2022-2023学年福建省泉州市晋江市安海片区八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年福建省泉州市晋江市安海片区八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  若分式有意义，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  将用科学记数法表示应为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  若，则函数和在同一直角坐标系上的图象大致是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  清明节前，某班分成甲、乙两组去距离学校的烈士陵园扫墓．甲组步行，乙组骑自行车，他们同时从学校出发，结果乙组比甲组早到达目的地．已知骑自行车的速度是步行速度的倍，设步行的速度为，则满足的方程为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  若把分式中的和都扩大倍，那么分式的值(    )

A. 扩大倍 B. 不变 C. 缩小倍 D. 缩小倍

6.  已知关于的一次函数为，下列说法中错误的是(    )

A. 函数图像与轴交于点
B. 若，则函数图像经过第一、三、四象限
C. 若函数图像经过原点，则
D. 无论为何实数，函数图像总经过

7.  如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，轴于点，反比例函数的图象与线段相交于点，且是线段的中点，点关于直线的对称点的坐标为，若的面积为，则的值为(    )
 

A.  B.  C.  D.

8.  如图，有一种动画程序，在平面直角坐标系屏幕上，直角三角形是黑色区域含直角三角形边界，其中，，，用信号枪沿直线发射信号，当信号遇到黑色区域时，区域便由黑变白，则能够使黑色区域变白的的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  已知，，是反比例函数的图象上三点，其中，则，，的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  已知一次函数和，当自变量时，，则的取值范围为(    )

A.  B.
C.  D. 且 

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.  计算： ______ ．

12.  点到轴的距离是______．

13.  已知一出租车油箱内剩余油，一般行驶一小时耗油，则该车油箱内剩余油量和行驶时间时之间的函数关系式是______不写自变量取值范围．

14.  一次函数与轴交于点，与轴交于点，将线段绕点逆时针旋转，使点落在点处，则的坐标为______ ．

15.  反比例函数，当时，函数的最大值和最小值之差为，则______．

16.  如图，在等腰中，，，已知，，把沿轴正方向向右平移使、平移后在与的位置，此时、在同一双曲线上，则的值为______ ．

三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）

17.  解分式方程．

四、解答题（本大题共8小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.  本小题分
计算：．

19.  本小题分
先化简下列代数式，再求值：，其中．

20.  本小题分
已知与成反比例，且当时，．
求与的函数关系式；
判断点是否在该函数图象上．

21.  本小题分
为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，某中学以体育为突破口，准备从体育用品商场一次性购买若干个足球和篮球，用于学校球类比赛活动．每个足球的价格都相同，每个篮球的价格也相同．已知篮球的单价比足球单价的倍少元，用元购买足球的数量是用元购买篮球数量的倍．
足球和篮球的单价各是多少元？
根据学校实际情况，需一次性购买足球和篮球共个，但要求足球和篮球的总费用不超过元，学校需要最少购买多少个足球？

22.  本小题分
如图，平面直角坐标系中，一次函数：与反比例函数：交于，两点．
填空： ______ ， ______ ；
根据函数图象，直接写出不等式的解集：______ ；
连接并延长交双曲线于点，连接、，求的面积．

23.  本小题分
要从甲、乙两仓库向，两工地运送水泥已知甲、乙两个仓库分别可运出吨和吨水泥；，两工地分别需要水泥吨和吨从两仓库运往，两工地的运费单价如表：

设甲仓库运往地水泥吨，求总运费关于的函数表达式及自变量的取值范围．
若甲仓库运往工地的运费下降了元吨，则最省的总运费为多少元？

24.  本小题分
，两城市之间有一条公路相连，公路中途穿过市，甲车从市到市，乙车从市到市，甲车的速度比乙车的速度慢千米时，两车距离市的路程单位：千米与驶的时间单位：小时的函数图象如图所示，结合图象信息，解答下列问题：
甲车的速度是______千米时，在图中括号内填入正确的数；
求图象中线段所在直线的函数解析式，不需要写出自变量的取值范围；
直接写出甲车出发后几小时，两车距市的路程之和是千米．

25.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线：与轴，轴分别交于，两点，点为直线上一点，另一直线：经过点，且与轴交于点．

求点的坐标和的值；
如图，点为轴上一动点，将沿直线翻折得到．
当点为线段上一动点时，设线段交线段于点，求与的面积相等时，点的坐标；
当点落在轴上时，求点的坐标及的面积．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：
分式无意义分母为零；
分式有意义分母不为零；
分式值为零分子为零且分母不为零．
根据分母不等于，列式计算即可得解．
解：根据题意得，，
解得．
故选：．
 

2.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
本题考查了科学记数法的表示方法，掌握表示形式为的形式，其中，为整数是关键．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，关键是由的取值确定函数所在的象限．根据一次函数和反比例函数的特点，，所以分和两种情况讨论即可．
【解答】

