山东省青岛市李沧区实验初级中学2024-2025学年七年级下学期期中 数学试题（含解析）

这是一份山东省青岛市李沧区实验初级中学2024-2025学年七年级下学期期中 数学试题（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，作图，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（每道小题3分，共24分）
1. 下列计算中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据同底数幂的乘除运算法则．幂的乘方以及合并同类项的知识逐项判断即可．
【详解】解：A．，本选项错误；
B．，本选项错误；
C．，本选项错误；
D．，本选项正确，
故选：D．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘除法则．幂的乘方以及合并同类项的知识，掌握同底数幂的乘除运算法则．幂的乘方以及合并同类项的知识是解答本题的关键．
2. 石墨烯材料可能会成为制造芯片的关键材料，它每两个相邻碳原子间的键长．将用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，熟练掌握科学记数法的定义是解答本题的关键．
根据科学记数法的定义解答即可．
【详解】解：，
故选：C．
3. 二十四个节气分别为：春季（立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨），夏季（立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑），秋季（立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降），冬季（立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒），若从二十四个节气中选一个节气，则抽到的节气在冬季的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了根据概率公式求概率，根据二十四个节气中，立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒，共六个节气在冬季，计算即可得解，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．
【详解】解：∵二十四个节气中，立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒，共六个节气在冬季，
∴从二十四个节气中选一个节气，则抽到的节气在冬季的概率为，
故选：A．
4. 如图所示，下列条件不能判定的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定，掌握其判定方法是解题的关键．
根据平行线的判定方法分析即可．
【详解】解：A、，根据同位角相等，两直线平行，可得，不符合题意；
B、，根据同旁内角互补，两直线平行，可得，不能判定，符合题意；
C、，根据同旁内角互补，两直线平行，可得，不符合题意；
D、，根据内错角相等，两直线平行，可得，不符合题意；
故选：B．
5. 若（x－5）(x＋2)＝x2＋px＋q，则p、q的值是（ ）
A. 3，10B. 3，-10C. -3，10D. -3，-10
【答案】D
【解析】
【分析】等式左边根据多项式乘以多项式法则计算，合并同类项后得到一个多项式，与右边的多项式相比，利用多项式相等的条件求出p与q的值即可．
【详解】解：已知等式整理得：，则
，
故选：D．
【点睛】此题考查了多项式乘多项式，解题的关键是熟练掌握运算法则．
6. 如图，把一个三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，如果，那么的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据余角的定义求出，再根据两直线平行，同位角相等可得．
【详解】解：∵，
∴，
∵直尺的两边互相平行，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．
7. 如图，在由4个边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，若随机向此正方形网格中投针，则落在内部的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了概率公式，熟练运用概率公式是解题的关键．
先求出三角形的面积，然后用概率公式计算．
【详解】解：正方形面积，
三角形的面积 ，
则落在内部的概率是．
故选：C．
8. 根据，，，，…的规律，则的个位数字是（ ）
A. 1B. 3C. 5D. 7
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查整式的规律探究、数字类规律探究，理解题意，找到变化规律是解答的关键．
根据前几个等式的变化规律得到第n个等式为，进而求解即可．
【详解】解：第1个等式为，
第2个等式为，
第3个等式为，
第4个等式为，
……
第n个等式为，
∴
，
∵，，，，，，，……，
∴的末位数是以2、4、8、6每四个一个循环，
∴的末位数是以1、3、7、5每四个一个循环，
∵，
∴即的末位数为3，
故选B．
二、填空题（每道小题3分，共24分）
9. 下列事件中，随机事件是_________（填序号）．
①某射击运动员射击1次，命中靶心；②从一只装有白球和黑球的袋中摸球，摸出红球；③13人中至少2人的生日是同一个月；④任意摸1张体育彩票会中奖；⑤太阳从东方升起；⑥随意翻开一本有400页的书，正好翻到第100页；⑦你能长高到；⑧抛掷1枚骰子得到的点数小于8．
【答案】①④⑥
【解析】
【分析】本题考查对随机事件、必然事件、不可能事件的应用，解题的关键是掌握：必然事件发生的可能性大小为，不可能事件发生的可能性大小为，随机事件可能发生也可能不发生．据此解答即可．
【详解】解：必然事件是③⑤⑧，不可能事件是②⑦，随机事件是①④⑥．
故答案为：①④⑥．
10. 如图，已知在直线外有一点C，用“推三角板”方法，经过点C作直线，则所作直线与直线平行，这种画法的依据是_________．
【答案】同位角相等，两直线平行
【解析】
【分析】本题考查了作图一复杂作图，平行线的判定，解题的关键是熟悉基本几何图形的性质，掌握平行线的判定．
根据画法得到同位角相等，然后根据平行线的判定方法可得到经过点C的直线与平行．
【详解】解：如图，
由图形痕迹可得，则根据同位角相等，两直线平行可判断经过点C的直线与平行．
故答案为：同位角相等，两直线平行．
11. 若的补角是，则的余角是________.
