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2023-2024学年广东省茂名市化州市高一（上）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2023-2024学年广东省茂名市化州市高一（上）期末数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.设全集U=R，集合A={x|−1A. {x|−12.下列函数中，在(0,+∞)上为减函数的是( )
A. y= xB. y=−1xC. y=lg2xD. y=(12)x+1
3.tan(150°)(−cs420°)sin(−1050∘)的值为( )
A. 12B. −12C. 33D. − 33
4.函数y=lg|x|x3的图象大致是( )
A. B. C. D.
5.若f(x)=2x，且a=(12)13，b=(13)−15，c=lg512，则( )
A. f(a)C. f(c)6.已知角α的终边经过点P(3,4)，则cs(2α+π4)=( )
A. −31 250B. 31 250C. −17 250D. 17 250
7.设a>1，若对于任意的x∈[a,2a]，都有y∈[a,a2]满足方程lgax+lgay=3，这时a的取值集合为( )
A. {a|18.已知函数f(x)=|lg3x|,03，若方程f(x)=m有四个不同的实根x1，x2，x3，x4，满足x1A. (0,3)B. (0,4]C. (3,4]D. (1,3)
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题是真命题的是( )
A. lg(lg10)=0B. elnπ=π
C. 若e=lnx，则x=e2D. ln(lg1)=0
10.下列说法中正确的有( )
A. 命题p：∃x0∈R,x02+2x0+2<0，则命题p的否定是∀x∈R，x2+2x+2≥0
B. “|x|>|y|”是“x>y”的必要条件
C. 若命题“∀x∈(2,3)，3x−a<0”是真命题，则a的取值范围为a≥9
D. “m<0”是“关于x的方程x2−2x+m=0有一正一负根”的充要条件
11.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)，其图象相邻两条对称轴之间的距离为π4，将函数y=f(x)的图象向左平移3π16个单位后，得到的图象关于y轴对称，那么函数y=f(x)的图象( )
A. 关于点(−π16,0)对称B. 关于点(π16,0)对称
C. 关于直线x=−π16对称D. 关于直线x=−π4对称
12.存在实数a使得函数f(x)=2x+2−x−ma2+a−3有唯一零点，则实数m可以取值为( )
A. −12B. 14C. 12D. 1
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.函数f(x)= 4−x2+11−x的定义域是 ．
14.已知sin(α+π2)=35，且α为第四象限角，则cs(α+π4)= ______．
15.已知函数f(x)=x2,x≥02x,x<0，则f(lg913)=______．
16.偶函数f(x)满足f(x−1)=f(x+1)，且当x∈[0,1]时，f(x)=x，则f(43)= (1) ，则若在区间[−1,3]内，函数g(x)=f(x)−kx−k有4个零点，则实数k的取值范围是 (2) ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知函数f(x)=ax−1(a>0，且a≠1)．
(1)若函数f(x)的图象过点(3,4)，求实数a的值；
(2)求关于x的不等式f(x)>a3的解集．
18.(本小题12分)
已知函数f(x)=sinωx，ω>0．
(1)f(x)的周期是4π，求ω，并求f(x)=12的解集；
(2)已知ω=1，g(x)=f2(x)+ 3f(−x)f(π2−x)，x∈[0,π4]，求g(x)的值域．
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=x2+2ax−1．
(1)若f(1)=2，求实数a的值，并求此时函数f(x)的最小值；
(2)若f(x)为偶函数，求实数a的值；
(3)若f(x)在(−∞,4]上是减函数，求实数a的取值范围．
20.(本小题12分)
我国所需的高端芯片很大程度依赖于国外进口，“缺芯之痛”关乎产业安全、国家经济安全．如今，我国科技企业正在芯片自主研发之路中不断崛起．根据市场调查某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万部还需另投入16万美元．设该公司一年内共生产该款手机x万部并全部销售完，每万部的销售收入为R(x)万美元，且R(x)=400−kx,040.当该公司一年内共生产该款手机2万部并全部销售完时，年利润为704万美元．
(1)写出年利润W(万美元)关于年产量x(万部)的函数解析式；
(2)当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．
21.(本小题12分)
已知函数f(x)=sinx(csx− 32sinx)+ 32cs2x，x∈R．
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)若f(x)−m≥2在[−π4,π3]上恒成立，求实数m的取值范围．
22.(本小题12分)
