福建省泉州市南安市2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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（满分：150分；考试时间：120分钟）
友情提示：所有答案都必须填涂（写）在答题卡相应的位置上，答在本试卷上一律无效．
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．
1. 下列代数式中是分式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了分式的定义，注意：已知A、B都是整式，式子的分母中含有字母，那么式子是分式．根据分式的定义逐个判断即可．
【详解】解：A．的分母中不含有字母，不是分式，故本选项不符合题意；
B. 的分母中不含有字母，不是分式，故本选项不符合题意；
C. 的分母中不含有字母，不是分式，故本选项不符合题意；
D. 的分母中含有字母，是分式，故本选项符合题意．
故选：D．
2. 若分式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分式有意义分母不等于0求解即可得到答案；
【详解】解：依题意，
∴，
故选：C．
3. 下列分式中，是最简分式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了最简分式的概念，当分式的分子分母是多项式时，要分别分解因式，再判断有无公因式．分式的分子分母若没有公因式，这样的分式叫最简分式，根据最简分式的概念判断即可．
【详解】解：A选项是最简分式，故正确；
B选项分子分母有公因式，不是最简分式，故不正确；
C选项分子分母有公因式，不是最简分式，故不正确；
D选项分子分母有公因式，不是最简分式，故不正确．
故选：A．
4. 在下列图像中，表示y是x函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数的定义：设在某变化过程中有两个变量x、y，如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，那么就称y是x的函数；由此问题可求解．
【详解】解：根据函数的定义可知只有B选项符合题意；
故选B．
【点睛】本题主要考查函数的定义，熟练掌握函数的概念是解题的关键．
5. 根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强是它的受力面积的反比例函数，其函数图象如图所示，当时，该物体承受的压强的值为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的应用，先根据待定系数法求出反比例函数解析式，再把代入，问题得解．
【详解】解：设反比例函数的解析式为，
由图象得反比例函数经过点，
，
反比例函数的解析式为，
当时，．
故选：B．
6. 一次函数的图象不经过（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的图象，根据一次函数的图象特点即可得．
【详解】解：一次函数中的，，
它的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，
故选C．
7. 若关于x的方程有增根，则的值是（ ）
A. 5B. 3C. 2D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了解分式方程，先解分式方程求出方程的解，再根据“方程有增根”可得一个关于的一元一次方程，解方程即可得．
【详解】解：，
方程两边同乘以得：，
解得，
因为关于的方程有增根，
所以，即，
所以，
解得，
故选：B．
8. 我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．“其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每件椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为株，则符合题意的方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据“这批椽的价钱为6210文”、“每件椽的运费为3文，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱”列出方程解答．
【详解】解：由题意得：，
故选A.
【点睛】本题考查了分式方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解，准确的找到等量关系并用方程表示出来是解题的关键．
9. 双曲线和的图象如图所示，点是上一点，分别过点作轴，轴，垂足分别为点，点，与交于点，若的面积为，则的值（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本体考查反比例函数k值的几何意义，根据反比例函数k值的几何意义以及其基本模型计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵反比例函数位于第二象限，
∴，
故选：D．
10. 甲、乙两运动员在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步560米，先到终点的运动员原地休息．已知甲先出发1秒，两运动员之间的距离y（米）与乙出发的时间t（秒）之间的关系如图所示．给出以下结论：①乙运动员的速度比甲运动员每秒快1米；②乙出发后7秒追上甲；③甲乙两运动员的最大距离是63米；④乙运动员比甲运动员早10秒到达终点．其中正确的是（ ）
A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ②③④
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了从函数图象上获取信息、一元一次方程的应用，求出甲乙的速度，即可判断①；设乙出发后秒时追上甲，列方程求出即可判断②；由图象可得，乙出发后秒两人之间的距离最大，求出最大距离即可判断③；设甲运动员到达终点的时间为秒，列方程求出的值，即可判断④；采用数形结合的思想是解此题的关键．
