟练掌握正切，勾股定理，平移的性质，平行四边形的判定与性质，轴对称的性质是解题的关键．
40．（2024·浙江·模拟预测）如图，四边形中，，，E为的中点，F为上一点，且满足，则的长为 （ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】过点D作于点G，过点F作于点M，在上截取，连接，证明四边形是矩形，则，得到，则,证明，则，在中，设，则，得到，则，证明，则，得到，即可求出的长.
【详解】解：过点D作于点G，过点F作于点M，在上截取，连接，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴
∴，
∴，
∴
∵，
∴垂直平分，
∴，
∴，
在中，设，则，
∴，
∴，
∵点E为的中点，
∴，
∴，
∵
∴，
∵
∴，
∵，
∴，
∵
∴
∴，
∴
解得，
经检验，是分式方程的解且符合题意，
即的长为，
故选：D
【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、锐角三角函数、矩形的判定和性质、勾股定理、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，添加辅助线构造矩形和相似三角形是解题的关键.
41．（2024·浙江嘉兴·一模）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形与正方形，连接交于点，若为等腰三角形，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，设四个全等的直角三角形长直角边为，短直角边为，由为等腰三角形，可得，进而得到，再根据可得，即得，据此得到，最后代入计算即可求解，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】解：设四个全等的直角三角形长直角边为，短直角边为，
∵为等腰三角形，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∴，
故选：．
42．（2024·浙江温州·一模）已知中，，以，为边分别向外作两个正方形，正方形，，，分别交边，于点，，下列说法不正确的是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、正切的定义等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．
先根据正方形的性质证明可得，可判断A选项；再根据直角三角形的斜边比直角边长可得，从而判定B选项；然后再运用等量代换可得可判定C选项，根据同角的余角相等可得，然后根据正切的定义以及等量代换可判定D．
【详解】解：∵中，，以，为边分别向外作两个正方形，正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，即：，
在和中
，
∴，
∴，即选项A说法正确，不符合题意；
在中，，
∴，即选项B说法正确，不符合题意；
∵，，
∴，即选项C说法不正确，符合题意；
∵，
∴，
∴，即：，
∴即，
∴，即选项D说法正确，不符合题意．
故选：C．
43．（2024·安徽六安·二模）在中，，，，D在上，，B关于的对称点E，连接交于，则下列结论中错误的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，轴对称的性质，平行线的判定，锐角三角函数，属于综合题，先根据题意画出图形，利用勾股定理求出的长，进而得出的长从而判断选项；根据关于对称轴对称的两个三角形全等得出进而得出，，利用三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角的和得出，进而得出，再根据内错角相等两直线平行得出；利用，得出，从而得出；分别表示出，，从而判断选项错误，据此解答，解题的关键是根据题意画出图形．
【详解】解：根据题意作图，
，，，
，
，
，故A选项正确；
，
关于的对称点，
，
，，
，，
，
，故B选项正确；
，，
，
，
，故C选项正确；
，，
，
不一定成立，故D选项错误；
故选：D．
44．（2024·浙江·模拟预测）四个全等的直角三角形按如图方式围成正方形，过各直角顶点作正方形各边的平行线得到正方形．若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】此题考查了正方形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识．设得到，证明，利用相似三角形的性质得到，进一步得到，证明，则，得到，得到，进一步即可求出答案．
【详解】解：设则，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵四个全等的直角三角形按如图方式围成正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴,
∵，，
∴
∴，
∴
∴，
∴．
故选：D
45．（2024·重庆长寿·模拟预测）如图，正方形中，，点在的延长线上，且，连接，的平分线与相交于点，连接，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】如图，过作于，于，由平分，可得，推出四边形是正方形，，设，则，证明，则，可解得，得，最后根据勾股定理可得解．
【详解】解：如图，过作于，于，
∴，，
∵四边形是正方形，，，
∴，，
∴，，
∴四边形是矩形，，
∵平分，，，
∴，
∴四边形是正方形，
设，则，
∵，
∴，，
∴，
∴，即，
解得：，
∴，
∴，
∴的长为．
故选：C．
【点睛】本题考查正方形的判定与性质，矩形的判定，角平分线的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质．解题的关键通过作辅助线构造相似三角形和直角三角形．
46．（2024·四川泸州·模拟预测）如图，在边长为4的正方形中，E，F分别在边，，相交于点G，若，，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】延长交于点，由正方形的性质得出 由求出的长，再利用证得和全等，得出 ，再证 即可求出的长.
【详解】如图, 延长交于点,
∵四边形是正方形，
∴,
∵,
∴,
∵,
，
∴,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
在和中,
，
，
，
在中，由勾股定理得
，
，
，
，
，
，
，
，
故选： B.
【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握这些知识点是解题的关键.
47．（2024·辽宁·模拟预测）如图，菱形的边长为，，点在对角线上，点在边上，，点为中点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】关于的对称点，即连接，，，，连接交于，根据菱形的性质和轴对称的性质，可得，，再结合，可得点为中点，垂直平分，故，继而结合题意证明为等边三角形，且，，再利用勾股定理算出，再算出，根据，即可求出的最小值．
【详解】解：作关于的对称点，连接，，，连接交于点，连接交于，
∵关于的对称点为，
∴
∴
又∵四边形为菱形，
∴，
又∵为公共边
∴，
∴，
又∵，
∴点为中点，
又∵，
∴垂直平分，
∵点在对角线上
∴，
∵四边形为菱形，其边长为，，
∴，，，
∴为等边三角形，
又∵，
∴，
即，
∴，
又∵，
∴，
即
又∵，，
∴，
∴，
∵，
∴则的最小值为，
即的最小值为，
故选C．
【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，轴对称的性质，勾股定理解直角三角形，熟练掌握以上知识是解题的关键．
48．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在矩形 中，，．若E 是边上的一个动点，过点E 作，交对角线于点O，交直线 于点 F，在点 E 移动的过程中，的最小值为（ ）
A．8B．C．10D．
【答案】B
【分析】过点D作交于M，过点A作，使，连接，可得是平行四边形，则：，当N、E、C三点共线时，的值最小，即为的长度，求出的长度即可得解．
【详解】