已知f(x)=b−3x3x−1+t是定义在R上的奇函数．
(1)求f(x)的解析式；
(2)已知0答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵全集U=R，集合A={x|−1B={x|x(x−2)<0}={x|0∴A∩B={x|−1故选：C．
求出集合A，B，由此能求出A∩B．
本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力等核心素养，是基础题．
2.【答案】D
【解析】【分析】
根据常见函数的单调性分别判断即可．
本题考查了常见函数的单调性问题，熟练掌握常见函数的性质是解题的关键，本题是一道基础题．
【解答】
解：对于A，函数在(0,+∞)上递增，不合题意；
对于B，函数在(0,+∞)上递增，不合题意；
对于C，函数在(0,+∞)上递增，不合题意；
对于D，函数在R递减，符合题意；
故选：D．
3.【答案】C
【解析】解：tan(150°)(−cs420°)sin(−1050∘)=−tan30⋅(−cs60°)sin30∘=− 33×(−12)12= 33，
故选：C．
由题意利用诱导公式化简所给的式子，计算可得结果．
本题主要考查利用诱导公式花简所给的式子，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查函数的图象及奇偶性，属于基础题．
判断函数的奇偶性，利用特殊值判断函数的值即可．
【解答】
解： 因为函数y=lg|x|x3是奇函数，所以选项A，B不正确；
当x=e时，y=1e3>0，图象的对应点在第一象限，
所以D正确，C错误．
故选D．
5.【答案】C
【解析】解：∵0<(12)13<(12)0=1，∴0∵(13)−15>(13)0=1，∴b>1，
∵lg512∴c又∵f(x)=2x在R上单调递增，
∴f(c)故选：C．
利用指数函数和对数函数的单调性求解．
本题主要考查了指数函数和对数函数的性质，属于基础题．
6.【答案】A
【解析】解：角α的终边经过点P(3,4)，
故|OP|= 32+42=5，
由三角函数的定义知csα=35，sinα=45，可得cs2α=2cs2α−1=−725，sin2α=2sinαcsα=2425，
故cs(2α+π4)=cs2αcsπ4−sin2αsinπ4=(−725)× 22−2425× 22=−31 250．
故选：A．
角α的终边经过点P(3,4)，由三角函数的定义求出角α正弦与余弦，进而利用二倍角公式，两角和的余弦公式即可求解．
本题考查三角函数的定义，知道终边上一点的坐标利用三角函数的定义求三角函数值是考查三角函数的定义的主要方式，属于基础题．
7.【答案】B
【解析】【分析】
先由方程lgax+lgay=3解出y，转化为函数的值域问题求解．
本题考查对数式的运算、反比例函数的值域、集合的关系等问题，难度不大．注意函数和方程思想的应用．
【解答】
解：由lgax+lgay=3，可得lga(xy)=3，
得y=a3x，在[a,2a]上单调递减，
所以y∈[a22,a2]，
故a22≥a，即a≥2，
故选：B．
8.【答案】A
【解析】解：作出函数f(x)的图象如图：
根据条件，结合图形可知0则(x3−3)(x4−3)x1x2=(x3−3)(10−x3−3)=(x3−3)(7−x3)=−(x3−5)2+4，其中其中3因为−(x3−5)2+4在(3,4)上单调递增，故(x3−3)(x4−3)x1x2∈(0,3)，
故选：A．
】将问题进行转化，借助函数的图象，确定x1，x2，x3，x4之间关系，来解决问题．
本题考查分段函数的图象与性质，考查函数零点个数与方程根之间关系，数形结合思想，属于中档题目．
9.【答案】AB
【解析】【分析】
直接利用对数的运算性质，判断命题的真假即可．
本题考查对数的运算法则的应用，命题的真假的判断，是基础题．
【解答】
解：lg(lg10)=lg1=0，所以A正确；
elnπ=π，满足对数的运算法则，所以B正确；
若e=lnx，则x=ee，所以C不正确；
ln(lg1)=ln0，0没有对数，所以D不正确；
故选：AB．
10.【答案】ACD
【解析】解：对于A，命题p：∃x0∈R,x02+2x0+2<0，则命题p的否定是∀x∈R，x2+2x+2≥0，故A正确；
对于B，|x|>|y|不能推出x>y，例如|−2|>|1|，但−2<1；
x>y也不能推出|x|>|y|，例如2>−3，而|2|<|−3|；
所以“|x|>|y|”是“x>y”的既不充分也不必要条件，故B错误；
对于C，∀x∈(2,3)，3x−a<0，即a>3x，
即a≥9，故a的取值范围为a≥9，故C正确；
对于D，关于x的方程x2−2x+m=0有一正一负根⇔4−4m>0m<0⇔m<0，
所以“m<0”是“关于x的方程x2−2x+m=0有一正一负根”的充要条件，故D正确．
故选：ACD．
根据全称命题与特称命题的否定、充分必要条件，函数恒成立问题等逐项判断即可．
本题考查了充分必要条件，考查全称命题与特称命题的否定以及函数恒成立问题，是中档题．
11.【答案】BC
【解析】解：∵函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)，
其图象相邻两条对称轴之间的距离为12⋅2πω=π4，
∴ω=4．
将函数y=f(x)的图象向左平移3π16个单位后，可得y=sin(4x+3π4+φ)的图象．
根据得到的图象关于y轴对称，可得3π4+φ=kπ+π2，k∈Z，
∴φ=−π4，函数f(x)=sin(4x−π4).
