福建省泉州市南安市2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试卷（解析版）

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一、选择题
1. 下列代数式中是分式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】A．的分母中不含有字母，不是分式，故本选项不符合题意；
B. 的分母中不含有字母，不是分式，故本选项不符合题意；
C. 的分母中不含有字母，不是分式，故本选项不符合题意；
D. 的分母中含有字母，是分式，故本选项符合题意．
故选：D．
2. 若分式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】依题意，，
∴，
故选：C．
3. 下列分式中，是最简分式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】A选项是最简分式，故正确；
B选项分子分母有公因式，不是最简分式，故不正确；
C选项分子分母有公因式，不是最简分式，故不正确；
D选项分子分母有公因式，不是最简分式，故不正确．
故选：A．
4. 在下列图像中，表示y是x的函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】根据函数的定义可知，只有B选项符合题意；
故选：B．
5. 根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强是它的受力面积的反比例函数，其函数图象如图所示，当时，该物体承受的压强的值为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设反比例函数的解析式为，
由图象得反比例函数经过点，
，
反比例函数的解析式为，
当时，．
故选：B．
6. 一次函数的图象不经过（ ）
A 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】C
【解析】一次函数中的，，
它的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，
故选：C．
7. 若关于x方程有增根，则的值是（ ）
A. 5B. 3C. 2D. 1
【答案】B
【解析】，
方程两边同乘以得：，
解得，
因为关于的方程有增根，
所以，
即，
所以，
解得，
故选：B．
8. 我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．“其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每件椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为株，则符合题意的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由题意得：，
故选：A．
9. 双曲线和的图象如图所示，点A是上一点，分别过点A作轴，轴，垂足分别为点，点，与交于点，若的面积为，则的值（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵，
∴，
∴，
∵反比例函数位于第二象限，
∴，
故选：D．
10. 甲、乙两运动员在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步560米，先到终点的运动员原地休息．已知甲先出发1秒，两运动员之间的距离y（米）与乙出发的时间t（秒）之间的关系如图所示．给出以下结论：①乙运动员的速度比甲运动员每秒快1米；②乙出发后7秒追上甲；③甲乙两运动员的最大距离是63米；④乙运动员比甲运动员早10秒到达终点．其中正确的是（ ）
A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ②③④
【答案】A
【解析】①当时，甲已跑了1秒，跑的路程为米，
甲运动员的速度是米/秒，
乙运动员70秒跑到了终点，速度为（米/秒）；
（米/秒），
乙运动员的速度比甲运动员每秒快1米；故①正确；
②设乙出发后秒时追上甲，
当乙追上甲时，二人跑过的路程相等，得，
解得：，
乙出发后7秒追上甲，故②正确；
③由图象可得，乙出发后秒两人之间的距离最大，最大距离为（米），故③正确；
④乙运动员到达终点的时间为秒，
设甲运动员到达终点的时间为秒，则，
解得：，
乙运动员比甲运动员早秒到达终点，故④错误；
综上所述，正确的有①②③，
故选：A．
二、填空题
11. 点在y轴上，则________．
【答案】
【解析】点在y轴上，
，
，
故答案为：．
12. 每个生物携带自身基因的载体是生物细胞的分子的直径只有它们在细胞核的染色体上，按一定顺序排列成螺旋形的独特结构．将用科学记数法表示是__________．
【答案】
【解析】，
故答案为：．
13. 点P在第二象限，距x轴2个单位长度，距y轴3个单位长度，则点P的坐标为________．
【答案】
【解析】∵点P在第二象限，距x轴2个单位长度，距y轴3个单位长度，
∴，即．
故答案为：．
14. 如图，直线与直线相交于点，则不等式的解集为________．
【答案】
【解析】直线与直线相交于点，
∴，
解得：，
∴不等式的解集为．
故答案为：．
15. 关于的分式方程的解为非正数，则的取值范围是________．
【答案】且
【解析】解得，，
关于的分式方程的解为非正数，
，
解得：，
，
，
，
，
的取值范围是且，
