广东省茂名市化州市2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷（解析版）

这是一份广东省茂名市化州市2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷（解析版），共63页。
1、答卷前，考生务必填写答题卷上的有关项目．
2、选择题每小题选出答案后，把答案填在答题卷相应的位置上．
3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4、考生必须保持答题卷的整洁.考试结束后，将答题卷交回．
一、单项选择题：本大题共8个小题，每个小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为,所以或，
所以,
故选：A.
2. “”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】时，一定有，满足充分性，
但时，如，不满足，即不满足必要性，
“”是“”的为充分不必要条件．
故选：A．
3. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】对选项A，取，满足，不满足，故A错误.
对选项B，取，满足，不满足，故B错误.
对选项C，因为，所以，即，故C正确.
对选项D，取，满足，不满足，故D错误.
故选：C
4. 若，且，则的最小值为（ ）
A. 20B. 12C. 16D. 25
【答案】D
【解析】因为，所以，
所以
，当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为.
故选：D.
5. 函数的图象是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】，对比选项可知，只有C符合题意.
故选：C.
6. 已知命题p：“，”为假命题，则实数a的取值范围为（ ）.
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】命题为假命题，所以为真命题，则，解得
故选：D
7. 若函数和都是奇函数，且在区间上有最大值5，则在区间（ ）
A. 有最小值B. 有最大值
C. 有最小值D. 有最大值
【答案】C
【解析】令，因为函数和都是奇函数，则函数也是奇函数，且，因为在区间上有最大值5，所以在区间上有最大值，所以在区间有最小值，所以在区间有最小值.
故选：C
8. 若函数在定义域上的值域为，则称为“函数”．已知函数是“函数”，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由题意可知的定义域为，
又因为函数是“函数”，故其值域为；
而，则值域为；
当时，，
当时，，此时函数在上单调递增，则，故由函数是“函数”可得，解得，即实数的取值范围是.
故选：C
二、多项选择题：本大题共3个小题，每个小题6分，共18分.每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，选齐全对的得6分，漏选答案得相应分，错选和不选得0分．
9. 已知集合，若，则的值可能是（ ）
A. -4B. -2C. 0D. 2
【答案】BC
【解析】因为，所以或，解得或，
则或.
故选：BC
10. 已知关于的不等式.的解集为.则（ ）
A.
B. 不等式的解集是
C.
D. 不等式的解集为或
【答案】AC
【解析】因为不等式.的解集为，
所以为方程的两根，且，所以，，所以，，，因为，所以A正确；
因为，，，所以不等式可化为，B错误；
因为，，，所以，C正确；
因为，，，所以不等式可化为，解得，
所以D错误；
故选：AC.
11. 已知定义在R上的函数满足，当时，，，则（ ）
A. B. 为奇函数
C. 在R上单调递减D. 当时，
【答案】ABD
【解析】A选项，中，令得
得，令得，令得，即，A正确；
B选项，中，令得，解得，中，令得，
故为奇函数，B正确；
C选项，中，令，且，
故，即，
当时，，故，
即，故R上单调递增，C错误；
D选项， 由A知，，又，故，
又在R上单调递增，所以，D正确.
故选：ABD
三、填空题：本大题共3个小题，每个小题5分，共15分．
12. 函数的定义域是__________.
【答案】
【解析】由题意可得,解得且.
故答案为: .
13. 已知幂函数的图象关于轴对称，则实数的值是______．
【答案】2
【解析】由为幂函数，则，解得，或，
当时，，其图象关于轴对称，
当时，，其图象关于对称，因此，
故答案为：2.
14. 设函数的定义域为，如果存在正实数，使对任意的，都有，且恒成立，则称函数为上的“型增函数”．已知是定义在上的奇函数，且当时，，若为上的“型增函数”，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】由已知是定义在上奇函数，
当时，，
当时，，
则，
由为上的“型增函数”，则，
当时，即，即，
根据绝对值的几何意义可知，解得；
当时，，可知时恒成立，时，可得，即；
当时，
①，即时，，即 ，化简可得，
即，即；
②，即时，，可知时恒成立，时，可得，即；
③，即时，，即 ，即，
可知时恒成立，
时，，即，
解得，即；
综上所述若使即时恒成立，则，
故答案为：.
四、解答题：本大题共5个小题，满分共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 已知命题，使为假命题．
（1）求实数的取值集合B；
（2）设为非空集合，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
解：（1）因为命题，使为假命题，
所以关于的方程无解，
当时，有解，故时不成立，
当时，，解得，
所以
（2）因为为非空集合，所以，即，
因为是的充分不必要条件，所以且，所以，即，
综上：实数的取值范围为.
16. 函数是上的奇函数，且当时，函数的解析式为.
（1）求的值；
（2）用定义证明在上是减函数；
（3）当时，求函数的解析式.
（1）解：因为时，函数的式为，所以，
因为为上的奇函数，所以；
（2）证明：设，则，所以，
因时，，
则，
所以，所以在上是减函数；
（3）解：当时，，
则，所以.
17. 已知函数.
（1）若，使得，求的取值范围；
（2）若，都有恒成立，求的取值范围；
（3）当时，，满足，求的取值范围.
解：（1）若，使得成立，只需，解得；
（2）若对，都有恒成立，
则，解得，又，
故的取值范围为.
（3）当时，，
若对，满足，
只需，有，
当时，，故，有，
则有，解得或，
综上所述，的取值范围为.
18. 新能源汽车是低碳生活的必然选择和汽车产业的发展趋势.某汽车企业为了响应国家号召，年积极引进新能源汽车生产设备，通过分析，全年需要投入固定成本万元.每生产（百辆）新能源汽车，需另投入成本万元，且，由市场调研知，每百辆车售价万元，且生产的车辆当年能全部销售完．
（1）求出年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；（利润销售量售价成本）
（2）年产量为多少百辆时，企业所获利润最大?并求出最大利润．
解：（1）年产量（百辆）时销售收入为万元，
总成本为，
所以
，单位：万元.
（2）由（1）当时，，
当（百辆）时，取最大值，即（万元），
当时，，
当且仅当时，即当（百辆）时，等号成立，
因为，所以年产量百辆时利润最大，最大利润为万元．
19. 已知函数的定义域为D，若对任意（，），都有，则称为的一个“n倍区间”．
（1）判断是否是函数的一个“倍区间”，并说明理由；
（2）若是函数的“2倍区间”，求m的取值范围；
（3）已知函数满足对任意，且，都有，且，证明：（）是的一个“3倍区间”．
解：（1）由题意可得，当时，，此时倍区间为，
但，所以不是函数的一个“倍区间”，
（2）由题意可得当时，，
因为，
所以，即，
所以m的取值范围为，
（3）当时，由，得，
当时，由，得，
所以在为单调递增函数，所以在上的值域为，
当时，，得，
即，
当时，，得，
即，
设，则当时，，当时，，
所以在上单调递减，
因为，所以，即，
得，
所以，所以（）是的一个“3倍区间”.