令4x−π4=kπ，求得x=kπ4+π16，可得函数f(x)的图象关于点(kπ4+π16,0)，k∈Z对称，故 B正确．
令4x−π4=kπ+π2，求得x=kπ4+3π16，可得函数f(x)的图象关于直线x=kπ4+3π16，k∈Z对称，故 C正确．
故选：BC．
由题意利用周期求得ω，利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，求得函数y=Asin(ωx+φ)的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，得出结论．
本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．
12.【答案】AB
【解析】解：函数f(x)=2x+2−x−ma2+a−3有唯一零点⇔方程2x+2−x−ma2+a−3=0有唯一根⇔y=2x+2−x与y=ma2−a+3有唯一交点，
∵2x+2−x与≥2 2x⋅2−x=2(当且仅当x=0时取等号)，
∴ma2−a+3=2，即方程ma2−a+1=0有实数根，
当m=0时，a=1，
∴当m≠0时，
∴Δ=(−1)2−4m≥0，解得m≤14且m≠0，
∴实数m的取值范围是(−∞,14].
故选：AB．
依题意，可将问题等价转化为y=2x+2−x与y=ma2−a+3有唯一的交点，利用基本不等式求得y=2x+2−x的最小值，再转化为ma2−a+3=2有根，即可求得实数m的取值范围．
本题考查函数的零点与方程根的关系，考查了转化与化归思想，基本不等式的应用及逻辑推理能力和数学运算能力，属于中档题．
13.【答案】[−2,1)∪(1,2]
【解析】【分析】
本题考查了求函数的定义域问题，考查转化思想，是一道基础题．
根据二次根式的性质和分母不为0列不等式，求出函数的定义域即可．
【解答】
解：由题意得：
4−x2≥01−x≠0，解得：−2≤x≤2且x≠1，
故函数的定义域是[−2,1)∪(1,2]，
故答案为：[−2,1)∪(1,2]．
14.【答案】7 210
【解析】【分析】
由题意利用诱导公式、同角三角函数的基本关系求得csα和sinα，再利用两角和的余弦公式求得cs(α+π4)=csαcsπ4−sinαsinπ4 的值．
本题主要考查诱导公式、同角三角函数的基本关系，两角和的余弦公式的应用，属于基础题．
【解答】
解：已知sin(α+π2)=35=csα，且α为第四象限角，
∴sinα=− 1−sin2α=−45，
则cs(α+π4)=csαcsπ4−sinαsinπ4
=35× 22+45× 22=7 210，
故答案为：7 210．
15.【答案】−1
【解析】解：∵lg913=−12<0，
∴f(lg913)=f(−12)=2×(−12)=−1．
故答案为：−1．
先计算lg913的值，再将其代入对应的函数中，即可求解．
本题主要考查对数的运算性质，属于基础题．
16.【答案】23；(0,14]
【解析】解：∵偶函数f(x)满足f(x−1)=f(x+1)，
∴f(x)=f(x+2)，
即函数f(x)是周期为2的周期函数，
则f(43)=f(43−2)=f(−23)=f(23)=23，
若−1≤x≤0，则0≤−x≤1，
则f(−x)=−x=f(x)，
即f(x)=x，−1≤x≤0，
由g(x)=f(x)−kx−k=0得f(x)=k(x+1)，
要使函数g(x)=f(x)−kx−k有4个零点
等价为函数f(x)与g(x)=k(x+1)有四个不同的交点，
作出两个函数的图象如图：
g(x)过定点A(−1,0)，f(3)=1，
则k满足0即0<4k≤1，得0即实数k的取值范围是(0,14]，
故答案为：23，(0,14]
根据函数奇偶性和条件，判断函数是周期为2的周期函数，利用函数与方程之间的关系转化为两个函数图象交点个数问题，利用数形结合进行求解即可．
本题主要考查函数与方程的应用，利用条件判断函数的奇偶性以及利用数形结合进行转化是解决本题的关键．
17.【答案】解：(1)函数f(x)的图象过点(3,4)，则a2=4，∵a>0，且a≠1，则a=2，
(2)由f(x)>a3可得ax−1>a3，
当0当a>1时，x−1>3，解得x>4，即不等式的解集为(4,+∞)．
【解析】(1)直接代值即可求出a的值，
(2)分类讨论，根据指数函数的单调性即可求出不等式的解集．
本题考查了指数函数解析式，指数函数的单调性，属于基础题．
18.【答案】解：(1)由于f(x)的周期是4π，所以ω=2π4π=12，所以f(x)=sin12x．
令sin12x=12，故12x=2kπ+π6或2kπ+5π6，整理得x=4kπ+π3或x=4kπ+5π3．
故解集为{x|x=4kπ+π3或x=4kπ+5π3，k∈Z}．
(2)由于ω=1，
所以f(x)=sinx．
所以g(x)=sin2x+ 3sin(−x)sin(π2−x)=1−cs2x2− 32sin2x=− 32sin2x−12cs2x+12=12−sin(2x+π6).
