广东省茂名市电白区2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷（解析版）

这是一份广东省茂名市电白区2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷（解析版），共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．
1. 如图，直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意可知：直线的倾斜角为的补角，即为.
故选：C.
2. 经过点和的直线的倾斜角为，则（ ）
A. 3.5B. 8C. -2D. 2
【答案】D
【解析】依题意，直线的斜率为，
解得.
故选：D.
3. 已知向量，，，则（ ）
A. 12B. -12C. 9D. -9
【答案】A
【解析】由题意，，
则
故选：A.
4. 已知，，三点，则的边上的高线所在直线的斜率是（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】B
【解析】∵，∴.
故选：B.
5. 袋子中有个大小质地完全相同的球，其中个红球、个黄球，从中有放回地依次随机摸出个球，那么这个球同色的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设个红球为，个黄球为，
从中有放回地依次随机摸出个球，样本空间为：
，则，
事件“这2个球同色”，
则，则，
由古典概率公式，可得.
故选：D.
6. 在平行六面体中，，，，是与的交点，以为空间的一个基底，则直线的一个方向向量为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
故选：A.
7. 在长方体中，，，，在上．以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系．若平面的一个法向量为，则（ ）

A. B. C. D. 1
【答案】B
【解析】设，则，，
因平面的一个法向量为，则，即，解得，
故，故=．
故选：B.
8. 将一颗骰子先后郑两次，甲表示事件“第一次向上点数为1”，乙表示事件“第二次向上点数为2”，丙表示事件“两次向上点数之和为8”，丁表示事件“两次向上点数之和为7”，则（ ）
A. 甲与丙相互独立B. 甲与丁相互独立
C. 乙与丙相互独立D. 丙与丁相互独立
【答案】B
【解析】由题意知，，
，
，
由于，
所以甲与丁相互独立．
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．
9. 若是空间的一个基底，则下列说法正确的是（ ）
A. ，，不可能共面
B. 若，，则
C. 对空间任一向量，总存在有序实数组，使
D. ，，一定能构成空间的一个基底
【答案】ACD
【解析】对于A，由空间的基底定义，可知，，不可能共面，故A正确；

对于B，如图是底面为等边三角形的直三棱柱，若
则显然有，，但，不满足，故B错误；
对于C，由空间向量基本定理，可知C正确；
对于D，假设，，共面，
则存在，使，则有，
显然方程组无解，即，，不共面，
故，，一定能构成空间的一个基底，D正确.
故选：ACD.
10. 设样本空间含有等可能的样本点，且，，．则下列结论正确的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】由题意得，
则，，
所以，，，
，
故选：ABD.
11. 已知空间中三个点A(0，0，0)，B(2，1，0)，C(﹣1，2，1)，则下列说法正确的是（ ）
A. 与是共线向量
B. 与同向单位向量是
C. 在方向上的投影向量是
D. 平面ABC的一个法向量是
【答案】BCD
【解析】由题意得，，
A：若与共线，设，则，方程无解，故不共线，A错误；
B：与同向的单位向量是，B正确；
C：在方向上的投影向量是，C正确；
D：设平面ABC的一个法向量是，则，令，
则，D正确．
故选：BCD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知直线经过点和，且方向向量，则值为_________．
【答案】2
【解析】，∴.
13. 设事件与相互独立，，，则______，______．
【答案】 0.36 0.94
【解析】因为事件A与B相互独立，所以，
又.
14. 如图，两条异面直线，所成的角为，在直线，上分别取点，和，，使，且．已知，，，则公垂线段的长为_________．
【答案】或
【解析】由已知，
得或，
设，因为，而,
则
，
当时，可得，
解得：；
当时，可得，
解得.
综上可知，即公垂线段的长为或.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知：，，，，，求：
（1），，；
（2）
解：（1）因为，所以设，即，
故，解得，，
，∴，解得，
；
（2），
.
16. 如图，在正四棱柱中，，．点，，，分别在棱，，，上，，，．

（1）证明：；
（2）点在线段上，当时，求平面与平面的夹角的余弦值．
（1）证明：以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图，

则，
，
，
，
又不在同一条直线上，.
（2）解：由已知得，
则，
设平面的法向量，
则，令，得，
，
设平面的法向量，
则，令，得，
，，
所以平面与平面的夹角的余弦值为．
17. 2023年11月，首届全国学生（青年）运动会在广西举行.10月31日，学青会火炬传递在桂林举行，广西师范大学有5名教师参与了此次传递，其中男教师2名，女教师3名．现需要从这5名教师中任选2名教师去参加活动．
（1）写出试验“从这5名教师中任选2名教师”的样本空间；
（2）求选出的2名教师中至少有1名女教师的概率．
解：（1）将2位男教师记为，3位女教师记为，
则样本空间，共有10个样本点．
（2）设事件表示“选出的2名教师中至少有1名女教师”，
则，
中包含9个样本点，故．
18. 正方体的棱长为2，为棱上一点．
（1）求证：；
（2）若为中点，求点到平面的距离；
（3）在棱上是否存在点，使得平面，若存在，指出点的位置，若不存在，说明理由．
（1）证明：以为原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
因为正方体的棱长为2，
所以，，，
又为棱上一点，设，则，
所以，，
所以，所以，即.
（2）解：由（1）建系可知，，，，
因为为中点，所以，
所以，，，
设面的法向量为，
则即，化简为，
令，则.所以，
所以点到平面的距离.
（3）解：棱上不存在点，使得平面，理由如下：
由（1）建系可知，，，，，
因为为棱上一点，设，则
所以，，，
设面的法向量为，
则即，
令，则.所以，
若平面，则，
所以，解得，故在棱上不存在点，使得平面.
19. 为普及抗疫知识、弘扬抗疫精神，某学校组织防疫知识挑战赛．每位选手挑战时，主持人用电脑出题的方式，从题库中随机出道题，编号为，，，电脑依次出题，选手按规则作答，挑战规则如下：
①选手每答对一道题目得分，每答错一道题目扣分；
②选手若答对第题，则继续作答第题；选手若答错第题，则失去第题的答题机会，从第题开始继续答题；直到道题目出完，挑战结束；
③选手初始分为分，若挑战结束后，累计得分不低于分，则选手挑战成功，否则挑战失败．选手甲即将参与挑战，已知选手甲答对题库中任何一题的概率均为，各次作答结果相互独立，且他不会主动放弃任何一次作答机会，求：
（1）挑战结束时，选手甲共答对道题的概率；
（2）挑战结束时，选手甲恰好作答了道题的概率；
（3）选手甲闯关成功的概率．
解：设为选手答对题，其中.
（1）设挑战结束后，选手甲共答对道题为事件，
选手甲共答对道即选手甲前题答对且第题答错，所以，
所以，由事件独立性的定义得
.
（2）设挑战结束时，选手甲恰好作答了道题为事件，
选手甲恰好作答了道题即选手甲第题答错或第一题答对且第题答错
所以，
由概率的加法公式和事件独立性的定义得
.
（3）设选手甲挑战成功为事件，
若选手甲挑战成功，则选手甲共作答了道题，且选手甲只可能作答题或道题
所以“选手甲闯关成功”是“选手甲恰好作答了道题”的对立事件，
所以，
根据对立事件的性质得.