福建省2025年1月普通高中学业水平合格性考试仿真模拟卷02数学（解析版）

这是一份福建省2025年1月普通高中学业水平合格性考试仿真模拟卷02数学（解析版），共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
参考公式：
样本数据的标准差
其中为样本平均数
柱体体积公式，其中S为底面面积，h为高台体体积公式，
其中，S分别为上、下底面面积，h为高
锥体体积公式，其中S为底面面积，h为高
球的表面积公式，球的体积公式，其中R为球的半径
第Ⅰ卷（选择题 57分）
一、选择题（本题共19小题，每小题3分，共计57分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为集合，，
所以.
故选：B.
2．设，则（ ）
A．11B．10C．17D．15
【答案】A
【解析】.
故选：A.
3．的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因.
故选：A.
4．函数的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】依题意，，因此函数的图象为选项D.
故选：D.
5．已知等腰直角三角形的斜边长为，将该三角形绕所在直线旋转一周形成一个几何体，则这个几何体的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】如下图所示：
因为等腰直角三角形的斜边长为，
将该三角形绕所在直线旋转一周形成一个几何体，
则这个几何体是由两个底面半径为，高均为的圆锥拼接而成，
故该几何体的体积为.
故选：C.
6．已知与是互斥事件，且，，则等于（ ）
A．B．0.3C．D．
【答案】D
【解析】由可得，
由于与是互斥事件，故,
故选：D.
7．已知，，，则（ ）
A．B．0C．1D．2
【答案】C
【解析】由，，得，
解得，
故选：C.
8．如图，下列几何关系表达正确的是（ ）

A．，，m，n共面
B．，，m，n共面
C．，，m，n异面
D．，，m，n异面
【答案】D
【解析】因是直线，是点，故它们与平面的关系应该是 ，
而且从虚线看，m，n异面，故A, B，C均错误；故答案为D.
故选：D.
9．如果，那么下列不等式中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】若时，，，，即A、B、C错；
由，则恒成立，D对.
故选：D.
10．函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意得，解得，故定义域为.故选：C.
11．已知一组样本数据1，2，2，3，4，5，则2.5是该组数据的（ ）
A．极差B．平均数C．中位数D．众数
【答案】C
【解析】由题得众数为2，极差为，平均数为，
中位数为．故选：C.
12．已知是第四象限的角，为其终边上的一点，且，则（ ）
A．4B．4C．D．
【答案】C
【解析】由三角函数的定义可知，解得，
因为是第四象限的角，所以，则，
故选：C.
13．在中，点在边上，，记，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由题.
故选：B.
14．已知正方体，直线与直线所成角的余弦值是（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由于,所以即为直线与直线所成的角或其补角，
不妨设正方体的棱长为，则，
所以,
故选：D.
15．已知函数的图象为，为了得到函数的图象，只要把上所有的点（ ）
A．向右平行移动个单位长度B．向左平行移动个单位长度
C．向右平行移动个单位长度D．向左平行移动个单位长度
【答案】A
【解析】易知向右平行移动个单位长度可得
.
故选：A.
16．在下列区间中，一定包含函数零点的区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】显然单调递增，且图象连续，，
由零点存在定理可知，一定包含函数零点的区间是.
故选：B.
17．已知退休的王大爷连续天户外运动的步数（单位：百步）分别为50，，，，，则该组数据的均值与方差分别为（ ）
A．50，B．50，10C．，D．，
【答案】A
【解析】均值：，
方差：.
故选：A.
18．已知表示两条不同直线，表示平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若，，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，则
【答案】C
【解析】因为，，则或相交或异面，故A错误；
由，，则与的关系无法确定，可能平行，可能相交，可能在平面内，故B错误；
若，，则，故C正确；
若，，则或，故D错误.
故选：C.
19．如图是根据原卫生部2009年6月发布的《中国7岁以下儿童生长发育参照标准》绘制的我国7岁以下女童身高（长的中位数散点图，下列可近似刻画身高随年龄变化规律的函数模型是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】对于A，由散点图知身高随时间变化不是线性增长，故A错误；
对于C，指数函数模型中随增长越来越快，与图象不符合，故C错误；
对于D，对数函数模型在时没有意义，故D错误；
对于B：在定义域上单调递增，且增长速度越来越慢，
符合散点图中随增长越来越慢，且在时有意义，故B正确．
故选：B．
第Ⅱ卷（非选择题 43分）
二、填空题（本题共4个小题，每小题4分，共16分．请将答案填在题中横线上．）
20．在一次抛硬币的试验中，同学甲用一枚质地均匀的硬币做了次试验，发现正面朝上出现了次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为
【答案】；
【解析】正面向上的频率为：；
因为硬币质地均匀，所以正面向上的概率为：.
故答案为：；.
21．已知，则的坐标是 .
【答案】
【解析】因为，
所以.
故答案为：.
22．已知复数（且），为虚数单位，则x在复平面内对应的点所在的象限为 象限.
【答案】第二
【解析】易知复数在复平面内对应的点坐标为，
由，可知，，故z在复平面内时对应的点所在的象限为第二象限.
故答案为：第二.
23．若函数（a>0，且），在定义域R上满足，则a的取值范围是 .
【答案】
【解析】因为，所以，
所以在上单调递减，所以,解得,
故答案为：.
三、解答题（本题共3小题，共27分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
24.（本小题满分8分）
记的内角的对边分别为，已知．
（1）求；
（2）若，求面积的最大值．
解：（1）由，可得，
即，
所以，，因为，
所以，又，所以．
（2）由余弦定理可得，
因为，所以，即，
当且仅当时，等号成立．
故△面积的最大值为．
25.（本小题满分9分）
如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，底面ABCD，点为棱的中点，．
(1)证明：平面；
(2)求点到直线的距离．
（1）证明：在上找中点，连接，，如图：
∵和分别为和的中点，
∴，且，
又∵底面是直角梯形，，，
∴且．即四边形为平行四边形，
∴，
∵平面，平面，
∴平面.
（2）解：因为，，所以
因为底面ABCD，所以，又为面内两条相交直线，
所以面，在面内，所以，
因为为中点，所以点到直线的距离为，
因为，所以，
所以到直线的距离为.
26.（本小题满分10分）
函数．
(1)当时，求该函数的值域；
(2)若对于恒成立，求的取值范围．
解：（1），
令，则有，
因为，所以，因此，
所以函数的值域为；
（2）由（1）可知：令，因为，所以，
，
设函数，函数在上单调递增，
所以函数在时单调递增，故，
因此对于恒成立，只需，
因此的取值范围为.