由于x∈[0,π4]，
所以π6≤2x+π6≤2π3．
12≤sin(2x+π6)≤1，
故−1≤−sin(2x+π6)≤−12，
故−12≤g(x)≤0．
所以函数g(x)的值域为[−12,0]．
【解析】(1)直接利用正弦型函数的性质的应用求出结果．
(2)利用三角函数关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出函数的值域．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
19.【答案】(12分)
解：(1)由题可知，f(1)=1+2a−1=2，即a=1，
此时函数f(x)=x2+2x−1=(x+1)2−2≥−2，
故当x=−1时，函数f(x)min=−2．
(2)若f(x)为偶函数，则有对任意x∈R，
都有f(−x)=(−x)2+2a(−x)−1=f(x)=x2+2ax−1，
即4ax=0，
故a=0．
(3)函数f(x)=x2+2ax−1的单调减区间是(−∞,−a]，而f(x)在(−∞,4]上是减函数，
∴4≤−a，即a≤−4，
故实数a的取值范围为(−∞,−4]．
【解析】(1)由f(1)=2，解得a=1，此时函数f(x)=x2+2x−1=(x+1)2−2，由此可得函数f(x)的最小值．
(2)若f(x)为偶函数，则有对任意x∈R，都有f(−x)=f(x)，由此求得实数a的值．
(3)由于函数f(x)=x2+2ax−1的单调减区间是(−∞,−a]，而f(x)在(−∞,4]上是减函数，可得4≤−a，由此求得实数a的取值范围
本题主要考查二次函数的性质应用，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．
20.【答案】解：(1)由题意可算出k=6，则
当0当x>40时，W=xR(x)−(16x+40)=−40000x−16x+7360，
∴W=−6x2+384x−40,040．
(2)①当0∴当x=32时，Wmax=W(32)=6104，
②当x>40时，W=−40000x−16x+7360=−(40000x+16x)+7360≤−2 40000x⋅16x+7360=5760，当且仅当40000x=16x即x=50时，等号成立，
即当x=50时，Wmax=5760，
综上所述，当x=32时，W取得最大值为6104万美元，
即当年产量为32万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大，最大利润为6104万美元．
【解析】(1)由题意可算出k=6，分段分别求出利润W(万美元)关于年产量x(万部)的函数解析式，再写为分段函数的形式即可．
(2)当040时W=−40000x−16x+7360，利用基本不等式求出W的最大值，再比较两者的大小，取较大者即为W的最大值．
本题主要考查了分段函数的实际应用，考查了利用基本不等式求最值，是中档题．
21.【答案】解：(1)f(x)=sinxcsx− 32sin2x+ 32cs2x=12sin2x+ 32cs2x=sin(2x+π3)．
由2kπ−π2≤2x+π3≤2kπ+π2，k∈Z，解得kπ−5π12≤x≤kπ+π12，k∈Z，
所以函数f(x)的单调增区间为[kπ−5π12,kπ+π12]，k∈Z．
(2)由x∈[−π4,π3]得2x+π3∈[−π6,π]，
所以sin(2x+π3)∈[−12,1]，即f(x)∈[−12,1]，
因为f(x)−m≥2在[−π4,π3]上恒成立，
所以m≤[f(x)−2]min．
又因为[f(x)−2]min=−52，则m≤−52，所以m的取值范围为(−∞,−52]．
【解析】(1)利用三角恒等变换化简得出f(x)=sin(2x+π3)，解不等式2kπ−π2≤2x+π3≤2kπ+π2，k∈Z，可得出函数f(x)的单调递增区间；
(2)由x∈[−π4,π3]得2x+π3∈[−π6,π]，求出函数f(x)在[−π4,π3]上的值域，利用含参变量分离法可求得实数m的取值范围．
本题主要考查三角函数的恒等变换，考查转化能力，属于基础题．
22.【答案】解：(1)因为f(x)=b−3x3x+1+t是定义在R上的奇函数，
所以f(0)=0，即b=1，
又f(−1)=−f(1)，即b−13t+19=3−b1+t，
化简得t=13，经检验符合题意，
所以f(x)=1−3x3x−1+13=3−3x+13x+1；
(2)令g(x)=f(x)−x2+2x+52=63x+1−(x−1)2+12，
因为y=63x+1和y=−(x−1)2+12在x∈[1,+∞)上均是单调递减函数，
所以g(x)在[1,+∞)上也是单调递减函数且g(x)的最大值是g(1)=2，
令h(m)=am+1(−2≤m≤1)，
对于任意x∈[1,+∞)，存在m∈[−2,1]，使得f(x)−x2+2x+52≤am+1，等价于g(x)max≤h(m)min成立，
即2≤h(m)min成立，
因为0由1a≥2，得0综上所述，实数a的取值范围为(0,12]．
【解析】(1)由f(x)为定义在R上的奇函数，可得f(0)=0，f(−1)=−f(1)，解方程可得b，t，进而得到f(x)的解析式；
(2)令g(x)=f(x)−x2+2x+52，h(m)=am+1(−2≤m≤1，问题等价于g(x)max≤h(m)max成立，由g(x)的单调性可得g(x)的最大值，结合0本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用，以及不等式恒成立问题解法，考查转化思想和化简运算求解能力，以及逻辑推理能力，属于中档题．
1.设全集U=R，集合A={x|−1
A. y= xB. y=−1xC. y=lg2xD. y=(12)x+1
3.tan(150°)(−cs420°)sin(−1050∘)的值为( )
A. 12B. −12C. 33D. − 33
4.函数y=lg|x|x3的图象大致是( )
