2025版高考热点题型与考点专练数学中档大题练6试题（Word版附答案）

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1.已知数列an的前n项和是Sn,且Sn=2an-2,等差数列bn中,b1=20,b3=16.
(1)求数列an和bn的通项公式;
【解析】(1)对于数列an的前n项和是Sn,且Sn=2an-2,
当n=1时,可得S1=2a1-2,解得a1=2,
当n≥2时,可得Sn-1=2an-1-2,两式相减得an=2an-1,即anan-1=2,
所以数列an是首项为2,公比也为2的等比数列,
所以数列an的通项公式an=2n
设等差数列bn的公差为d,则b3-b1=16-20=-4=2d,解得d=-2,
所以数列bn的通项公式bn=22-2n,
(2)定义:a*b=a,a≤bb,a >b.记cn=an*bn,求数列cn的前10项的和T10.
【解析】(2)由(1)知:cn=an*bn=2n,1≤n≤322-2n,n≥4,
所以T10=a1+a2+a3+b4+b5+b6+…+b10
=a11-q31-q+7b4+b102=21-231-2+714+22=24-2+56=70.
2.健身运动可以提高心肺功能,增强肌肉力量,改善体态和姿势,降低患病风险.这些好处吸引着人们利用空闲的时间投入到健身运动中,以改善自己的身体状况,增强一下体质.某兴趣小组为了解本市不同年龄段的市民每周锻炼时长情况,随机抽取200人进行调查,得到如下列联表:
(1)试根据小概率值α=0.05的χ2独立性检验,分析周平均锻炼时长是否与年龄有关(χ2精确到0.001);
【解析】(1)零假设H0:周平均锻炼时长与年龄无关联.
由2×2列联表中的数据,
可得χ2=200(40×75-25×60)2100×100×65×135≈5.128,
所以χ2≈5.128>x0.05=3.841.
根据小概率值α=0.05的独立性检验,我们推断H0不成立,
即认为周平均锻炼时长与年龄有关联,此推断犯错误的概率不大于0.05.
由2×2列联表中的数据计算,50岁以下周平均锻炼时长少于4小时和不少于4小时的频率分别为40100=0.4和60100=0.6,
由2×2列联表中的数据计算,50岁以上(含50)周平均锻炼时长少于4小时和不少于4小时的频率分别为25100=0.25和75100=0.75,
因为0.75-0.6=0.15,所以50岁以上(含50)周平均锻炼时长不少于4小时的比率比50岁以下多15%,
所以50岁以下和50岁以上(含50)周平均锻炼时长有差异.
(2)现从50岁以下的样本中按周平均锻炼时间是否少于4小时,用分层随机抽样法抽取10人做进一步访谈,再从这10人中随机抽取5人填写调查问卷.记抽取5人中周平均锻炼时间不少于4小时的人数为X,求随机变量X的分布列和数学期望.
参考公式及数据:
χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中n=a+b+c+d.
【解析】(2)抽取的10人中,周平均锻炼时长少于4小时的有10×40100=4(人),
不少于4小时的有10×60100=6(人),
所以X所有可能的取值为1,2,3,4,5,
所以P(X=1)=C61C44C105=142,
P(X=2)=C62C43C105=521,
P(X=3)=C63C42C105=1021,
P(X=4)=C64C41C105=521,
P(X=5)=C65C40C105=142,
所以随机变量X的分布列为:
随机变量X的数学期望E(X)=1×142+2×521+3×1021+4×521+5×142=3.
3.已知椭圆C:x26+y22=1的左、右焦点分别是F1,F2,双曲线E的顶点恰好是F1,F2,且一条渐近线是y=x.
(1)求双曲线E的方程:
【解析】(1)由椭圆C:x26+y22=1得两个焦点分别是F1(-2,0),F2(2,0),
因为双曲线E的顶点恰好是F1,F2,设双曲线E的方程为x2a2-y2b2=1,
所以a=2,
又由一条渐近线是y=x,可得ba=1,所以b=2,
即双曲线E的方程为x24-y24=1.
(2)若过双曲线E上任意一点H(异于顶点),作直线HF1交椭圆C于点A,B,作直线HF2交椭圆C于点P,Q,求|AB|+4|PQ|的最小值.
【解析】(2)设直线HF1的方程为y=k1(x+2),与椭圆C:x26+y22=1联立得(1+3k12)x2+12k12x+12k12-6=0,
可设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-12k121+3k12,x1x2=12k12-61+3k12,
则|AB|=1+k12|x1-x2|=1+k12·(-12k121+3k12) 2-412k12-61+3k12=26(1+k12)1+3k12.
同理可设直线HF2的方程为:y=k2(x-2),与椭圆C:x26+y22=1联立得:(1+3k22)x2-12k22x+12k22-6=0,
可设P(x3,y3),Q(x4,y4),
则x3+x4=12k221+3k22,x3x4=12k22-61+3k22,
则|PQ|=1+k22|x3-x4|
=1+k22(12k221+3k22) 2-412k22-61+3k22
=26(1+k22)1+3k22.
再由直线HF1的方程y=k1(x+2)与直线HF2的方程y=k2(x-2)联立解得:x=2k2+2k1k2-k1,
y=4k2k1k2-k1,
由于这两直线交点就是点H,则把点H的坐标代入双曲线E的方程得: (2k2+2k1k2-k1)2-(4k2k1k2-k1)2=4,
化简得k2k1(k2k1-1)=0,点H(异于顶点),
所以k2k1≠0,即k1k2=1,
则|AB|+4|PQ|=26(1+k12)1+3k12+4×26(1+k22)1+3k22=26(1+k121+3k12+4×1+1k121+3k12)=26(1+k121+3k12+4×k12+1k12+3)
=26(1+k121+3k12+4×k12+1k12+3)·(1+3k121+k12+k12+3k12+1)×14=62(1+4+3+k121+3k12+43k12+1k12+3)≥
62(5+23+k121+3k12·4×3k12+1k12+3)=62×9=962,
当且仅当3+k121+3k12=4×3k12+1k12+3,即k12=15时,|AB|+4|PQ|有最小值为962.
4.已知函数f(x)=aex-ln (x+2)+ln a-2.
(1)若函数f(x)在x=2 023处取得极值,求a的值及函数的单调区间;
【解析】(1)函数f(x)=aex-ln (x+2)+ln a-2定义域为x∈(-2,+∞),f'(x)=aex-1x+2,f(x)在x=2 023处取得极值,则f'(2 023)=ae2 023-12 025=0,
所以a=12 025e2 023,此时f'(x)=12 025e2 023ex-1x+2,
令g(x)=f'(x)=12 025e2 023ex-1x+2,x∈(-2,+∞),
则g'(x)=12 025e2 023ex+1(x+2)2>0,
所以g(x)在(-2,+∞)上单调递增,所以f'(x)在(-2,+∞)上单调递增,且f'(2 023)=0,
所以当x∈(-2,2 023)时,f'(x)0恒成立,
所以h(x)=ex+x在(-2,+∞)上单调递增,
所以x+ln a=ln (x+2),
所以只需ln a=ln (x+2)-x在(-2,+∞)上有两个根,
令φ(x)=ln (x+2)-x,x∈(-2,+∞),
则φ'(x)=1x+2-1=-x+1x+2,
当x∈(-2,-1)时,φ'(x)>0,
当x∈(-1,+∞)时,φ'(x)