解：分两种情况讨论：
当时，与轴的交点在正半轴，过一、二、三象限，的图象在第一、三象限，选项符合；
当时，与轴的交点在正半轴，过一、二、四象限，的图象在第二、四象限，无选项符合；
故选A．

4.【答案】 

【解析】解：，
设步行的速度为 ，则骑自行车的速度为  ．
由题意可得：，
故选：．
首先设步行的速度为 ，表示出骑自行车速度为，再根据时间路程速度表示出去距离学校的烈士陵园扫墓步行所用的时间与骑自行车所用时间，根据时间相差可得方程．
此题主要考查了分式方程的应用，解题的关键是弄懂题意，表示出步行所用时间与骑自行车所用时间．
 

5.【答案】 

【解析】解：分式中的，都扩大倍，
得，
分式的值不变．
故选：．
根据分式的基本性质，将分式中的，都扩大倍，得，然后将分子分母同时除以即可得出判断．
本题考查了分式的基本性质，准确利用分式的基本性质进行化简是解决本题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：当时，，
函数图象与轴交于点，故说法错误，符合题意；
B.，
，
函数图象经过第一、三、四象限，故说法正确，不符合题意；
C.函数图象经过原点，
，
，故说法正确，不符合题意；
D.，
时，，
函数的图象总经过，故说法正确，不符合题意．
故选：．
令，即可求得函数图象与轴交于点，即可判断，根据二次函数的性质即可判断；把代入即可判断；把代入解析式求得，即可判断．
本题考查一次函数的图象及性质，一次函数图象上点的坐标特征；熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】

【解答】
解：点关于直线的对称点的坐标为，
，
，，
，
的面积为，
，
解得，，
，
．
故选：．
【分析】
根据对称性求出点坐标，进而得与的长度，再根据已知三角形的面积列出的方程求得，进而用待定系数法求得．
本题是反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，主要考查了一次函数与反比例函数的性质，对称性质，关键是根据对称求得点坐标及由三角形的面积列出方程．  

8.【答案】 

【解析】解：直线中，
此直线必然经过一三象限．
、，
当经过点时，，解得；
当经过点时，，解得，
．
故选：．
根据直线的解析式可知此直线必然经过一三象限，当经过点时的值最小，当经过点时的值最大，由此可得出结论．
此题主要考查是一次函数在实际生活中的运用，解答此类题目时一定要注意数形结合的运用．
 

9.【答案】 

【解析】解：反比例函数中，
此函数的图象在二、四象限，且在每一各象限内随的增大而增大，
，
在第二象限，，在第四象限，
，，即．
故选：．
先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据，判断，，的大小关系．
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：一次函数和，当自变量时，，
，
，
且且，
解得且；
当时，也成立，
故的取值范围是：且．
故选：．
解不等式，根据题意得出且且，解此不等式即可．
本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数的性质，难度适中．
 

11.【答案】 

【解析】解：原式，
故答案为：
原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果．
此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：点到轴的距离是．
故答案为：．
根据点到轴的距离等于纵坐标的绝对值解答．
本题考查了点的坐标，是基础题，熟记到轴的距离等于纵坐标的绝对值，到轴的距离等于横坐标的绝对值是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：依题意得：．
根据“余油量原有油量用油量”得出．
根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：如图，过点作轴于点，

一次函数与轴交于点，与轴交于点，
点，点
，
将线段绕点逆时针旋转，
，，
，且，
，且，，
≌
，

点坐标
故答案为：
由一次函数的性质可得点，点，可得，，由旋转的性质可得，，由“”可证≌，可得，，即可求点坐标．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定和性质，旋转的性质等知识，证明≌是本题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：，
在每一象限内，反比例函数随的增大而增大．
当时，函数的最大值和最小值之差为，
，解得，
综上所述，．
故答案为：．
根据反比例函数的增减性，利用函数值的差列出方程解答．
本题考查了反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：作轴于点，
．
，，
在和中，
，
≌，
，，，
又点在第二象限，
，
设沿轴的正方向平移个单位，
则，则，
又点和在该比例函数图象上，
，
即，
解得，
．
故答案为：．
作轴于点，根据证明≌，求出的长度，进而求出点的坐标；设沿轴的正方向平移个单位，用表示出和，根据两点都在反比例函数图象上，求出的值，进而求出的值，即可求出的值．
本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，坐标与图形变化平移，解答本题的关键是熟练掌握反比例函数的性质以及平移的知识．
 

17.【答案】解：方程的两边同乘，得
，
解得．
检验：把代入，是原方程的增根，
原方程无解． 

【解析】本题考查了分式方程的解法，观察可得最简公分母是，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解；解分式方程一定注意要验根．
 