【答案】##60度
【解析】
【分析】由补角定义可得出的度数，再根据余角的定义，用的度数即可．
【详解】解：根据补角意义可知：，
因此可根据余角意义可得：的余角为．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了余角和补角，度分秒的换算，关键是掌握余角：如果两个角的和等于（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角．补角：如果两个角的和等于（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角．
12. 如果多项式是多项式乘法利用完全平方公式化简后的结果，那么b的值是_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查完全平方式，掌握完全平方式的构成特点是解题的关键．
多项式的首项和末项分别是和3的平方，那么中间一项是加上或减去与3积的2倍，由此得到答案．
【详解】解：解：∵关于x的多项式是一个完全平方式，，，
∴．
在中，
即，
∴．
故答案为：．
13. 小刚将二维码打印在面积为10的正方形纸片上，如图所示．为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复实验，多次试验后获得如下数据：
由此可以估计此二维码中黑色阴影部分的面积为_____．（结果保留整数）
【答案】6
【解析】
【分析】本题主要考查利用频率估计概率，熟练掌握用频率估计概率是解题的关键．根据总面积乘以“点落在阴影部分”的频率的稳定值即可得到答案．
【详解】解：估计此二维码中黑色阴影部分的面积为，
故答案为：．
14. 如图，两个正方形的边长分别为a、b，如果，，则阴影部分的面积为_________．
【答案】92
【解析】
【分析】此题主要考查了完全平方公式的变形计算，正确掌握完全平方公式法则是解题的关键．
利用完全平方公式变形求出，利用面积公式计算可得阴影部分面积．
【详解】解：∵，，
∴，
∴阴影部分的面积
=
=
=
，
故答案为：92．
15. 若两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的3倍少10，则这两个角的度数分别为_________．
【答案】，，或，．
【解析】
【分析】此题考查了平行线的性质，解题的关键是注意由两个角的两边分别平行，可得这两个角相等或互补，注意分类讨论思想的应用．
由两个角的两边分别平行，可得这两个角相等或互补，可设其中一个角为，由其中一个角比另一个角的3倍少10，分别从这两个角相等或互补去分析，即可列方程，解方程即可求得这两个角的度数即可解决问题．
【详解】解：如图1，，
，
，
，
．
如图2，，
，
，
，
如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．
设其中一个角为，则另一个角位
其中一个角比另一个角的3倍少10，
①若这两个角相等，则，
解得：，
这两个角的度数分别为，，
②若这两个角互补，则，
解得：，
这两个角的度数分别为，；
故答案为，，或，．
16. 如图，图1是长方形纸带，将纸带沿折叠成图2，再沿折叠成图3，若图3中，则图1中的的度数用x的代数式表示是_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查图形的翻折变换以及平行线的性质，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．先根据平行线的性质，设，图2中根据图形得出，图3中根据，即可求得的值．
【详解】解：根据题意得：图1中，，
∴，
∴设，
图2中，
∵，
∴，
图3中，
，
解得．
即，
故答案为：．
三、作图（本题满分4分）
17. 用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹，如图，点B、E在直线上，是一条射线，请在上方作射线，使得．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了同角的补角相等、尺规作图—作一个角等于已知角，由于，，因此只需要作即可．
【详解】解：如图所示，射线即为所求．（作法不唯一）．
四、解答题（本题共68分）
18. 计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）（运用乘法公式计算）；
（6）