A. B. C. D.
5.若f(x)=2x，且a=(12)13，b=(13)−15，c=lg512，则( )
A. f(a)
A. −31 250B. 31 250C. −17 250D. 17 250
7.设a>1，若对于任意的x∈[a,2a]，都有y∈[a,a2]满足方程lgax+lgay=3，这时a的取值集合为( )
A. {a|1
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题是真命题的是( )
A. lg(lg10)=0B. elnπ=π
C. 若e=lnx，则x=e2D. ln(lg1)=0
10.下列说法中正确的有( )
A. 命题p：∃x0∈R,x02+2x0+2<0，则命题p的否定是∀x∈R，x2+2x+2≥0
B. “|x|>|y|”是“x>y”的必要条件
C. 若命题“∀x∈(2,3)，3x−a<0”是真命题，则a的取值范围为a≥9
D. “m<0”是“关于x的方程x2−2x+m=0有一正一负根”的充要条件
11.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)，其图象相邻两条对称轴之间的距离为π4，将函数y=f(x)的图象向左平移3π16个单位后，得到的图象关于y轴对称，那么函数y=f(x)的图象( )
A. 关于点(−π16,0)对称B. 关于点(π16,0)对称
C. 关于直线x=−π16对称D. 关于直线x=−π4对称
12.存在实数a使得函数f(x)=2x+2−x−ma2+a−3有唯一零点，则实数m可以取值为( )
A. −12B. 14C. 12D. 1
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.函数f(x)= 4−x2+11−x的定义域是 ．
14.已知sin(α+π2)=35，且α为第四象限角，则cs(α+π4)= ______．
15.已知函数f(x)=x2,x≥02x,x<0，则f(lg913)=______．
16.偶函数f(x)满足f(x−1)=f(x+1)，且当x∈[0,1]时，f(x)=x，则f(43)= (1) ，则若在区间[−1,3]内，函数g(x)=f(x)−kx−k有4个零点，则实数k的取值范围是 (2) ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知函数f(x)=ax−1(a>0，且a≠1)．
(1)若函数f(x)的图象过点(3,4)，求实数a的值；
(2)求关于x的不等式f(x)>a3的解集．
18.(本小题12分)
已知函数f(x)=sinωx，ω>0．
(1)f(x)的周期是4π，求ω，并求f(x)=12的解集；
(2)已知ω=1，g(x)=f2(x)+ 3f(−x)f(π2−x)，x∈[0,π4]，求g(x)的值域．
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=x2+2ax−1．
(1)若f(1)=2，求实数a的值，并求此时函数f(x)的最小值；
(2)若f(x)为偶函数，求实数a的值；
(3)若f(x)在(−∞,4]上是减函数，求实数a的取值范围．
20.(本小题12分)
我国所需的高端芯片很大程度依赖于国外进口，“缺芯之痛”关乎产业安全、国家经济安全．如今，我国科技企业正在芯片自主研发之路中不断崛起．根据市场调查某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万部还需另投入16万美元．设该公司一年内共生产该款手机x万部并全部销售完，每万部的销售收入为R(x)万美元，且R(x)=400−kx,0
(1)写出年利润W(万美元)关于年产量x(万部)的函数解析式；
(2)当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．
21.(本小题12分)
已知函数f(x)=sinx(csx− 32sinx)+ 32cs2x，x∈R．
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)若f(x)−m≥2在[−π4,π3]上恒成立，求实数m的取值范围．
22.(本小题12分)
已知f(x)=b−3x3x−1+t是定义在R上的奇函数．
(1)求f(x)的解析式；
(2)已知0
1.【答案】C
【解析】解：∵全集U=R，集合A={x|−1
求出集合A，B，由此能求出A∩B．
本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力等核心素养，是基础题．
