2022-2023学年福建省泉州市南安市八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年福建省泉州市南安市八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  在平面直角坐标系中，点的位置所在的象限是(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

2.  华为手机搭载了全球首款纳米制程芯片，纳米就是米数据用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  若分式在实数范围内有意义，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  若一次函数的图象中值随值的增大而增大，则的值可以是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  下列分式中，是最简分式的是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  一次函数的图象不经过(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

7.  公元前世纪，古希腊科学家阿基米德发现了杠杆平衡，后来人们把它归纳为“杠杆原理”，即：阻力阻力臂动力动力臂小伟欲用撬根撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别是和，则动力单位：关于动力臂单位：的函数解析式正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  年月，教育部发布义务教育劳动课程标准年版，其中根据不同学段制定了相应的学段目标，某学校为了让学生热爱劳动，尊重劳动，在劳动中提升综合素质，定期开展课外劳动实践活动甲、乙两班在一次体验挖土豆的活动中，甲班挖千克土豆与乙班挖千克土豆所用的时间相同已知甲班平均每小时比乙班多挖千克土豆，设乙班平均每小时挖千克的土豆，依题意，下面所列方程正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，直线：与直线：相交于点，则方程组的解是(    )

A.
B.
C.
D.

10.  如图，点是双曲线上的一点，点是双曲线上的一点，所在直线垂直轴于点，点是轴上一点，连接、，则的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.  任意写出一个正比例函数：______ ．

12.  点在轴上，则        ．

13.  分式和的最简公分母是______．

14.  在平面直角坐标系中，第四象限内有一点，点到轴的距离为，到轴的距离为，则点的坐标是______ ．

15.  若关于的方程有增根，则 ______ ．

16.  如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点、交轴于点，点与点关于轴对称，动点、分别在线段、上点不与点、重合，满足当为等腰三角形时，点的坐标是______ ．

三、解答题（本大题共9小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：．

18.  本小题分
一次函数的图象经过点．
求这个一次函数的表达式；
当为何值时，？

19.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

20.  本小题分
如图，根据小孔成像的科学原理，当像距小孔到像的距离和物高蜡烛火焰高度不变时，火焰的像高单位：是物距小孔到蜡烛的距离单位：的反比例函数，当时，．
求关于的函数解析式．
变化蜡烛和小孔之前的距离，某一时刻像高为，请回答蜡烛是怎样移动的？

21.  本小题分
如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．
求反比例函数的解析式和点的坐标；
根据图象直接写出使一次函数的值大于反比例函数的值的的取值范围．

22.  本小题分
小明和小华是同班同学，也是邻居，某日早晨，小明：先出发去学校，走了一段路后，在途中停下吃了早餐，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小华离家后直接乘公交车到了学校，如图所示是他们从家到学校已走的路程米与小明离家时间分钟之间的对应关系，根据图象回答下列问题：
请直接写出小明家到学校的路程是多少米？小明停下吃早餐用了几分钟？小华比小明早到校几分钟？
学校规定学生早上：之前到校，小明吃完早餐后如果还按原来走路的速度到学校，是否会迟到？并说明理由．

23.  本小题分
年，中国元素闪耀卡塔尔世界杯，特别是中国承建的大型基建项目卢赛尔体育场，是目前全球技术最先进的世界杯主场馆它的整体外形呈马鞍状，外幕墙是铜色圆形玻璃，配上内部灯光，使得它在夜间格外璀璨，像极了沙漠中的一只“金碗”该外幕墙的搭建由甲、乙两个工程队联合承揽若两队一起搭建了个月后，剩下的部分由甲队单独搭建，则还需个月．
若甲队单独搭建需要个月，乙队单独搭建需要多少时间？
若甲队单独搭建的时间为个月甲、乙两队谁的施工速度快？为什么？

24.  本小题分
先阅读下面的材料，然后回答问题：
方程的解为，；
方程的解为，；
方程的解为，；

观察上述方程的解，猜想关于的方程的解是______；
根据上面的规律，猜想关于的方程的解是______；
由可知，在解方程：时，可以变形转化为的形式求值，按要求写出你的变形求解过程．
利用的结论解方程：．

25.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于点、点，点在轴的负半轴上，且，点是线段上的动点点不与，重合，以为斜边在直线的右侧作等腰直角三角形．
求直线的函数表达式；
如图，当时，求点的坐标；
如图，连接，点是线段的中点，连接，试探究的大小是否为定值，若是，求出的度数；若不是，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：点，
点所在的象限是第二象限．
故选：．
根据各象限内点的坐标特点，再根据点的坐标符号，即可得出答案．
本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．
 