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
（5）1 （6）
【解析】
【分析】本题考查了整式的混合运算，零指数幂和负整数指数幂的意义，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
（1）先算乘方、零指数幂和负整数指数幂，再算加减即可；
（2）先算积的乘方，再算单项式的乘法和除法；
（3）先根据多项式与多项式的乘法法则计算，再去括号合并同类项；
（4）先用平方差公式计算，再用完全平方公式计算；
（5）把改写为计算即可；
（6）逆用积的乘方法则变形后，先用平方差公式计算，再用完全平方公式计算．
【小问1详解】
【小问2详解】
【小问3详解】
【小问4详解】
【小问5详解】
【小问6详解】
19. 先化简，再求值：，其中，．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查了整式的混合运算和化简求值，掌握整式的混合运算法则是解题的关键．
根据整式的混合运算法则化简，再将x、y代入即可解答．
【详解】解：原式
；
当，时，原式．
20. 垃圾分类是建设生态文明的重要举措，为提高大家对垃圾分类的认识，某校学生会组织学生到社区服务，因名额有限，小明和小亮只能去一人，小红提出一个方法：从正面印有1，2，3，3，4，5的6张卡片（卡片除所印数字不同，其他均相同）中任取一张，抽到所印数字比3大的卡片，小明去；否则，小亮去，你认为这个规则公平吗？请说明理由．
【答案】不公平，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了概率公式，游戏公平性的判断，熟练掌握概率公式解题的关键；
通过分别计算小明和小亮去的概率，再比较概率大小来判断规则是否公平．
【详解】解：∵从张卡片中任取一张，每张卡片被抽到的可能性是相等的，
∴所有可能的抽取结果有种．
∵抽到所印数字比大的卡片，小明去．在这张卡片中，数字比大的卡片有和，共张．
∴小明去的概率
抽到所印数字不大于的卡片，小亮去．在这张卡片中，数字不大于的卡片有、、、，共张．
小亮去的概率：
∵，
∴这个规则不公平．
21. 已知：如图，，的平分线交于点F，交的延长线于点E，与互补．
求证：．
请将下面的证明过程补充完整：
证明：∵（已知），
∴（________），
∵AE平分，
∴（角平分线定义），
∴（等量代换）．
∵与互补（已知），
∴________（互补的定义），
∴（________），
∴________（两直线平行，同位角相等），
∴（等量代换）．
【答案】两直线平行，内错角相等；，，，同旁内角互补，两直线平行；
【解析】
【分析】此题考查了平行线的判定和性质，根据平行线的判定和性质补充证明过程即可．
【详解】证明：∵（已知），
∴（两直线平行，内错角相等），
∵平分，
∴（角平分线定义），
∴（等量代换）．
∵与互补（已知），
∴（互补的定义），
∴（同旁内角互补，两直线平行），
∴（两直线平行，同位角相等），
∴（等量代换）．
故答案为：两直线平行，内错角相等；，，，同旁内角互补，两直线平行；
22. 如图，AB∥CD，∠BAC的平分线AE交CD于点E．已知∠BAC＝120°，∠ACN=20°，∠CNM＝140°．
（1）判断MN与CD有怎样的位置关系，并说明理由．
（2）求∠AMN的度数．
【答案】（1）MN∥CD，见解析；（2）60°
【解析】
【分析】（1）由题意易得∠ACD＋∠BAC=180°，则有∠ACD=60°，然后可得∠NCE=40°，进而可得∠NCE+∠CNM=180°，最后问题可求解；
（2）由（1）及题意易得AB∥MN，∠BAE=∠BAC=60°，然后根据平行线的性质可求解．
详解】解：（1）MN∥CD，理由如下：
∵AB∥CD
∴∠ACD＋∠BAC=180°
∵∠BAC=120°
∴∠ACD=60°
∵∠ACN=20°
∴∠NCE=∠ACD－∠ACN=60°－20°=40°
∵∠CNM=140°
∴∠NCE+∠CNM=40°+140°=180°
∴MN∥CD；
（2）∵AB∥CD，MN∥CD
∴AB∥MN
∵AE平分∠BAC
∴∠BAE=∠BAC=60°
∵AB∥MN
∴∠AMN=∠BAE=60°．
【点睛】本题主要考查平行线的性质与判定及角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质与判定及角平分线的定义是解题的关键．
23. 请用“整式乘法”相关知识自行设出字母说明：两个相邻整数的“平均数的平方”与这两个相邻整数的“平方的平均数”，是否相等？如果相等，请证明；如果不相等，请说明哪个大，并计算出大多少？