2.【答案】D
【解析】【分析】
根据常见函数的单调性分别判断即可．
本题考查了常见函数的单调性问题，熟练掌握常见函数的性质是解题的关键，本题是一道基础题．
【解答】
解：对于A，函数在(0,+∞)上递增，不合题意；
对于B，函数在(0,+∞)上递增，不合题意；
对于C，函数在(0,+∞)上递增，不合题意；
对于D，函数在R递减，符合题意；
故选：D．
3.【答案】C
【解析】解：tan(150°)(−cs420°)sin(−1050∘)=−tan30⋅(−cs60°)sin30∘=− 33×(−12)12= 33，
故选：C．
由题意利用诱导公式化简所给的式子，计算可得结果．
本题主要考查利用诱导公式花简所给的式子，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查函数的图象及奇偶性，属于基础题．
判断函数的奇偶性，利用特殊值判断函数的值即可．
【解答】
解： 因为函数y=lg|x|x3是奇函数，所以选项A，B不正确；
当x=e时，y=1e3>0，图象的对应点在第一象限，
所以D正确，C错误．
故选D．
5.【答案】C
【解析】解：∵0<(12)13<(12)0=1，∴0
∵lg512
∴f(c)
利用指数函数和对数函数的单调性求解．
本题主要考查了指数函数和对数函数的性质，属于基础题．
6.【答案】A
【解析】解：角α的终边经过点P(3,4)，
故|OP|= 32+42=5，
由三角函数的定义知csα=35，sinα=45，可得cs2α=2cs2α−1=−725，sin2α=2sinαcsα=2425，
故cs(2α+π4)=cs2αcsπ4−sin2αsinπ4=(−725)× 22−2425× 22=−31 250．
故选：A．
角α的终边经过点P(3,4)，由三角函数的定义求出角α正弦与余弦，进而利用二倍角公式，两角和的余弦公式即可求解．
本题考查三角函数的定义，知道终边上一点的坐标利用三角函数的定义求三角函数值是考查三角函数的定义的主要方式，属于基础题．
7.【答案】B
【解析】【分析】
先由方程lgax+lgay=3解出y，转化为函数的值域问题求解．
本题考查对数式的运算、反比例函数的值域、集合的关系等问题，难度不大．注意函数和方程思想的应用．
【解答】
解：由lgax+lgay=3，可得lga(xy)=3，
得y=a3x，在[a,2a]上单调递减，
所以y∈[a22,a2]，
故a22≥a，即a≥2，
故选：B．
8.【答案】A
【解析】解：作出函数f(x)的图象如图：
根据条件，结合图形可知0
故选：A．
】将问题进行转化，借助函数的图象，确定x1，x2，x3，x4之间关系，来解决问题．
本题考查分段函数的图象与性质，考查函数零点个数与方程根之间关系，数形结合思想，属于中档题目．
9.【答案】AB
【解析】【分析】
直接利用对数的运算性质，判断命题的真假即可．
本题考查对数的运算法则的应用，命题的真假的判断，是基础题．
【解答】
解：lg(lg10)=lg1=0，所以A正确；
elnπ=π，满足对数的运算法则，所以B正确；
若e=lnx，则x=ee，所以C不正确；
ln(lg1)=ln0，0没有对数，所以D不正确；
故选：AB．
10.【答案】ACD
【解析】解：对于A，命题p：∃x0∈R,x02+2x0+2<0，则命题p的否定是∀x∈R，x2+2x+2≥0，故A正确；
对于B，|x|>|y|不能推出x>y，例如|−2|>|1|，但−2<1；
x>y也不能推出|x|>|y|，例如2>−3，而|2|<|−3|；
所以“|x|>|y|”是“x>y”的既不充分也不必要条件，故B错误；
对于C，∀x∈(2,3)，3x−a<0，即a>3x，
即a≥9，故a的取值范围为a≥9，故C正确；
对于D，关于x的方程x2−2x+m=0有一正一负根⇔4−4m>0m<0⇔m<0，
所以“m<0”是“关于x的方程x2−2x+m=0有一正一负根”的充要条件，故D正确．
故选：ACD．
根据全称命题与特称命题的否定、充分必要条件，函数恒成立问题等逐项判断即可．
本题考查了充分必要条件，考查全称命题与特称命题的否定以及函数恒成立问题，是中档题．
11.【答案】BC
【解析】解：∵函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)，
其图象相邻两条对称轴之间的距离为12⋅2πω=π4，
∴ω=4．
将函数y=f(x)的图象向左平移3π16个单位后，可得y=sin(4x+3π4+φ)的图象．
根据得到的图象关于y轴对称，可得3π4+φ=kπ+π2，k∈Z，
∴φ=−π4，函数f(x)=sin(4x−π4).