2.【答案】 

【解析】解：；
故选：．
由科学记数法知；
本题考查科学记数法；熟练掌握科学记数法中与的意义是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：分式在实数范围内有意义，
，
解得：．
故选：．
直接利用分式有意义则分母不为零进而得出答案．
此题主要考查了分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不等于零．
 

4.【答案】 

【解析】解：一次函数的图象中值随值的增大而增大，
，
．
故选：．
由一次函数的图象中值随值的增大而增大，可得出，解之即可得出的取值范围，再对照四个选项即可得出结论．
本题考查了一次函数的性质，牢记“，随的增大而增大；，随的增大而减小”是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：、是最简分式，符合题意；
B、，不是最简分式，不合题意；
C、，不是最简分式，不合题意；
D、，不是最简分式，不合题意；
故选：．
直接利用分式的性质以及最简分式的定义分析得出答案．
此题主要考查了最简分式，正确掌握相关定义是解题关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：一次函数，，，
该函数图象经过第二、三、四象限，
该函数图象不经过第一象限，
故选：．
根据题目中的函数解析式和一次函数的性质，可以得到该函数图象经过的象限和不经过的象限，从而可以解答本题．
本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
 

7.【答案】 

【解析】解：阻力阻力臂动力动力臂．小伟欲用撬棍撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别是和，
动力单位：关于动力臂单位：的函数解析式为：，
则．
故选：．
根据所给公式列式，整理即可得答案．
本题考查了反比例函数的应用，弄清题意，正确分析各量间的关系是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：根据题意，得，
故选：．
根据甲班挖千克土豆与乙班挖千克土豆所用的时间相同，列分式方程即可．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：经过，
，
，
直线：与直线：相交于点，
方程组的解是，
故选：．
由直线：求得的交点坐标，即可求出方程组的解即可．
本题考查一次函数与二元一次方程组，解题关键是掌握一次函数与方程的关系，掌握图象交点与方程组的解的关系．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图所示，作交的延长线于，
，
则，
设点的坐标为，，
所在直线垂直轴于点，
点坐标为，
，，
，
故选：．
作交的延长线于，则，设点的坐标为，再根据题意分别表示出的长，计算即可得到答案．
本题考查了反比例函数与三角形综合，解题的关键是作出恰当的辅助线，设出相关点的坐标，从而将需要的条件都表示出来，再进行计算即可．
 

11.【答案】 

【解析】解：根据正比例函数的定义，写出一个正比例函数为．
故答案为．
写出形如的函数即可．
本题考查了正比例函数的定义：形如的函数为正比例函数．
 

12.【答案】 

【解析】解：点在轴上，
，
，
故答案为：．
根据在轴上的点纵坐标为进行求解即可．
本题主要考查了在轴上的点的坐标特点，熟知在轴上的点纵坐标为是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：分式和的最简公分母是，
故答案为：．
根据找最简公分母的方法找出即可．
本题考查了最简公分母，能熟记找最简公分母的方法是解此题的关键，找最简公分母的方法是：系数找分母各个系数的最小公倍数，相同字母找字母的最高次幂，对于在一个分母中有的因式，也作为一个因式．
 

14.【答案】 

【解析】解：在平面直角坐标系中，第四象限内有一点，点到轴的距离为，到轴的距离为，则点的坐标是，
故答案为：．
根据点到轴的距离等于横坐标的绝对值，点到轴的距离等于纵坐标的绝对值，即可解答．
本题考查了点的坐标，熟练掌握点到轴的距离等于横坐标的绝对值，点到轴的距离等于纵坐标的绝对值是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：，
去分母得：，
原方程有增根，
增根为：，
，
解得：，
故答案为：．
把分式方程的增根代入去分母后的整式方程即可得到答案．
本题考查的是分式方程的增根问题，理解分式方程的增根的含义是解本题的关键．
 

16.【答案】或 

【解析】解：，
当时，，
当时，，
即点的坐标是，点的坐标是，
点与点关于轴对称，
的坐标是，
分为三种情况：
当时，
和关于轴对称，
，
，，，
，
和关于轴对称，
，
在和中，
，
≌，
，
，，
，
，
点的坐标是；