【答案】不相等，它们平方的平均数大，大
【解析】
【分析】本题考查了整式的运算，正确理解题意、列出相应的算式、熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
设这两个相邻整数为n，，然后用含n的代数式分别表示出“两个相邻整数的平均数的平方”与“它们平方的平均数”，再作差计算即可；
【详解】解：设这两个相邻整数为n，，根据题意，
它们平均数的平方可表示为：，
它们平方的平均数为；
所以它们不相等，它们平方的平均数大，
它们的差为．
24. 方法感知：
（1）如图1，已知，求的度数．（要求有解答或者说理过程）
方法运用：
（2）如图2，这是北斗七星的位置简图，将北斗七星分别标为A，B，C，D，E，F，G，其中B，C，D三点在一条直线上，，探究满足的数量关系为__________________．
应用拓展：
（3）如图3，在（2）的条件下，延长到点M，从延长到点N，过点B和点E分别作射线和，两线相交于点P，使得BD平分，EN平分，若，直接写出的度数为__________________．
【答案】（1），证明见解析；（2）；（3）
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线等知识，熟练掌握平行线的判定与性质，角平分线是解题的关键；
（1）如图1，过点作，则，，，由，可得，进而可求的度数；
（2）如图2，过点作，则，，，由，可得；
（3）如图3，过点作，则，，，由平分，，可得，，，由平分，可得，则，由（2）得，则，即可得出结论．
【详解】（1）解：如图1，过点作，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴的度数为．
（2）解：，理由如下；
如图2，过点作，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，即．
故答案为：；
（3）解：如图3，过点作，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，，
∴，，，
∵平分，
∴，
∴，
由（2）得，
∴，即，
∴，即．
故答案为：．
25. 如图1，有足够多的边长为a的小正方形（A类），长为b、宽为a的长方形（B类）以及边长为b的大正方形（C类）卡片，发现利用图1中的三种卡片各若干可以拼出（没重叠不留空隙）一些长方形来解释某些等式．
例如图2可以解释的等式为．
（1）图3可以解释的等式为__________________．
（2）类似要拼成一个长为，宽为的长方形，则需A类卡片________张，B类卡片_________张，C类卡片_________张；
（3）类似要拼成一个长为，宽为的长方形，则除需A类卡片、C类卡片若干张外，还需B类卡片_________张；（用m、n、p、q的代数式表示，其中m、n、p、q都是正整数）
（4）如图4将12张长为b，宽为a（）的B类卡片，按如图方式不重叠地放在大长方形内，未被覆盖的部分用阴影表示，若阴影部分的面积是大长方形面积的，求此时B类卡片的长b与宽a的比值．
【答案】（1）
（2）5，46，9 （3）
（4）B类卡片的长b与宽a的比值为4
【解析】
【分析】本题主要考查了多项式乘多项式、多项式除以单项式，完全平方公式，整式的混合运算的应用等知识点，掌握数形结合能力以及整式的混合运算法则成为解题的关键．
（1）根据图②结合图形的面积以及整式乘法列代数式即可；
（2）根据多项式乘多项式的法则计算，然后根据相关系数即可解答；
（3）计算，求出前的系数，即为类卡片的数量；
（4）可得大长方形的长为，宽为，继而得到面积，根据阴影部分的面积是大长方形面积的，则空白面积占大长方形面积的，而空白面积为，即可建立等式，逆用完全平方公式化简即可．
【小问1详解】
解：由．
故答案为：．
【小问2详解】
解：∵，
∴需用A类卡片5张，类卡片46张，类卡片9张．
故答案为：5，46，9；
【小问3详解】
解：长方形面积：，
B类卡片面积为，
所以，需要张，
故答案为：；
【小问4详解】
解：由题意得，大长方形的面积为，
∵阴影部分的面积是大长方形面积的，
∴空白部分的面积为：，
整理得：，
∴，
∴
∴，
∴B类卡片的长b与宽a的比值为4．重复试验次数
30
50
100
300
800
点落在阴影部分次数
19
32
59
183
483
“点落在阴影部分”的频率（结果保留两位小数）
0.67
0.64
0.59
0.61
0.60