18.【答案】解：原式

． 

【解析】负整数指数幂：为正整数，零指数幂：，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，由此即可计算．
本题考查负整数指数幂，零指数幂，有理数的混合运算，关键是掌握负整数指数幂，零指数幂的公式，有理数混合运算顺序．
 

19.【答案】解：，
，
，
，
当时，原式． 

【解析】先算括号里的，按同分母分式相减法则：分母不变，分子相减；再将除法化成乘法，化简为，再将的值代入计算．
本题是二次根式和分式的化简求值问题，分式化简中分解因式是基础，要熟知平方差公式和完全平方公式；在化简的过程中要注意运算顺序，化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式；分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值即可．
 

20.【答案】解：设，
把，代入得，
解得，
与的函数关系式；
把 代入得，，
点在该函数的图象上． 

【解析】根据题意可以设出函数关系式，把和的对应值代入函数解析式，通过方程即可求得的值；
然后把代入所求得的函数解析式，得到相应的的值即可判断．
本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标适合解析式是解题的关键．
 

21.【答案】解：设足球的单价是元，则篮球的单价是元，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：足球的单价是元，篮球的单价是元．
设学校可以购买个足球，则可以购买个篮球，
依题意得：，
解得：，
答：学校最少可以购买个足球． 

【解析】设足球的单价是元，则篮球的单价是元，根据数量总价单价，结合用元购买足球的数量是用元购买篮球数量的倍，列出分式方程，解方程即可；
设学校可以购买足球，则可以购买个篮球，利用总价单价数量，结合购买足球和篮球的总费用不超过元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 

22.【答案】    或 

【解析】解：把分别代与，得，，
解得，，
故答案为：，；
不等式的解集为或．
故答案为：或；
由题意可知，与关于原点对称，
，
，
令，则，
，
，
的面积为．
利用待定系数法即可求得；
根据图象即可求得；
由反比例函数的中心对称性，即可求得，从而求得，然后利用割补法求得的面积即可．
本题考查看待定系数法求函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题，解题的关键是先求出反比例函数，进而求点坐标，然后求出一次函数的解析式．
 

23.【答案】解：设甲仓库运往工地水泥吨，则甲仓库运往工地水泥吨，乙仓库运往工地水泥吨，乙仓库运往工地水泥吨，


，
由题意可得，，
，
总运费关于的函数表达式为；
若甲仓库运往工地的运费下降了元吨，
则
，
当，即时，
当，时，取得最小值为，
当，即时，
此时，随的增大而减小，且越小，随的增大而减小得越多，
当，时，取得最小值，最小值为，
综上，若甲仓库运往工地的运费下降了元吨，则最省的总运费为元． 

【解析】设甲仓库运往工地水泥吨，则甲仓库运往工地水泥吨，乙仓库运往工地水泥吨，乙仓库运往工地水泥吨，根据两仓库运往，两工地的运费即可求解．
若甲仓库运往工地的运费下降了元吨，则，当，即时，根据一次函数的性质和自变量的取值范围求出此时的最小值，当，即时，根据一次函数的性质和自变量的取值范围求出此时的最小值，以此即可求解．
本题主要考查一次函数的应用，熟练掌握一次函数的性质是解题关键．
 

24.【答案】 

【解析】解：由题意，甲的速度为千米小时．乙的速度为千米小时，
小时，小时，
图中括号内的数为．
故答案为：．

设线段所在直线的解析式为    ．
把点，代入，
得：，
解得：．
线段所在直线的函数解析式为．

，
小时，
或，
解得，
答：甲车出发小时或小时时，两车距市的路程之和是千米．
利用图中信息解决问题即可．
利用待定系数法解决问题即可．
分两种情形分别求解即可解决问题．
本题考查一次函数的应用，待定系数法等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．
 

25.【答案】解：令，则，
点坐标为，
把代入得：，解得：；
由轴对称性质可知：≌，
，
，
，
即，
，
为的中点，
对于，令，则，
，
对于，令，则，
，
，即；
过点作轴于点，过点作轴于点，
，，
在中，由勾股定理得，
故CE，
，
，，
根据勾股定理可得：；
Ⅰ当在右侧时，，如图所示：

设，则，
在中，由勾股定理得，，
解得：，
；
Ⅱ 当在左侧时，，此时点在原点，如图所示：

．
综上，，或，． 

【解析】先求出点的坐标，然后将点的坐标代入，即可求出的值；
先证明，得出为的中点，再分别求出点和点的坐标，根据中点坐标公式，即可得出答案；
过点作轴于点，过点作轴于点，求出，，分两种情况进行讨论，在右侧时和在右侧时，分别求出点的坐标和的面积即可．
本题主要考查了一次函数的应用，求一次函数解析式，三角形面积的计算，勾股定理，解题的关键是根据题意画出图形，数形结合，并注意分类讨论．