当时，则，
，
，
而根据三角形的外角性质得：，
此种情况不存在；
当时，则，
即，
设此时的坐标是，
在中，由勾股定理得：，
，
解得：，
即此时的坐标是．
当为等腰三角形时，点的坐标是或．
故答案为：或．
把和分别代入一次函数的解析式，求出、的坐标，分为三种情况：，，，分别求解即可．
本题是一次函数综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，解题的关键是分类思想的运用．
 

17.【答案】解：


． 

【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了负整数指数幂，绝对值，有理数的减法，零指数幂，准确熟练地化简各式是解题的关键．
 

18.【答案】解：将代入，
，解得：，
这个一次函数关系式为；
当时，有，
解得：，
当时，． 

【解析】根据点的坐标，利用待定系数法求出函数关系式即可；
由可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出结论．
本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及解一元一次不等式，解题的关键是：代入点的坐标求出值；利用一次函数图象上点的坐标特征找出关于的一元一次不等式．
 

19.【答案】解：原式


，
当时，
原式
． 

【解析】先算括号内的，再算除法，将结果化简即可．
本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算的法则是解题的关键．
 

20.【答案】解：设解析式为，
把，代入，得
，
解得，
函数解析式为；
当像高为时，即，
将代入解析式，得
，
解得，
，
蜡烛向小孔方向移动了． 

【解析】根据待定法求反比例函数的解析式即可；
根据解析式代入数值求出小孔到蜡烛的距离即可解答．
本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键．
 

21.【答案】解：把代入到反比例函数中得，
，
，
反比例函数解析式为，
把代入到反比例函数中得，
，
；
由函数图象可知当或时一次函数图象在反比例函数图象上方，即一次函数的值大于反比例函数的值． 

【解析】先把点坐标代入反比例函数解析式求出反比例函数解析式，再把点坐标代入到反比例函数解析式求出点坐标即可；
只需要找到一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可得到答案．
本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤．
 

22.【答案】解：由图象可知，小明家到学校的路程是米；
小明停下吃早餐所用时间为：分钟；
小华比小明早到校：分钟；
小明吃完早餐后按原来走路的速度到学校所用时间为：分，
分，
即小明吃完早餐后如果还按原来走路的速度到学校，到校时间为时分秒，故不会迟到． 

【解析】由图象可得小明家到学校的路程；根据小明停下吃早餐时路程不随时间的增加而增大可得小明停下吃早餐所用时间；由图象可得小华比小明早到校几分钟；
根据题意求出小明吃完早餐后按原来走路的速度到学校所用时间，即可判断．
本题考查函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

23.【答案】解：设乙队单独搭建需要个月，根据题意可得：，
解得：，
经检验，是方程的解，
答：乙队单独搭建需要个月；
甲队的施工速度快，理由如下：
设乙队单独搭建需要个月，根据题意可得：，
解得，
，
，
，
，
即甲队的施工速度快． 

【解析】设乙队单独搭建需要个月，根据题意，列出分式方程，求解即可；
设乙队单独搭建需要个月，根据题意，列出分式方程，用表示，根据的取值，判断出，即可求解．
此题考查了分式方程的应用，不等式的性质，解题的关键是理解题意，正确列出分式方程．
 

24.【答案】，  ， 

【解析】解：关于的方程的解是：，，
故答案为：，；
关于的方程的解是：，，
故答案为：，；
，
，
，
，
即，，
解得：，；
令，则方程可化为，
由规律可得，，；
即或，
解得，．
根据已知材料即可得出答案；
根据已知材料即可得出答案；
把方程转化成，由材料得出，，求出方程的解即可；
利用换元法，转化为材料中的规律解答．
本题考查了分式方程的解和解分式方程的应用，解此题的关键是找出材料中隐含的规律，通过做此题培养了学生的阅读能力和理解能力．
 

25.【答案】解：在中，令得，
，
，
，
设直线的函数表达式为，
，
解得，
；
设，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
在中，令得，
，
，
，
，
解得，
，
，
，
；
是定值，的度数为，理由如下：
延长到，使，连接，，如图：

设，，
，，
≌，
，，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
≌，
，，
，
． 

【解析】在中，令得，得，而，得，用待定系数法可得；
设，，由，，知，又，故，可解得；
延长到，使，连接，，设，，根据≌，有，，从而，，再证≌，可得，，故，即得．
本题考查一次函数综合题，涉及的待定系数法，三角形面积，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题．