故答案为：且．
16. 直线与x轴和y轴分别交于A、B两点，把射线绕点A逆时针旋转得射线，点是射线上一个动点，点是轴上一个动点．若与全等，则点的坐标是______．
【答案】或
【解析】将时，，即，
当时，，即，
当时，
可知，，如图，
则，，
∴，
当时，，，如图，
，
则，，，
过点作轴于点，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
综上所述：点的坐标是或．
故答案为：或．
三、解答题
17. 计算：．
解：
．
18. 先化简，再求值：，其中．
解：
，
当时，原式．
19. 解方程：．
解：方程两边同乘以，
约去分母，得，
解得：，
检验：把代入得：，
所以是原方程的解．
20. 如图，直线y＝x+1与x轴交于点A，点A关于y轴对称点为A′，经过点A′和y轴上的点B（0，2）的直线设为y＝kx+b．
（1）求点A′的坐标；
（2）确定直线A′B对应的函数表达式．
解：（1）令y＝0，则x+1＝0，
∴x＝﹣2，
∴A（﹣2，0）．
∵点A关于y轴的对称点为A′，
∴A′（2，0）．
（2）设直线A′B的函数表达式为y＝kx+b，
∴，
解得：，
∴直线A′B对应的函数表达式为y＝﹣x+2．
21. 如图，在平面直角坐标系中，点为原点，已知，设函数与函数的图象交于点A和点．已知点A的横坐标是，点的纵坐标是．
（1）求，的值；
（2）过点A作轴的垂线，过点作轴的垂线，在第一象限交于点．过点A作轴的垂线，过点作轴的垂线，在第三象限交于点．求证：，，三点共线．
解：（1）函数的图象过点A，
当时，，点A的坐标，
函数的图象过点，
，，
反比例函数表达式为，
当时，，点B的坐标，
函数的图象过点，
，；
（2）由（1）得：点的坐标，点的坐标，
设直线的解析式为，得
，
解得：，
直线的解析式为，
当时，，
点在直线上，
，，三点共线．
22. 某电商公司根据市场需求购进一批A，B两种型号的电脑小音箱进行销售，每台B型小音箱的进价比A型小音箱的进价多10元，用4500元购进A型小音箱的台数是用4000元购进B型小音箱的台数的1.5倍．
（1）求每台A，B两种型号的小音箱的进价．
（2）该电商公司计划分别购进A，B两种型号的小音箱共70台进行销售，其中A型小音箱台数不少于B型小音箱台数的2倍，A型小音箱每台售价为35元，B型小音箱每台售价为48元，怎样安排进货才能使售完这70台小音箱所获利润最大？最大利润是多少元？
解：（1）设每台A型小音箱的进价为元，则每台型小音箱的进价为元，
依题意得：，
解得：，
经检验：是原方程的解，且符合题意．
每台型小音箱的进价：（元）
答：每台A型小音箱的进价为元，每台型小音箱的进价为元．
（2）设购进A型小音箱台，则购进型小音箱台，
依题意得：，
解得：，
设利润为元，则
，
，
随的增大而减少，
取最小值时，获得利润最大，
即当时，（元），
所以应购进A型小音箱台，型小音箱台，售完之后所获的利润最大，最大利润是元．
23. 在函数的学习，我们经历了“函数表达式－画函数图象－利用函数图象研究函数性质－利用图象和性质解决问题”的学习，我们可以借鉴这种方法探究函数的图象性质．
（1）根据题意，列表如下：
在所给平面直角坐标系中描点并连线，画出该函数的图象；
（2）观察图象，发现：
①当________时，y随x的增大而________（填“增大”或“减少”）；
②图象是中心对称图形，其对称中心的坐标为________；
（3）函数的图象可由函数的图象平移得到（不必画图），想象平移后得到的函数图象，直接写出当时，x的取值范围是________________．
解：（1）在所给平面直角坐标系中描点并连线，画出该函数的图象，如图所示，
（2）观察图象，发现：
①当时，y随x的增大而增大；
故答案为：1，增大．
②图象是中心对称图形，其对称中心的坐标为．
（3）函数的图象可由函数的图象向上平移个单位得到，
∴当时，x的取值范围是或．
24. 如图，在平面直角坐标系中，点分别在反比例函数和的图象上．已知轴于点A，轴于点，原点恰好是线段的中点，连接，的面积为6，．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）是线段上的一个动点，是线段上的一个动点，试探究是否存在点使得是等腰直角三角形？若存在，求出符合条件的点、点的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）点在反比例函数的图象上，，
令，则，
，即，
原点恰好是线段的中点，
，
即，
，
；
，
，
解得：，
反比例函数的解析式为．
（2）存在点，使得是等腰直角三角形．理由如下：
由（1）得：，
直线的表达式为，
是线段上的一个动点．
设．
①当，时，点与原点重合，
，；
②当，时，如图，
，解得，
，
，．
③当，时，如图，
过点作于点N，则，
由②的解法可求得：，，
，
，；
综上所述：当，或，或，时，是等腰直角三角形．
25. 已知：直线．
（1）不论取何值，直线恒过定点，则的坐标是________．
（2）已知点坐标分别为、，若直线与线段AB相交，求的取值范围；
（3）在范围内，任取3个自变量，、，它们对应的函数值分别为、、，若以、、为长度的3条线段能围成三角形，求的取值范围．
解：（1）∵，
∴恒过某一定点的坐标为，
即点的坐标为；
（2）∵点坐标分别为直线与线段AB相交，直线恒过某一定点，
，
解得：或；
（3）当时，直线中，随的增大而增大，
∴当时，，
∵以、、为长度的3条线段能围成三角形，
∴，得，
∴；
当时，直线中，随的增大而减小，
∴当时，，
∵以、、为长度的3条线段能围成三角形，
∴，得，
∴；
由上可得，或．