过点D作交于M，过点A作，使，连接，
四边形是平行四边形，
，
∴
当N、E、C三点共线时，最小，
四边形是矩形，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
即：的最小值为；
故选：B．
【点睛】本题考查了利用轴对称求最短距离问题，勾股定理，矩形的性质，解直角三角形，平行四边形的判定和性质，熟练掌握知识点，准确作出辅助线是解题的关键．
49．（2024·辽宁·模拟预测）数学家欧几里得利用如图所示验证了勾股定理．以的三条边为边长向外作正方形，正方形，正方形，连接与相交于点D，若D为边中点且，则正方形的面积为（ ）
A．16B．C．4D．
【答案】A
【分析】本题考查勾股定理，直角三角形斜边上中线的性质，解直角三角形，设由已知及“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得，由勾股定理得. 从而 由“等边对等角”得过点作 于点，由勾股定理可以求出：由可以得到：从而可得：在中，由勾股定理可得：从而可得结论．
【详解】解：设
∵为边中点, 是的斜边，四边形是正方形,
，
，,
，
过点作于点，如图：
则在中，，
在中，
，
解得：，
，
，
，
，
整理，得，
，
在中，由勾股定理，得，
，
故选:A.
50．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，在正方形中，E为边的中点，以为斜边向外作等腰，连接，线段上有一点G，且，则的值为（ ）

A．2B．C．D．
【答案】A
【分析】过点F作交于点P，交于点M，连接，过点G作于点H，设正方形边长为，则，证明，四边形为矩形，得出，，求出，设，则，得出，求出，，即可得出答案．
【详解】解：过点F作交于点P，交于点M，连接，过点G作于点H，如图所示：

则，设正方形边长为，
则，
∵四边形为正方形，
∴，，
，，
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵E为的中点，
∴，
∵为等腰直角三角形，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，解直角三角形，平行线的性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握正方形的性质．
51．（2024·安徽·三模）如图，在正方形中 ，M 为的中点，以为一边作正方形， 连接交于G， 交于 H、连接． 则下列结论中：①；②；③；④，正确的是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
【答案】A
【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定等等，过点F作于Q，易证明，得到，再由M 为的中点，得到，则，证明，得到，则，据此可判断①； 证明，得到，则，，据此可判断②③；延长交于T，证明，得到，则； 再证明，得到，则，可得，据此可判断④．
【详解】解：如图所示，过点F作于Q，
∵四边形和四边形都是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵M 为的中点，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，故①正确；
∵，
∴，
∴，
∴，，故③正确；
∴，故②正确；
如图所示，延长交于T，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，故④错误；
故选：A．
52．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，在矩形中，，点分别在线段和线段的延长线上．若，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了相似三角形判定和性质，矩形的性质，添加恰当辅助线构造相似三角形是本题的关键．如图，在上截取，在上截取，且，可得，，，，，通过证明，可得，可求的长，再求解即可．
【详解】解：如图，在上截取，在上截取，且，
，，，，，
，，
，且，，
，，
，
，
，
，
，
故选：B
53．（2024·江苏泰州·模拟预测）如图所示，在矩形中，F是上一点，平分交于点E，且，垂足为点M，，，则的长是（ ）
A．B．C．1D．
【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定以及相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识点，解题的关键在于利用三角形相似构造方程求得对应边的长度．
根据已知证，利用勾股定理求出的长，再证明，得出，然后证明，得出对应边成比例，建立关于a、x的方程，求解即可．
【详解】解：∵平分交于点E，且，
，
∴，
又∵，
∴，
设，
在和中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，
故选：D．
54．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，在中，，，为上一点，为上一点，若，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了相似的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．过点C作交的延长线于点，过点C作于点，证明推出，，得到和，据此求解即可．
【详解】解：如图，过点C作交的延长线于点，过点C作于点，
．
，，
，
，．
，
，
．
设，
，，
，．
，
，
．
，
，
，
．
故选：B．
55．（2024·安徽合肥·三模）如图，矩形中，平分，过点作，连接并延长交于点，交于点．则下列结论：①；②；③若，，则；④若，则．其中正确的是（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】B
【分析】由矩形的性质及角平分线定义得，由勾股定理得，，由相似三角形判定方法得，由相似三角形的性质得，设，由即可求解，可判断①；由相似三角形判定方法得，由相似三角形的性质得，即可判断②；延长交于，由相似三角形判定方法得，由相似三角形的性质得，，二者结合运算即可判断③；由相似三角形的性质得，故有，可求 ，由等腰三角形的判定及性质得 ，， 即可判断④．
【详解】解：①四边形是矩形，
，
平分，
，
，
，
，
，，
，
，
，
设，则有
，
；
故①正确；
②四边形是矩形，
，
，
，
，
即：，
，
，
，
，
，
故②正确；
③如图，延长交于，
由①②得：
，
，
，
即：，
，
，
，
，，
，
由①得：，
，
，
解得：，
，
，
解得：，
四边形是矩形，
，
故③错误；
④由上过程得：，
，
，
，
由③得：，
，
，
解得：，
，
，
，
解得：，
，
同理可证：，
，
，
故④正确；
故选：B．
【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质，勾股定理，相似三角形的判定及性质等，能熟练利用以上判定方法及性质是解题的关键．