【详解】解：①当时，甲已跑了1秒，跑的路程为米，
甲运动员的速度是米/秒，
乙运动员70秒跑到了终点，速度为（米/秒）；
（米/秒），
乙运动员的速度比甲运动员每秒快1米；故①正确；
②设乙出发后秒时追上甲，
当乙追上甲时，二人跑过的路程相等，得，
解得：，
乙出发后7秒追上甲，故②正确；
③由图象可得，乙出发后秒两人之间的距离最大，最大距离为（米），故③正确；
④乙运动员到达终点的时间为秒，
设甲运动员到达终点的时间为秒，则，
解得：，
乙运动员比甲运动员早秒到达终点，故④错误；
综上所述，正确的有①②③，
故选：A．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
11. 点在y轴上，则________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了点的坐标，熟记坐标轴上点的坐标特征是解题的关键．根据y轴上的点的横坐标为0列方程求解即可．
【详解】解：点在y轴上，
，
，
故答案为：．
12. 每个生物携带自身基因的载体是生物细胞的．分子的直径只有，它们在细胞核的染色体上，按一定顺序排列成螺旋形的独特结构．将用科学记数法表示是__________．
【答案】
【解析】
【分析】绝对值小于1的负数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，其中，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n的值由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
13. 点P在第二象限，距x轴2个单位长度，距y轴3个单位长度，则点P坐标为________．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查点的坐标的确定，解题的关键是掌握到x轴的距离即为纵坐标的绝对值、到y轴的距离即为横坐标的绝对值及四个象限内点的坐标的符号特点．根据到x轴的距离即为纵坐标的绝对值、到y轴的距离即为横坐标的绝对值，再由第二象限点的坐标符号特点可得答案．
【详解】解：∵点P第二象限，距x轴2个单位长度，距y轴3个单位长度，
∴，即．
故答案为：．
14. 如图，直线与直线相交于点，则不等式的解集为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，先求得，然后根据函数图象，写出直线在直线上方所对应的自变量的范围即可．
【详解】解：直线与直线相交于点
∴，
解得：
∴不等式的解集为．
故答案为：．
15. 关于分式方程的解为非正数，则的取值范围是________．
【答案】且
【解析】
【分析】本题考查分式方程的解，分式方程去分母转化为整式方程，表示出，根据分式方程的解为正数，得到大于，列出关于的不等式，求出不等式的解集即可得到的范围．
【详解】解：解得，
关于的分式方程的解为非正数，
，
解得：，
，
，
，
，
的取值范围是且，
故答案为：且．
16. 直线与x轴和y轴分别交于A、B两点，把射线绕点逆时针旋转得射线，点是射线上一个动点，点是轴上一个动点．若与全等，则点的坐标是______．
【答案】或
【解析】
【分析】本题主要考查三角形全等性质、一次函数的应用、勾股定理，先求得的坐标，根据题意画出图形，分析不同情况根据全等三角形的性质以及勾股定理求解即可；
【详解】解：将时，，即
当时，，即
当时，
可知，，如图

则，
∴
当时，，如图

，则，，
过点作轴于点，
∵
∴
∴，
在中，
∴
∴
综上所述：点的坐标是或
故答案为：或．
三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查零指数幂与负整数指数幂的运算，要熟练掌握其运算法则是解题的关键．先计算零指数幂、负整数指数幂、绝对值，再合并求解即可．
【详解】解：
．
18. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查了分式化简求值，先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后将字母的值代入求解．
【详解】解：
当时，原式．
19. 解方程：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解分式方程，根据解分式方程的步骤，先去分母化为整式方程，再求出方程的解，最后进行检验即可．
【详解】
解：方程两边同乘以，
约去分母，得
解得：
检验：把代入得：
所以是原方程的解．
20. 如图，直线y＝x+1与x轴交于点A，点A关于y轴的对称点为A′，经过点A′和y轴上的点B（0，2）的直线设为y＝kx+b．
（1）求点A′的坐标；
（2）确定直线A′B对应的函数表达式．
【答案】（1）A′（2，0）
（2）y＝﹣x+2
【解析】
【分析】（1）利用直线解析式求得点A坐标，利用关于y轴的对称点的坐标的特征解答即可；
（2）利用待定系数法解答即可．
【小问1详解】
解：令y＝0，则x+1＝0，
∴x＝﹣2，
∴A（﹣2，0）．
∵点A关于y轴的对称点为A′，
∴A′（2，0）．
【小问2详解】
解：设直线A′B的函数表达式为y＝kx+b，
∴，
解得：，
∴直线A′B对应的函数表达式为y＝﹣x+2．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象的性质、一次函数图象上点的坐标的特征、待定系数法确定函数的解析式、关于y轴的对称点的坐标的特征等知识，利用待定系数法求函数解析式是解题的关键．
21. 如图，在平面直角坐标系中，点为原点，已知，设函数与函数的图象交于点和点．已知点的横坐标是，点的纵坐标是．
（1）求，的值；
（2）过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，在第一象限交于点．过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，在第三象限交于点．求证：，，三点共线．
【答案】（1），
（2）见解析
【解析】
【分析】此题考查了反比例函数和一次函数综合；
（1）首先将点的横坐标代入求出点A的坐标，然后代入求出，然后将点的纵坐标代入求出，然后代入即可求出；