令4x−π4=kπ，求得x=kπ4+π16，可得函数f(x)的图象关于点(kπ4+π16,0)，k∈Z对称，故 B正确．
令4x−π4=kπ+π2，求得x=kπ4+3π16，可得函数f(x)的图象关于直线x=kπ4+3π16，k∈Z对称，故 C正确．
故选：BC．
由题意利用周期求得ω，利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，求得函数y=Asin(ωx+φ)的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，得出结论．
本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．
12.【答案】AB
【解析】解：函数f(x)=2x+2−x−ma2+a−3有唯一零点⇔方程2x+2−x−ma2+a−3=0有唯一根⇔y=2x+2−x与y=ma2−a+3有唯一交点，
∵2x+2−x与≥2 2x⋅2−x=2(当且仅当x=0时取等号)，
∴ma2−a+3=2，即方程ma2−a+1=0有实数根，
当m=0时，a=1，
∴当m≠0时，
∴Δ=(−1)2−4m≥0，解得m≤14且m≠0，
∴实数m的取值范围是(−∞,14].
故选：AB．
依题意，可将问题等价转化为y=2x+2−x与y=ma2−a+3有唯一的交点，利用基本不等式求得y=2x+2−x的最小值，再转化为ma2−a+3=2有根，即可求得实数m的取值范围．
本题考查函数的零点与方程根的关系，考查了转化与化归思想，基本不等式的应用及逻辑推理能力和数学运算能力，属于中档题．
13.【答案】[−2,1)∪(1,2]
【解析】【分析】
本题考查了求函数的定义域问题，考查转化思想，是一道基础题．
根据二次根式的性质和分母不为0列不等式，求出函数的定义域即可．
【解答】
解：由题意得：
4−x2≥01−x≠0，解得：−2≤x≤2且x≠1，
故函数的定义域是[−2,1)∪(1,2]，
故答案为：[−2,1)∪(1,2]．
14.【答案】7 210
【解析】【分析】
由题意利用诱导公式、同角三角函数的基本关系求得csα和sinα，再利用两角和的余弦公式求得cs(α+π4)=csαcsπ4−sinαsinπ4 的值．
本题主要考查诱导公式、同角三角函数的基本关系，两角和的余弦公式的应用，属于基础题．
【解答】
解：已知sin(α+π2)=35=csα，且α为第四象限角，
∴sinα=− 1−sin2α=−45，
则cs(α+π4)=csαcsπ4−sinαsinπ4
=35× 22+45× 22=7 210，
故答案为：7 210．
15.【答案】−1
【解析】解：∵lg913=−12<0，
∴f(lg913)=f(−12)=2×(−12)=−1．
故答案为：−1．
先计算lg913的值，再将其代入对应的函数中，即可求解．
本题主要考查对数的运算性质，属于基础题．
16.【答案】23；(0,14]
【解析】解：∵偶函数f(x)满足f(x−1)=f(x+1)，
∴f(x)=f(x+2)，
即函数f(x)是周期为2的周期函数，
则f(43)=f(43−2)=f(−23)=f(23)=23，
若−1≤x≤0，则0≤−x≤1，
则f(−x)=−x=f(x)，
即f(x)=x，−1≤x≤0，
由g(x)=f(x)−kx−k=0得f(x)=k(x+1)，
要使函数g(x)=f(x)−kx−k有4个零点
等价为函数f(x)与g(x)=k(x+1)有四个不同的交点，
作出两个函数的图象如图：
g(x)过定点A(−1,0)，f(3)=1，
则k满足0
故答案为：23，(0,14]
根据函数奇偶性和条件，判断函数是周期为2的周期函数，利用函数与方程之间的关系转化为两个函数图象交点个数问题，利用数形结合进行求解即可．
本题主要考查函数与方程的应用，利用条件判断函数的奇偶性以及利用数形结合进行转化是解决本题的关键．
17.【答案】解：(1)函数f(x)的图象过点(3,4)，则a2=4，∵a>0，且a≠1，则a=2，
(2)由f(x)>a3可得ax−1>a3，
当0
【解析】(1)直接代值即可求出a的值，
(2)分类讨论，根据指数函数的单调性即可求出不等式的解集．
本题考查了指数函数解析式，指数函数的单调性，属于基础题．
18.【答案】解：(1)由于f(x)的周期是4π，所以ω=2π4π=12，所以f(x)=sin12x．
令sin12x=12，故12x=2kπ+π6或2kπ+5π6，整理得x=4kπ+π3或x=4kπ+5π3．
故解集为{x|x=4kπ+π3或x=4kπ+5π3，k∈Z}．
(2)由于ω=1，
所以f(x)=sinx．
所以g(x)=sin2x+ 3sin(−x)sin(π2−x)=1−cs2x2− 32sin2x=− 32sin2x−12cs2x+12=12−sin(2x+π6).