（2）首先根据题意画出图形，然后求出点和点的坐标，然后利用待定系数法求出所在直线的表达式，进而求解即可．
【小问1详解】
解： 函数的图象过点A，
当时，，
点A的坐标，
函数的图象过点，
，
，
反比例函数表达式为，
当时，，
点B的坐标，
函数的图象过点，
，
；
【小问2详解】
由（1）得：点的坐标，点的坐标，
设直线的解析式为，得
，
解得：，
直线的解析式为，
当时，，
点在直线上，
，，三点共线．
22. 某电商公司根据市场需求购进一批A，B两种型号的电脑小音箱进行销售，每台B型小音箱的进价比A型小音箱的进价多10元，用4500元购进A型小音箱的台数是用4000元购进B型小音箱的台数的1.5倍．
（1）求每台A，B两种型号的小音箱的进价．
（2）该电商公司计划分别购进A，B两种型号的小音箱共70台进行销售，其中A型小音箱台数不少于B型小音箱台数的2倍，A型小音箱每台售价为35元，B型小音箱每台售价为48元，怎样安排进货才能使售完这70台小音箱所获利润最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）每台型小音箱的进价为元，每台型小音箱的进价为元
（2）购进型小音箱台，型小音箱台，售完之后所获的利润最大，最大利润是元
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，找出数量关系列出列出方程，不等式以及函数解析式是解答本题的关键．
（1）设每台型小音箱的进价为元，则每台型小音箱的进价为元，根据题意列出分式方程，解方程并检验，即可求解．
（2）设购进型小音箱台，则购进型小音箱台，根据题意列出表达式得出的范围，设利润为元，进而根据一次函数的性质，即可求解．
【小问1详解】
解：设每台型小音箱的进价为元，则每台型小音箱的进价为元，
依题意得：
解得：
经检验：是原方程的解，且符合题意．
每台型小音箱的进价：（元）
答：每台型小音箱的进价为元，每台型小音箱的进价为元．
【小问2详解】
设购进型小音箱台，则购进型小音箱台，
依题意得：
解得：
设利润为元，则
随的增大而减少
取最小值时，获得利润最大，
即当时，（元）
所以应购进型小音箱台，型小音箱台，售完之后所获的利润最大，最大利润是元．
23. 在函数的学习，我们经历了“函数表达式－画函数图象－利用函数图象研究函数性质－利用图象和性质解决问题”的学习，我们可以借鉴这种方法探究函数的图象性质．
（1）根据题意，列表如下：
在所给平面直角坐标系中描点并连线，画出该函数的图象；

（2）观察图象，发现：
①当________时，y随x的增大而________（填“增大”或“减少”）；
②图象是中心对称图形，其对称中心的坐标为________；
（3）函数的图象可由函数的图象平移得到（不必画图），想象平移后得到的函数图象，直接写出当时，x的取值范围是________________．
【答案】（1）见解析 （2）①1，增大；②
（3）或
【解析】
【分析】题考查函数函数图象，图象的平移；
（1）利用描点法画出函数图象即可；
（2）通过观察图象即可求解；
（3）根据平移的性质解决问题即可．
【小问1详解】
解：在所给平面直角坐标系中描点并连线，画出该函数的图象，如图所示，
【小问2详解】
观察图象，发现：
①当时，y随x的增大而增大；
故答案为：1，增大．
②图象是中心对称图形，其对称中心的坐标为
【小问3详解】
函数的图象可由函数的图象向上平移个单位得到，
∴当时，x的取值范围是或
24. 如图，在平面直角坐标系中，点分别在反比例函数和的图象上．已知轴于点，轴于点，原点恰好是线段的中点，连接，的面积为6，．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）是线段上的一个动点，是线段上的一个动点，试探究是否存在点，使得是等腰直角三角形？若存在，求出符合条件的点、点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）存在，，或，或，
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质、求反比例函数解析式、等腰直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
（1）先求出点，，得出，再根据，求出的值即可；
（2）由（1）得，设．分三种情况：当，时，点与原点重合；当，时；当，；分别求解即可．
【小问1详解】
解：点在反比例函数的图象上，，
令，则，
，即，
原点恰好是线段的中点，
，
即，
，
；
，
，
解得：，
反比例函数的解析式为．
【小问2详解】
解：存在点，使得是等腰直角三角形．理由如下：
由（1）得：，
直线的表达式为，
是线段上的一个动点．
设．
①当，时，点与原点重合，
，；
②当，时，如图，
，解得，
，
，
③当，时，如图，
过点作于点N，则，
由②的解法可求得：，，
，
，；
综上所述：当，或，或，时，是等腰直角三角形．
25. 已知：直线．
（1）不论取何值，直线恒过定点，则的坐标是________．
（2）已知点坐标分别为、，若直线与线段AB相交，求的取值范围；
（3）在范围内，任取3个自变量，、，它们对应的函数值分别为、、，若以、、为长度的3条线段能围成三角形，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）或
（3）或
【解析】
【分析】（1）对题目中的函数解析式进行变形即可求得点的坐标；
（2）根据题意可以得到相应的不等式组，从而可以求得的取值范围；
（3）根据题意和三角形三边的关系，利用分类讨论的数学思想可以求得的取值范围．
【小问1详解】
解：∵，
∴恒过某一定点的坐标为，
即点的坐标为；
【小问2详解】
解：∵点坐标分别、，直线与线段AB相交，直线恒过某一定点，
，
解得：或；
【小问3详解】
解：当时，直线中，随的增大而增大，
∴当时，，
∵以、、为长度的3条线段能围成三角形，
∴，得，
∴；
当时，直线中，随的增大而减小，
∴当时，，
∵以、、为长度的3条线段能围成三角形，
∴，得，
∴；
由上可得，或．
【点睛】本题考查一次函数图象与系数的关系、一次函数图象上点的坐标特征、三角形三边关系，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用分类讨论的数学思想解答．