由于x∈[0,π4]，
所以π6≤2x+π6≤2π3．
12≤sin(2x+π6)≤1，
故−1≤−sin(2x+π6)≤−12，
故−12≤g(x)≤0．
所以函数g(x)的值域为[−12,0]．
【解析】(1)直接利用正弦型函数的性质的应用求出结果．
(2)利用三角函数关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出函数的值域．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
19.【答案】(12分)
解：(1)由题可知，f(1)=1+2a−1=2，即a=1，
此时函数f(x)=x2+2x−1=(x+1)2−2≥−2，
故当x=−1时，函数f(x)min=−2．
(2)若f(x)为偶函数，则有对任意x∈R，
都有f(−x)=(−x)2+2a(−x)−1=f(x)=x2+2ax−1，
即4ax=0，
故a=0．
(3)函数f(x)=x2+2ax−1的单调减区间是(−∞,−a]，而f(x)在(−∞,4]上是减函数，
∴4≤−a，即a≤−4，
故实数a的取值范围为(−∞,−4]．
【解析】(1)由f(1)=2，解得a=1，此时函数f(x)=x2+2x−1=(x+1)2−2，由此可得函数f(x)的最小值．
(2)若f(x)为偶函数，则有对任意x∈R，都有f(−x)=f(x)，由此求得实数a的值．
(3)由于函数f(x)=x2+2ax−1的单调减区间是(−∞,−a]，而f(x)在(−∞,4]上是减函数，可得4≤−a，由此求得实数a的取值范围
本题主要考查二次函数的性质应用，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．
20.【答案】解：(1)由题意可算出k=6，则
当0
∴W=−6x2+384x−40,0
(2)①当0
②当x>40时，W=−40000x−16x+7360=−(40000x+16x)+7360≤−2 40000x⋅16x+7360=5760，当且仅当40000x=16x即x=50时，等号成立，
即当x=50时，Wmax=5760，
综上所述，当x=32时，W取得最大值为6104万美元，
即当年产量为32万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大，最大利润为6104万美元．
【解析】(1)由题意可算出k=6，分段分别求出利润W(万美元)关于年产量x(万部)的函数解析式，再写为分段函数的形式即可．
(2)当0
本题主要考查了分段函数的实际应用，考查了利用基本不等式求最值，是中档题．
21.【答案】解：(1)f(x)=sinxcsx− 32sin2x+ 32cs2x=12sin2x+ 32cs2x=sin(2x+π3)．
由2kπ−π2≤2x+π3≤2kπ+π2，k∈Z，解得kπ−5π12≤x≤kπ+π12，k∈Z，
所以函数f(x)的单调增区间为[kπ−5π12,kπ+π12]，k∈Z．
(2)由x∈[−π4,π3]得2x+π3∈[−π6,π]，
所以sin(2x+π3)∈[−12,1]，即f(x)∈[−12,1]，
因为f(x)−m≥2在[−π4,π3]上恒成立，
所以m≤[f(x)−2]min．
又因为[f(x)−2]min=−52，则m≤−52，所以m的取值范围为(−∞,−52]．
【解析】(1)利用三角恒等变换化简得出f(x)=sin(2x+π3)，解不等式2kπ−π2≤2x+π3≤2kπ+π2，k∈Z，可得出函数f(x)的单调递增区间；
(2)由x∈[−π4,π3]得2x+π3∈[−π6,π]，求出函数f(x)在[−π4,π3]上的值域，利用含参变量分离法可求得实数m的取值范围．
本题主要考查三角函数的恒等变换，考查转化能力，属于基础题．
22.【答案】解：(1)因为f(x)=b−3x3x+1+t是定义在R上的奇函数，
所以f(0)=0，即b=1，
又f(−1)=−f(1)，即b−13t+19=3−b1+t，
化简得t=13，经检验符合题意，
所以f(x)=1−3x3x−1+13=3−3x+13x+1；
(2)令g(x)=f(x)−x2+2x+52=63x+1−(x−1)2+12，
因为y=63x+1和y=−(x−1)2+12在x∈[1,+∞)上均是单调递减函数，
所以g(x)在[1,+∞)上也是单调递减函数且g(x)的最大值是g(1)=2，
令h(m)=am+1(−2≤m≤1)，
对于任意x∈[1,+∞)，存在m∈[−2,1]，使得f(x)−x2+2x+52≤am+1，等价于g(x)max≤h(m)min成立，
即2≤h(m)min成立，
因为0
【解析】(1)由f(x)为定义在R上的奇函数，可得f(0)=0，f(−1)=−f(1)，解方程可得b，t，进而得到f(x)的解析式；
(2)令g(x)=f(x)−x2+2x+52，h(m)=am+1(−2≤m≤1，问题等价于g(x)max≤h(m)max成立，由g(x)的单调性可得g(x)的最大值，结合0
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